6.6: Конвергенція рядів Фур'є

Last updated
Save as PDF

Page ID: 34229

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вступ

Перш ніж дивитися на цей модуль, сподіваюся, ви повністю переконалися в тому, що будь-яка періодична функція\(f(t)\), може бути представлена у вигляді суми складних синусоїдів (Розділ 1.4). Якщо ви цього не зробите, спробуйте озирнутися назад на власні речі у двох словах (Розділ 14.4) або власні функції систем LTI (Розділ 14.5). Ми показали, що ми можемо представити сигнал у вигляді суми експоненціальних за допомогою рівнянь ряду Фур'є нижче:

\[f(t)=\sum_{n} c_{n} e^{j \omega_{0} n t} \label{6.35} \]

\[c_{n}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-\left(j \omega_{0} n t\right)} d t \label{6.36} \]

Жозеф Фур'є наполягав на тому, що ці рівняння вірні, але не зміг цього довести. Лагранж публічно висміював Фур'є і сказав, що тільки неперервні функції можуть бути представлені Equation\ ref {6.35} (дійсно він довів, що Equation\ ref {6.35} тримає для функцій безперервного часу). Однак тепер ми знаємо, що справжня правда лежить між позиціями Фур'є та Лагранжа.

Розуміння істини

Формулюючи наше питання математично, нехай

\[f_{N}^{\prime}(t)=\sum_{n=-N}^{N} c_{n} e^{j \omega_{0} n t} \nonumber \]

де\(c_n\) дорівнює коефіцієнтам Фур'є\(f(t)\) (див. Рівняння\ ref {6.36}).

\(f_{N}^{\prime}(t)\)є «частковою реконструкцією»\(f(t)\) використання перших коефіцієнтів\(2N+1\) Фур'є. \(f_{N}^{\prime}\)наближається\(f(t)\), з наближенням стає все краще і краще, як\(N\) стає великим. Тому ми можемо думати про множину\(\left\{\forall N, N=\{0,1, \ldots\}:\left(\frac{\mathrm{d} f_{N}(t)}{\mathrm{d}}\right)\right\}\) як послідовність функцій, кожна з яких\(f(t)\) наближається краще, ніж раніше.

Питання в тому, чи сходиться ця послідовність\(f(t)\)? Чи робить\( f_{N}^{\prime}(t) \rightarrow f(t)\) як\(N \rightarrow \infty\)? Спробуємо відповісти на це питання, подумавши про конвергенцію двома різними способами:

Дивлячись на енергію сигналу помилки:
\[e_{N}(t)=f(t)-f_{N}^{\prime}(t) \nonumber \]
\(\displaystyle{\lim_{N \to \infty}} \frac{d f_{N}(t)}{d}\)Дивлячись на кожну точку і порівнюючи з\(f(t)\).

Підхід #1

\(e_N(t)\)Дозволяти різниця (тобто помилка) між сигналом\(f(t)\) і його частковою реконструкцією\(f_N^{\prime}\)

\[e_{N}(t)=f(t)-f_{N}^{\prime}(t) \nonumber \]

Якщо\(f(t) \in L^{2}([0, T])\) (кінцева енергія), то\(N \rightarrow \infty\) енергія\(e_{N}(t) \rightarrow 0\) як

\[\int_{0}^{T}\left(\left|e_{N}(t)\right|\right)^{2} \mathrm{d} t=\int_{0}^{T}\left(f(t)-f_{N}^{\prime}(t)\right)^{2} \mathrm{d} t \rightarrow 0 \nonumber \]

Ми можемо довести це рівняння, використовуючи відношення Парсеваля:

\[\lim_{N \rightarrow \infty} \int_{0}^{T}\left(\left|f(t)-f_{N}^{\prime}(t)\right|\right)^{2} \mathrm{d} t=\lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{N=-\infty}^{\infty}\left(\left|\mathscr{F}_{n}(f(t))-\mathscr{F}_{n}\left(\frac{\mathrm{d} f_{N}(t)}{\mathrm{d}}\right)\right|\right)^{2}=\lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{|n|>N}\left(\left|c_{n}\right|\right)^{2}=0 \nonumber \]

де останнє рівняння перед нулем - це хвостова сума ряду Фур'є, яка наближається до нуля, оскільки\(f(t) \in L^{2}([0, T])\). Оскільки фізичні системи реагують на енергію, ряд Фур'є забезпечує адекватне уявлення для всієї\(f(t) \in L^{2}([0, T])\) рівноцінної скінченної енергії протягом одного періоду.

Підхід #2

Той факт, що нічого не\(e_{N} \rightarrow 0\) говорить\(f(t)\) і\(\displaystyle{\lim_{N \rightarrow \infty}} \frac{\mathrm{d} f_{N}(t)}{\mathrm{d}}\) бути рівним у заданій точці. Візьмемо, наприклад, дві функції, наведені нижче:

З огляду на ці дві функції\(g(t)\),\(f(t)\) і, тоді ми можемо бачити, що для всіх\(t\)\(f(t) \neq g(t)\), але

\[\int_{0}^{T}(|f(t)-g(t)|)^{2} \mathrm{d} t=0 \nonumber \]

З цього ми можемо побачити наступні зв'язки:

зближення енергії\(\neq\) точкова конвергенція

точкова конвергенція\(\Rightarrow\) збіжності в\(L^2([0,T])\)

Однак зворотне вищенаведене твердження не відповідає дійсності.

Виходить, що якщо\(f(t)\) має розрив (як видно на малюнку\(g(t)\) вище) при\(t_0\), то

\[f\left(t_{0}\right) \neq \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{d} f_{N}\left(t_{0}\right)}{\mathrm{d}} \nonumber \]

Але до тих пір, поки\(f(t)\) відповідає деяким іншим досить м'яким умовам, то

\[f\left(t^{\prime}\right)=\lim_{N \rightarrow \infty} \frac{\left.\mathrm{d} f_{N}\left(t^{\prime}\right)\right)}{\mathrm{d}} \nonumber \]

якщо\(f(t)\) безперервно при\(t=t^{\prime}\).

Ці умови відомі як умови Діріхле.

Умови Діріхле

Названі на честь німецького математика Пітера Діріхле, умови Діріхле є достатніми умовами для гарантування існування та зближення енергії рядів Фур'є.

Слабка умова Діріхле для рядів Фур'є

Для існування рядів Фур'є коефіцієнти Фур'є повинні бути кінцевими. Слабкий стан Діріхле гарантує це. Це по суті говорить про те, що інтеграл абсолютного значення сигналу повинен бути кінцевим.

Теорема\(\PageIndex{1}\): Weak Dirichlet Condition for the Fourier Series

Коефіцієнти рядів Фур'є кінцеві, якщо

\[\int_{0}^{T}|f(t)| d t<\infty \nonumber \]

Доказ

Це можна показати з величини коефіцієнтів рядів Фур'є:

\[\left|c_{n}\right|=\left|\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-\left(j \omega_{0} n t\right)} d t\right| \leq \frac{1}{T} \int_{0}^{T}\left|f(t) \| e^{-\left(j \omega_{0} n t\right)}\right| d t \nonumber \]

Згадуючи наші складні експоненціальні (Розділ 1.8), ми знаємо, що в наведеному вище рівнянні\(\left|e^{-\left(j \omega_{0} n t\right)}\right|=1\), яке дає нам:

\ [\ почати {вирівняти}
\ вліво | c_ {n}\ праворуч |\ leq &\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} |f (t) | d t<\ infty\\
&\\ Стрілка вправо\ ліворуч (\ ліворуч | c_ {n}\ праворуч |<\ infty\ праворуч)
\ кінець {вирівнювання}\ nonnumber\

Примітка

Якщо у нас є функція:

\[\forall t, 0<t \leq T:\left(f(t)=\frac{1}{t}\right) \nonumber \]

то слід зазначити, що ця функція не відповідає вищевказаному умові, оскільки:

\[\int_{0}^{T}\left|\frac{1}{t}\right| \mathrm{d} t=\infty \nonumber \]

Сильні умови Діріхле для рядів Фур'є

Для існування рядів Фур'є повинні бути виконані наступні дві умови (разом із умовою слабкого Діріхле):

За один період\(f(t)\) має лише кінцеве число мінімумів і максимумів.
За один період\(f(t)\) має лише кінцеву кількість розривів, і кожен з них є кінцевим.

Це те, що ми називаємо сильними умовами Діріхле. Теоретично ми можемо думати про сигнали, які порушують ці умови,\(\sin(\log t)\) наприклад. Однак створити сигнал, який порушує ці умови в лабораторії, неможливо. Тому будь-який реальний сигнал матиме представлення Фур'є.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Припустимо, що ми маємо наступну функцію і рівність:

\[f^{\prime}(t)=\lim_{N \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{d} f_{N}(t)}{\mathrm{d}} \nonumber \]

Якщо\(f(t)\) відповідає всім трьом умовам Сильного Діріхле Умов, то

\[f(\tau)=f^{\prime}(\tau) \nonumber \]

при кожному,\(\tau\) при\(f(t)\) якому безперервно. А де\(f(t)\)\(f^{\prime}(t)\) переривчастий, - середнє значення праворуч і ліворуч.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Переривчасті функції,\(f(t)\)

Примітка

Функції, які виходять з ладу при сильних станах Дірхле, досить патологічні - як інженери, ми не надто зацікавлені в них.