6.5: Кругова згортка безперервного часу та CTFS

Last updated
Save as PDF

Page ID: 34234

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вступ

Цей модуль пов'язує кругову згортку періодичних сигналів у часовій області до множення в частотній області.

Сигнальна кругова згортка

З огляду на сигнал\(f(t)\) з коефіцієнтами Фур'є\(c_n\) і сигнал\(g(t)\) з коефіцієнтами Фур'є\(d_n\), можна визначити новий сигнал\(v(t)\), де\(v(t)=f(t) \circledast g(t)\). Ми виявляємо, що представлення серії Фур'є\(v(t)\)\(a_n\), є таким, що\(a_n=c_nd_n\). \(f(t) \circledast g(t)\)- кругова згортка (Розділ 7.5) двох періодичних сигналів і еквівалентна згортці за один інтервал, т\(f(t) \circledast g(t)=\int_{0}^{T} \int_{0}^{T} f(\tau) g(t-\tau) d \tau d t\).

Примітка

Кругова згортка у часовій області еквівалентна множенню коефіцієнтів Фур'є.

Це доведено наступним чином

\ [\ почати {вирівняти}
a_ {n} &=\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} v (t) e^ {-\ ліворуч (j\ омега_ {0} n t\ праворуч)}\ mathrm {d} t\ nonumber\\
&=\ frac {1} {T^ {2}}\ int_ {0} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (\ тау) г (т-\ тау)\ mathrm {d}\ tau e^ {-\ ліво (\ омега j_ {0} n t\ праворуч)}\ mathrm {d} t\ nonumber\\
&=\ розрив {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (\ тау)\ лівий (\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} g (t-\ tau) e^ {-\ tau) e^ {-\ ліворуч (j\ omega_ {0} n t\ право)}\ mathrm {d} t\ право)\ mathrm {d}\ tau номер\\
&=\ forall\ nu,\ nu = t-\ ta u:\left (\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (\ тау)\ лівий (\ frac {1} {T}\ int_ {-\ тау} ^ {T-\ tau} г (\ ню) e^ {-\ left (j\ omega_ {0}\ nu+\ тау)\ праворуч)}\ mathrm {d}\ nu\ право)\ mathrm {d}\ tau\ право)\ nonumber\\
&=\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T}} ^ {T} {T}\ int_} ^ {T-\ tau} ^ {T-\ tau} g\ nu e^ {-\ ліворуч (j\ omega_ {0} n\ nu\ праворуч)}\ mathrm {d}\ nu\ праворуч) e^ {-\ ліворуч (j\ omega_ {0} n\ tau\ праворуч)}\ mathrm {d}\ tau\ nonumber\\
& амп; =\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (\ тау) d_ {n} e^ {-\ ліво (j\ омега_ {0} n\ тау\ праворуч)}\ mathrm {d}\ tau\ nonumber\\
&=d_ {n}\ ліворуч (\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (\ тау) e^ {-\ ліворуч (j\ omega_ {0} n\ тау\ праворуч)}\ mathrm {d}\ тау\ праворуч)\ nonumber\\
&=c_ {n} d_ {n}
\ end {вирівняти}\ номер\]

Вправа

Погляньте на квадратний пульс з періодом\(T\).

Для цього сигналу

\ [c_ {n} =\ лівий\ {\ begin {масив} {l}
\ frac {1} {T}\ текст {якщо} n=0\
\ frac {1} {2}\ frac {\ sin\ left (\ frac {\ pi} {2} n\ право)} {\ frac {\ pi} {2} n}\ текст {інакше}
\ кінець масиву {}\ праворуч. \ номер\]

Погляньте на трикутник імпульсний поїзд з періодом\(T\).

Цей сигнал створюється шляхом кругового згортання квадратного імпульсу з собою. Коефіцієнти Фур'є для цього сигналу є\(a_{n}=c_{n}^{2}=\frac{1}{4} \frac{\sin ^{2}}{\left(\frac{\pi}{2} n\right)}\).

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Знайти коефіцієнти Фур'є сигналу, який створюється при згортанні квадратного імпульсу і імпульсу трикутника.

Відповідь: \ (a_ {n} =\ лівий\ {\ begin {масив} {ll}
\ текст {undefined} & n=0\
\ frac {1} {8}\ розрив {\ sin ^ {3}\ лівий (\ frac {\ pi} {2} n\ праворуч)} {\ лівий (\ frac {\ pi} {2} n\ праворуч) ^ {3}}\ текст {інакше}
\ end {масив}\ право.\)

Висновок

Кругова згортка у часовій області еквівалентна множенню коефіцієнтів Фур'є у частотній області.