6.4: Властивості CTFS
- Page ID
- 34225
Вступ
У цьому модулі ми розглянемо основні властивості рядів Фур'є безперервного часу. Ми почнемо з оновлення пам'яті наших основних рівнянь рядів Фур'є:
\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{j \omega_{0} n t} \nonumber \]
\[c_{n}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-\left(j \omega_{0} n t\right)} \mathrm{d} t \nonumber \]
Нехай\(\mathscr{F}(\cdot)\) позначають перетворення від\(f(t)\) до коефіцієнтів Фур'є.
\[\mathscr{F}(f(t))=\forall n, n \in \mathbb{Z}:\left(c_{n}\right) \nonumber \]
\(\mathscr{F}(\cdot)\)відображає комплексні функції до послідовностей комплексних чисел.
Лінійність
\(\mathscr{F}(\cdot)\)є лінійним перетворенням.
Теорема\(\PageIndex{1}\)
Якщо\(\mathscr{F}(f(t))=c_{n}\) і\(\mathscr{F}(g(t))=d_{n}\). Тоді
\[\forall \alpha, \alpha \in \mathbb{C}:\left(\mathscr{F}(\alpha f(t))=\alpha c_{n}\right) \nonumber \]
і
\[\mathscr{F}(f(t)+g(t))=c_{n}+d_{n} \nonumber \]
Доказ
Легко. Просто лінійність інтеграла.
\ [\ почати {вирівняти}
\ mathscr {F} (f (t) +г (т)) &=\ для всіх п, п\ в\ mathbb {Z}:\ лівий (\ int_ {0} ^ {T} (f (t) +g (t))) e^ {-\ лівий (j\ omega_ {0} n t\ праворуч)}\ mathrm {d} t\ праворуч)\ номер\\
&=\ для всіх n, n\ in\ mathbb {Z}:\ ліворуч (\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t) e^ {-\ ліво (j\ omega_ {0} n t\ праворуч)}\ mathrm { d} t+\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} g (t) e^ {-\ ліворуч (j\ omega_ {0} n t\ праворуч)}\ mathrm {d} t\ праворуч)\ nonumber\\
&=\ forall n, n\ in\ mathbb {Z}:\ ліворуч (c_ {n} +d_ {n}\ праворуч)\ nonumber\\
&=c_ {n} +d_ {n}
\ end {align}\ nonumber\]
Зсув
Зсув у часі дорівнює фазовому зсуву коефіцієнтів Фур'є.
Теорема\(\PageIndex{2}\)
\(\mathcal{F}\left(f\left(t-t_{0}\right)\right)=e^{-\left(j \omega_{0} n t_{0}\right)} c_{n}\)якщо\(c_{n}=\left|c_{n}\right| e^{j \angle\left(c_{n}\right)}\), то
\[\left|e^{-\left(j \omega_{0} n t_{0}\right)} c_{n}\right|=\left|e^{-\left(j \omega_{0} n t_{0}\right)}\right|\left|c_{n}\right|=\left|c_{n}\right| \nonumber \]
\[\angle\left(e^{-\left(i \omega_{0} t_{0} n\right)}\right)=\angle\left(c_{n}\right)-\omega_{0} t_{0} n \nonumber \]
Доказ
\ [\ почати {вирівняти}
\ mathscr {F}\ лівий (f\ лівий (t_ {0}\ праворуч)\ праворуч) &=\ forall n, n\ in\ mathbb {Z}:\ лівий (\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f\ лівий (t_ {0}\ праворуч) e^ {\ left (j\ омега_ {0} n t\ право)}\ mathrm {d} t\ праворуч)\ nonumber\\
&=\ forall n, n\ in\ mathbb {Z}:\ left (\ frac {1} {T}\ int_ {-t_ {0}} ^ { T-t_ {0}} f\ ліворуч (t_ {0}\ праворуч) e^ {-\ ліворуч (j\ omega_ {0} n\ ліворуч (t_ {0}\ праворуч)\ праворуч)} e^ {-\ ліворуч (j\ omega_ {0} n t_ {0}\ праворуч)}\ mathrm {d} t\ праворуч)\ nonumber\
&=\ forall n, n\ in\ mathbb {Z}:\ ліворуч (\ frac {1} {T}\ int_ {-t_ {0}} ^ {T-t_ {0}} f (\ тильда {t}) e^ {-\ ліворуч (j\ omega_ {0} n\ тильда {t}\ праворуч)} e^ {-\ ліворуч (j\ омега_ {0} n\ тильда {t}\ праворуч)} e^ {-\ ліворуч (j \ омега_ {0} n t_ {0}\ право)}\ mathrm {d} t\ праворуч)\ nonumber\\
&=\ forall n, n\ in\ mathbb {Z}:\ лівий (e^ {-\ лівий (j\ omega_ {0} n\ tilde {t}\ праворуч)} c_ {n}\ праворуч)
\ кінець {вирівнювання}\ номер\]
Відносини Парсеваля
\[\int_{0}^{T}(|f(t)|)^{2} \mathrm{d} t=T \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\left|c_{n}\right|\right)^{2} \nonumber \]
Співвідношення Парсеваля говорить нам, що енергія сигналу дорівнює енергії його перетворення Фур'є.
Примітка
Парсеваль говорить нам, що серія Фур'є карти\(L^2([0,T])\) на\(l^2(\mathbb{Z})\).
Малюнок\(\PageIndex{1}\)
Вправа\(\PageIndex{1}\)
\(f(t)\)Бо мати «скінченну енергію», що\(c_n\) вони роблять\(n \rightarrow \infty\)?
- Відповідь
-
\(\left(\left|c_{n}\right|\right)^{2}<\infty\)для\(f(t)\) того, щоб мати скінченну енергію.
Вправа\(\PageIndex{2}\)
Якщо\(\forall n,|n|>0:\left(c_{n}=\frac{1}{n}\right)\), є\(f \in L^{2}([0, T])\)?
- Відповідь
-
Та тому\(\left(\left|c_{n}\right|\right)^{2}=\frac{1}{n}\), що підсумовується.
Вправа\(\PageIndex{3}\)
Тепер, якщо\(\forall n,|n|>0:\left(c_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\) є\(f \in L^{2}([0, T])\)?
- Відповідь
-
Ні, тому що\(\left(\left|c_{n}\right|\right)^{2}=\frac{1}{n}\), що не підсумовується.
Швидкість розпаду ряду Фур'є визначає, чи\(f(t)\) має скінченну енергію.
Демонстрація теореми Парсеваля
Властивості симетрії
Правило\(\PageIndex{1}\): Even Signals
Парні сигнали
\ (\ почати {масив} {l}
f (t) =f (-t)\\ ліворуч
\ |c_ {n}\ право\ |=\ лівий\ |c_ {-n}\ правий\ |
\ кінець {масив}\)
Доказ
\ (\ begin {масив} {l}
c_ {n} =\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t)\ exp\ ліворуч (-j\ омега_ {0} п т\\
=\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {\ frac {T} {2}} f (t))\ exp\ ліворуч (-j\ omega_ {0} п т\ праворуч) d t+\ frac {1} {T}\ int_ {\ frac {T} {2}} ^ {T} f (t)\ exp\ ліворуч (-j\ omega_ {0} п т\\
=\ frac { 1} {T}\ int_ {0} ^ {\ frac {T} {2}} f (-t)\ exp\ ліворуч (-j\ омега_ {0} п т\ праворуч) d t+\ frac {1} {T}\ int_ {\ frac {T} {2}} ^ {T} f (-t)\ exp\ ліворуч (-j\ omega_ _ {0} п т\ праворуч) д т\\
=\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t)\ лівий [\ exp\ лівий (j\ omega_ {0} n t\ праворуч) d t+\ exp\ ліворуч (-j\ omega_ {0} n t\ праворуч)\
=\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t) 2\ cos\ ліворуч (\ омега_ {0} п т\ праворуч) d t
\ end {масив}\)
Правило\(\PageIndex{2}\): Odd Signals
Непарні сигнали
\ (\ begin {масив} {l}
f (t) =-f (-t)\\
c_ {n} =c_ {-n} ^ {*}
\ end {масив}\)
Доказ
\ (\ begin {масив} {l}
c_ {n} =\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t)\ exp\ ліворуч (-j\ омега_ {0} п т\\
=\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} f (t)\ exp\ ліворуч (-j\ omega_ {0} n t\ праворуч) d t+\ frac {1} {T}\ int_ {\ frac {T} {2}} ^ {T} f (t)\ exp\ ліворуч (-j\ omega_ {0} n t\ праворуч) d t\\
=\ розрив {1} {T}\ int_ {0} ^ {\ frac {T} {2}} f (t)\ exp\ ліворуч (-j\ omega_ {0} n t\ праворуч) d t-\ frac {1} {T}\ int_ {\ frac {T} {2}}} ^ {T} f (-t)\ exp\ ліворуч (j\ omec ga_ {0} n t\ праворуч) d t\\
=-\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t)\ ліворуч [\ exp\ ліворуч (j\ омега_ {0} n t\ праворуч) d t\ exp\ ліворуч (-j\ omega_ {0} n t\ праворуч] d t\\\
=-\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t) 2 j\ sin\ ліворуч (\ омега_ {0} п т\ праворуч) d t
\ end {масив}\)
Правило\(\PageIndex{3}\): Real Signals
Реальні сигнали
\ (\ begin {масив} {l}
f (t) =f^ {*} (t)\\
c_ {n} =c_ {-n} ^ {*}
\ кінець {масив}\)
Доказ
\ (\ begin {масив} {l}
c_ {n} =\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t)\ exp\ ліворуч (-j\ омега_ {0} п т\\
=\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {\ frac {T} {2}} f (t))\ exp\ ліворуч (-j\ omega_ {0} п т\ праворуч) d t+\ frac {1} {T}\ int_ {\ frac {T} {2}} ^ {T} f (t)\ exp\ ліворуч (-j\ omega_ {0} п т\\
=\ frac { 1} {T}\ int_ {0} ^ {\ frac {T} {2}} f (-t)\ exp\ ліворуч (-j\ омега_ {0} п т\ праворуч) d t+\ frac {1} {T}\ int_ {\ frac {T} {2}} ^ {T} f (-t)\ exp\ ліворуч (-j\ omega_ _ {0} п т\ праворуч) д т\\
=\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t)\ лівий [\ exp\ лівий (j\ omega_ {0} n t\ праворуч) d t+\ exp\ ліворуч (-j\ omega_ {0} n t\ праворуч)\
=\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t) 2\ cos\ ліворуч (\ омега_ {0} п т\ праворуч) d t
\ end {масив}\)
Диференціація в області Фур'є
\[\left(\mathcal{F}(f(t))=c_{n}\right) \Rightarrow\left(\mathcal{F}\left(\frac{d f(t)}{d t}\right)=j n \omega_{0} c_{n}\right) \nonumber \]
Так як
\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{j \omega_{0} n t} \nonumber \]
потім
\ [\ почати {вирівняти}
\ розрив {d} {dt} f (t) &=\ сума_ {n=-\ infty} ^ {\ infty} c_ {n}\ frac {d e^ {j\ omega_0 n t}} {d t}\ nonnumber\\
&=\ сума {n=-\ infty} ^ {\ infty} {\ infty} n} j\ омега_ {0} n e^ {i\ omega_ {0} n t}
\ end {вирівняти}\ nonumber\]
Диференціатор послаблює низькі\(f(t)\) частоти і підкреслює високі частоти. Він прибирає загальні тренди і акцентує ділянки різкої варіації.
Примітка
Поширений спосіб математично виміряти гладкість функції\(f(t)\) - побачити, скільки похідних є кінцевою енергією.
Це робиться, дивлячись на коефіцієнти Фур'є сигналу, зокрема, наскільки швидко вони зникають\(n \rightarrow \infty\). Якщо\(\mathscr{F}(f(t))=c_{n}\) і\(|c_n|\) має форму\(\frac{1}{n^k}\), то\(\mathscr{F}\left(\frac{\mathrm{d}^{m} f(t)}{\mathrm{d} t^{m}}\right)=\left(j n \omega_{0}\right)^{m} c_{n}\) і має вигляд\(\frac{n^m}{n^k}\). Отже, щоб\(m\) похідна мала скінченну енергію, нам потрібно
\[\sum_{n}\left(\left|\frac{n^{m}}{n^{k}}\right|\right)^{2}<\infty \nonumber \]
таким чином\(\frac{n^m}{n^k}\) розпадається швидше, ніж це\(\frac{1}{n}\) означає, що
\[2k−2m>1 \nonumber \]
або
\[k>\frac{2m+1}{2} \nonumber \]
При цьому швидкість розпаду ряду Фур'є диктує плавність.
Демонстрація диференціації Фур'є
Інтеграція в домені Фур'є
Якщо
\[\mathscr{F}(f(t))=c_{n} \nonumber \]
потім
\[\mathscr{F}\left(\int_{-\infty}^{t} f(\tau) \mathrm{d} \tau\right)=\frac{1}{j \omega_{0} n} c_{n} \nonumber \]
Примітка
Якщо\(c_{0} \neq 0\), цей вираз не має сенсу.
Інтеграція підкреслює низькі частоти і послаблює високі частоти. Інтегратори виявляють загальні тенденції в сигналах і пригнічують короткострокові зміни (що є шумом у багатьох випадках). Інтегратори набагато приємніше, ніж диференціатори.
Демонстрація інтеграції Фур'є
Множення сигналів і згортка
З огляду на сигнал\(f(t)\) з коефіцієнтами Фур'є\(c_n\) і сигнал\(g(t)\) з коефіцієнтами Фур'є\(d_n\), можна визначити новий сигнал\(y(t)\), де\(y(t)=f(t)g(t)\). Ми виявляємо, що представлення серії Фур'є\(y(t)\)\(e_n\), є таким, що\(e_{n}=\sum_{i=-\infty}^{\infty} c_{k} d_{n-k}\). Це означає, що множення сигналу в часовій області еквівалентно згортці сигналу в частотній області, і навпаки: множення сигналу в частотній області еквівалентно згортці сигналу в часовій області. Доказом цього є наступне:
\ [\ почати {вирівняти}
e_ {n} &=\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} f (t) g (t) e^ {-\ лівий (j\ омега_ {0} п т\ правий)}\ mathrm {d} t\ nonumber\\
&=\ frac {1} {T}\ int_ {0} {T}\ сума_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} c_ {k} e^ {j\ omega_ {0} k t} g (t) e^ {-\ ліворуч (j\ омега_ {0} n t\ праворуч)}\ mathrm {d} t\ номер\\
&=\ sum_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} c_ {k}\ ліворуч (\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} g (t) e^ {-\ ліворуч (j\ omega_ {0} (n-k) т\ праворуч)}\ mathrm {d} t\ праворуч)\ номер\\
=\ sum_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} c_ {k} d_ {n-k}
\ кінець {вирівнювання}\ номер\]
докладніше див. Розділ «Згортка сигналу» та CTFS (Розділ 4.3).
Висновок
Як і інші перетворення Фур'є, CTFS має багато корисних властивостей, включаючи лінійність, рівну енергію у часовій та частотній областях та аналоги для зсуву, диференціації та інтеграції.
| Нерухомість | Сигнал | CTFS |
| Лінійність | \(a x(t)+b y(t)\) | \(a X(f)+b Y(f)\) |
| Зсув часу | \(x(t-\tau)\) | \(X(f) e^{-j 2 \pi f \tau / T}\) |
| Модуляція часу | \(x(t) e^{j 2 \pi f \tau / T}\) | \(X(f-k)\) |
| множення | \(x(t)y(t)\) | \(X(f)*Y(f)\) |
| Безперервна згортка | \(x(t)*y(t)\) | \(X(f)Y(f)\) |