Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.3: Загальні серії Фур'є

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    34230

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Вступ

    Після того, як ви отримали тверде розуміння основ аналізу рядів Фур'є та загального виведення коефіцієнтів Фур'є, корисно мати розуміння загальних сигналів, що використовуються в наближенні сигналів рядів Фур'є.

    Виведення коефіцієнтів Фур'є

    Розглянемо квадратну\(f(x)\) хвилю довжиною 1. За діапазоном [0,1) це можна записати як

    \ [x (t) =\ лівий\ {\ begin {масив} {ll}
    1 & t\ leq\ frac {1} {2}\\
    -1 & t>\ frac {1} {2}
    \ end {масив}\ праворуч.. \ номер\]

    Апроксимація рядів Фур'є квадратної хвилі
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Наближення ряду Фур'є до\(sq(t)\). Кількість членів у сумі Фур'є вказується на кожному графіку, а квадратна хвиля відображається пунктирною лінією протягом двох періодів.

    Реальні рівні сигнали

    З огляду на, що квадратна хвиля є реальним і рівним сигналом,

    • \(f(t)=f(−t)\)НАВІТЬ
    • \(f(t)=f^*(t)\)РЕАЛЬНИЙ

    тому,

    • \(c_n=c_{−n}\)НАВІТЬ
    • \(c_n=c_n^*\)РЕАЛЬНИЙ

    Розглянемо це математичне питання інтуїтивно: чи може переривчаста функція, як квадратна хвиля, бути виражена як сума, навіть нескінченна, безперервних сигналів? Треба хоча б бути підозрілим, і насправді, це не може бути таким вираженим.

    Сторонні піки в серії Фур'є квадратної хвилі ніколи не зникають; вони називаються явищем Гібба після американського фізика Джосії Віллард Гіббс. Вони виникають всякий раз, коли сигнал переривається, і завжди будуть присутні, коли сигнал має стрибки.

    Виведення коефіцієнтів Фур'є для інших сигналів

    Квадратна хвиля є стандартним прикладом, але інші важливі сигнали також корисні для аналізу, і вони включені тут.

    Постійна форма хвилі

    Цей сигнал є відносно зрозумілим: змінюється в часі частина коефіцієнта Фур'є виймається, і ми залишаємося просто з постійною функцією протягом усього часу.

    \[x(t) = 1 \nonumber \]

    Синусоїдна форма хвилі

    За допомогою цього сигналу вибирається лише певна частота коефіцієнта, що змінюється в часі (враховуючи, що рівняння серії Фур'є включає синусоїду, це інтуїтивно зрозуміло), а всі інші фільтруються, і цей єдиний коефіцієнт, що змінюється в часі, буде точно відповідати бажаному сигналу.

    \[ x(t) = \sin(\pi t) \nonumber \]

    Форма хвилі трикутника

    \ [x (t) =\ лівий\ {\ begin {масив} {cc}
    t & t\ leq 1/4\
    2-4 t & 1/4\ leq t\ leq 3/4\
    -7/4+4 t & 3\ 4\ leq t\ leq 1
    \ end {масив}\ праворуч. \ номер\]

    Це більш складна форма наближення сигналу до квадратної хвилі. Через властивості симетрії рядів Фур'є хвиля трикутника є реальним і непарним сигналом, на відміну від реального і навіть квадратного хвильового сигналу. Це означає, що

    • \(f(t) = -f(-t)\)НЕПАРНІ
    • \(f(t) = f^*(t)\)РЕАЛЬНИЙ

    тому,

    • \(c_n = -c_{-n}\)
    • \(c_n = -c_n^*\)УЯВНИЙ
    Апроксимація рядів Фур'є хвилі трикутника Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Пилоподібна форма хвилі

    \[x(t)=t- \operatorname{Floor}(t) \nonumber \]

    Через властивості симетрії рядів Фур'є пилкоподібну хвилю можна визначити як реальний і непарний сигнал, на відміну від реального і навіть квадратного хвильового сигналу. Це має важливі наслідки для коефіцієнтів Фур'є.

    Наближення рядів Фур'є пилкоподібної хвилі Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Наближення рядів Фур'є VI

    Чотири серії Демо
    Малюнок\(\PageIndex{4}\): Взаємодійте (коли онлайн) з Mathematica CDF, що демонструє загальні серії Фур'є. Щоб завантажити, клацніть правою кнопкою миші та збережіть файл як .cdf.

    Резюме

    Підводячи підсумок, серед поширених Фур'є перетворення існує велика різноманітність. Тут представлена зведена таблиця з найважливішою інформацією.

    Таблиця\(\PageIndex{1}\): Загальні безперервні ряди Фур'є
    Опис Сигнал часової області для\(t \in[0,1)\) Частотна область сигналу
    Постійна форма хвилі \ (t\ in [0,1)\)» клас = "lt-eng-22874">\(x(t)=1\) \ (c_ {k} =\ лівий\ {\ begin {масив} {ll}
    1 & k = 0\\
    0 & k\ neq 0
    \ end {масив}\ вправо.\)
    Синусоїдна форма хвилі \ (t\ in [0,1)\)» клас = "lt-eng-22874">\(x(t)=\sin (\pi t)\) \ (c_ {k} =\ лівий\ {\ begin {масив} {cc}
    1/2 & k=\ pm 1\\
    0 & k\ neq\ pm 1
    \ end {масив}\ вправо.\)
    Квадратна форма хвилі \ (t\ in [0,1)\)» клас = "lt-eng-22874">\ (x (t) =\ лівий\ {\ begin {масив} {cc}
    1 & t\ leq 1/2\
    -1 & t>1/2
    \ end {масив}\ вправо.\)    		 \ (c_ {k} =\ лівий\ {\ begin {масив} {cc}
    4/\ pi k &\ text {k непарний}\\
    0 &\ текст {k парний}
    \ кінець {масив}\ вправо.\)
    Форма хвилі трикутника \ (t\ in [0,1)\)» клас = "lt-eng-22874">\ (x (t) =\ лівий\ {\ begin {масив} {rl}
    t & t\ leq 1/2\
    1-t & t>1/2
    \ end {масив}\ вправо.\)    		 \ (c_ {k} =\ лівий\ {\ begin {масив} {cc}
    -8\ sin (\ mathrm {k}\ pi)/2)/(\ pi k) ^ {2} &\ текст {k непарний}\\
    0 &\ текст {k парний}
    \ кінець {масив}\ вправо.\)
    Пилоподібна форма хвилі \ (t\ in [0,1)\)» клас = "lt-eng-22874">\(x(t) = t/2\) \ (c_ {k} =\ лівий\ {\ begin {масив} {cc}
    0,5 & k=0\\
    -1/\ pi k & k\ neq 0
    \ end {масив}\ вправо.\)