6.2: Безперервний час серії Фур'є (CTFS)
- Page ID
- 34235
Вступ
У цьому модулі ми виведемо розширення для безперервних, періодичних функцій, і при цьому виведемо безперервний час рядів Фур'є (CTFS).
Оскільки комплексні експоненціальні (Розділ 1.8) є власнимифункціями лінійних інваріантних (LTI) систем (розділ 14.5), обчислення вихідних\(\mathscr{H}\) даних системи LTI, заданої у\(e^{st}\) вигляді вхідних даних, становить просте множення, де власне значення,\(H(s) \in \mathbb{C}\) відповідне\(s\). Як показано на малюнку, простий експоненціальний вхід дасть результат
\[y(t)=H(s) e^{s t} \nonumber \]
Використовуючи це і те, що\(\mathscr{H}\) є лінійним, обчислення\(y(t)\) для комбінацій складних експоненціальних також є простим.
\[\begin{align} c_{1} e^{s_{1} t}+c_{2} e^{s_{2} t} &\rightarrow c_{1} H\left(s_{1}\right) e^{s_{1} t}+c_{2} H\left(s_{2}\right) e^{s_{2} t} \\[4pt] \sum_{n} c_{n} e^{s_{n} t} &\rightarrow \sum_{n} c_{n} H\left(s_{n}\right) e^{s_{n} t} \end{align} \nonumber \]
Дія\(H\) на вхідні дані, такі як ті, що знаходяться в двох рівняннях вище, легко пояснити. \(\mathbf{\mathscr{H}}\)незалежно масштабує кожну експоненціальну складову\(e^{s_nt}\) різним комплексним числом\(H\left(s_{n}\right) \in \mathbb{C}\). Таким чином, якщо ми можемо записати функцію\(f(t)\) як комбінацію складних експоненціальних, це дозволяє нам легко обчислити вихід системи.
Синтез рядів Фур'є
Жозеф Фур'є продемонстрував, що довільна\(f(t)\) може бути записана як лінійна комбінація гармонічних комплексних синусоїдів.
\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{j \omega_{0} n t} \label{6.3} \]
де\(\omega_0=\frac{2 \pi}{T}\) - основна частота. Майже для всіх\(f(t)\) практичних інтересів існує,\(c_n\) щоб зробити Equation\ ref {6.3} істинним. Якщо\(f(t)\) є скінченною енергією\(\left(f(t) \in L^{2}[0, T]\right)\), то рівність у Рівнянні\ ref {6.3} тримається в сенсі зближення енергії; якщо\(f(t)\) неперервна, то рівняння\ ref {6.3} тримає точково. Крім того, якщо\(f(t)\) відповідає деяким м'яким умовам (умовам Діріхле), то Equation\ ref {6.3} тримає точково скрізь, крім точок розриву.
The\(c_n\) - називається коефіцієнтами Фур'є - говорить нам «скільки» синусоїди\(e^{j \omega_0 nt}\) знаходиться в\(f(t)\). Формула відображається\(f(t)\) як сума складних експоненціальних, кожна з яких легко обробляється системою LTI (оскільки вона є власною функцією кожної системи LTI). Математично це говорить нам про те, що множина складних експоненціальних\(\left\{\forall n, n \in \mathbb{Z}:\left(e^{j \omega_{0} n t}\right)\right\}\) формує основу для простору\(T\) -періодичних неперервних функцій часу.
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Ми знаємо з формули Ейлера, що\(\cos (\omega t)+\sin (\omega t)=\frac{1-j}{2} e^{j \omega t}+\frac{1+j}{2} e^{-j \omega t}\).
Демонстрація синтезу з синусоїдами
Аналіз рядів Фур'є
Знаходження коефіцієнтів розширення рядів Фур'є передбачає деяку алгебраїчну маніпуляцію формулою синтезу. Перш за все помножимо обидві сторони рівняння на\(e^{-\left(j \omega_{0} k t\right)}\), де\(k \in \mathbb{Z}\).
\[f(t) e^{-\left(j \omega_{0} k t\right)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{j \omega_{0} n t} e^{-\left(j \omega_{0} k t\right)} \label{6.4} \]
Тепер інтегруйте обидві сторони протягом певного періоду\(T\):
\[\int_{0}^{T} f(t) e^{-\left(j \omega_{0} k t\right)} \mathrm{d} t=\int_{0}^{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{j \omega_{0} n t} e^{-\left(j \omega_{0} k t\right)} \mathrm{d} t \label{6.5} \]
З правого боку ми можемо переключити підсумовування та інтеграл та коефіцієнт постійної з інтеграла.
\[\int_{0}^{T} f(t) e^{-\left(j \omega_{0} k t\right)} \mathrm{d} t=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} \int_{0}^{T} e^{j \omega_{0}(n-k) t} \mathrm{d} t \label{6.6} \]
Тепер, коли ми зробили це, здавалося б, більш складним, давайте зосередимося лише на\(\int_{0}^{T} e^{j \omega_{0}(n-k) t} \mathrm{d} t\) інтегралі, на правій стороні вищевказаного рівняння. Для цього інтеграла нам потрібно буде розглянути два випадки:\(n=k\) і\(n \neq k\). Бо у\(n=k\) нас буде:
\[\forall n, n=k:\left(\int_{0}^{T} e^{j \omega_{0}(n-k) t} \mathrm{d} t=T\right) \label{6.7} \]
Для\(n \neq k\), у нас буде:
\[\forall n, n \neq k:\left(\int_{0}^{T} e^{j \omega_{0}(n-k) t} \mathrm{d} t=\int_{0}^{T} \cos \left(\omega_{0}(n-k) t\right) \mathrm{d} t+j \int_{0}^{T} \sin \left(\omega_{0}(n-k) t\right) \mathrm{d} t\right) \label{6.8} \]
Але\(\cos(\omega_0(n−k)t)\) має ціле число періодів\(n−k\), між 0 і\(T\). Уявіть собі графік косинуса; оскільки він має цілу кількість періодів, є рівні області над і нижче осі x графіка. Це твердження справедливо\(\sin(\omega_0(n−k)t)\) і для. Що це означає
\[\int_{0}^{T} \cos \left(\omega_{0}(n-k) t\right) \mathrm{d} t=0 \nonumber \]
який також тримає інтеграл за участю синусоїдальної функції. Тому ми робимо висновок наступне про наш інтеграл інтересу:
\ [\ int_ {0} ^ {T} e^ {j\ omega_ {0} (n-k) t}\ mathrm {d} t=\ лівий\ {\ begin {масив} {l}
T\ текст {якщо} n = k\\
0\ текст {інакше}
\ кінець {масив}\ праворуч. \ номер\]
Тепер повернемо нашу увагу на наше складне рівняння, Equation\ ref {6.6}, щоб побачити, чи можемо ми закінчити пошук рівняння для наших коефіцієнтів Фур'є. Використовуючи факти, які ми щойно довели вище, ми можемо побачити, що єдиний раз Equation\ ref {6.6} матиме ненульовий результат,\(n\) коли\(k\) і рівні:
\[\forall n, n=k:\left(\int_{0}^{T} f(t) e^{-\left(j \omega_{0} n t\right)} \mathrm{d} t=T c_{n}\right) \nonumber \]
Нарешті, ми маємо наше загальне рівняння для коефіцієнтів Фур'є:
\[c_{n}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-\left(j \omega_{0} n t\right)} \mathrm{d} t \nonumber \]
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Розглянемо квадратну хвильову функцію, задану
\ [x (t) =\ лівий\ {\ begin {масив} {cc}
1/2 & t\ leq 1/2\\
-1/2 & t>1/2
\ end {масив}\ справа. \ номер\]
на одиничному інтервалі\(t \in \mathbb{Z}[0,1)\).
\ [\ почати {вирівнювати*}
c_ {k} &=\ int_ {0} ^ {1} x (t) e^ {-j 2\ пі k t} д т\ номер\
&=\ int_ {0} ^ {1/2} {2} e^ {-j 2\ pi k t} d t-\ int_ {1/2} {1}\ розрив {1} {2} e^ {-j 2\ pi k t} d t\ nonumber\\
&=\ frac {j\ ліворуч (-1+e^ {j\ pi k}\ праворуч)} {2\ pi k}
\ кінець {вирівнювати*}\ nonumber\]
Таким чином, коефіцієнти Фур'є цієї функції, знайдені за допомогою формули аналізу рядів Фур'є
\ [c_ {k} =\ лівий\ {\ begin {масив} {cc}
-j/\ pi k &\ text {k непарний}\\
0 &\ текст {k парний}
\ кінець {масив}\ справа. \ номер\]
Підсумок серії Фур'є
Оскільки складні експоненціальні є власнимифункціями систем LTI, часто корисно представляти сигнали, використовуючи в якості основи набір складних експоненціальних. Формула синтезу неперервного часу рядів Фур'є виражає неперервний час, періодичну функцію як суму неперервного часу, дискретні частотні комплексні експоненціальні показники.
\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{j \omega_{0} n t} \nonumber \]
Формула аналізу рядів Фур'є безперервного часу дає коефіцієнти розширення рядів Фур'є.
\[c_{n}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-\left(j \omega_{0} n t\right)} \mathrm{d} t \nonumber \]
В обох цих рівняннях\(\omega_0 = \frac{2 \pi}{T}\) є основна частота.