Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5.1: Вступ до аналізу Фур'є

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    34194

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Зухвалий стрибок Фур'є

    Фур'є постулював близько 1807 року, що будь-який періодичний сигнал (еквівалентно кінцевої довжини сигналу) може бути побудований як нескінченна лінійна комбінація гармонічних синусоїдальних хвиль.

    Тобто з огляду на колекцію

    \[B=\left\{e^{j \frac{2 \pi}{T} n t}\right\}_{n=-\infty}^{\infty} \nonumber \]

    будь-який

    \[f(t) \in L^{2}[0, T) \nonumber \]

    може бути наближений довільно близько

    \[f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_{n} e^{j \frac{2 \pi}{T} n t}. \nonumber \]

    Тепер питання точної конвергенції принесло Фур'є багато критики з боку Французької академії наук (Лаплас, Лагранж, Монж і Лакруа складали комітет огляду) протягом декількох років після його презентації 1807. Вона не була вирішена протягом також століття, і її дозвіл цікаво і важливо розуміти з практичної точки зору. Детальніше в розділі про явища Гіббса.

    Аналіз Фур'є є основоположним для розуміння поведінки сигналів і систем. Це є результатом того, що синусоїди є власнимифункціями (Розділ 14.5) лінійних, інваріантних за часом (LTI) (Розділ 2.2) систем. Це означає, що якщо ми передаємо якусь конкретну синусоїду через систему LTI, ми отримаємо масштабовану версію тієї ж синусоїди на виході. Потім, оскільки аналіз Фур'є дозволяє нам перевизначити сигнали з точки зору синусоїдів, все, що нам потрібно зробити, це визначити, як будь-яка дана система впливає на всі можливі синусоїди (її передавальна функція), і ми маємо повне розуміння системи. Крім того, оскільки ми можемо визначити проходження синусоїдів через систему як множення цієї синусоїди передавальною функцією на тій же частоті, ми можемо перетворити проходження будь-якого сигналу через систему від згортки (Розділ 3.4) (у часі) до множення (за частотою). Ці ідеї і є те, що дає аналізу Фур'є його силу.

    Тепер, сподіваємось, продали вам вартість цього методу аналізу, ми повинні точно вивчити, що ми маємо на увазі під аналізом Фур'є. Чотири перетворення Фур'є, що складають цей аналіз, - це ряди Фур'є, безперервне перетворення Фур'є (розділ 8.2), дискретне перетворення Фур'є (розділ 9.2) та дискретне перетворення Фур'є. Для цього документа ми розглянемо перетворення Лапласа (розділ 11.1) та Z-Transform як просто розширення CTFT та DTFT відповідно. Всі ці перетворення діють по суті однаково, перетворюючи сигнал у часі в еквівалентний сигнал за частотою (синусоїди). Однак, залежно від характеру конкретного сигналу, тобто чи є він скінченною або нескінченною довжиною, і чи є він дискретним або безперервним часом), існує відповідне перетворення для перетворення сигналу в частотну область. Нижче наведена таблиця чотирьох перетворень Фур'є і коли кожна доречна. Він також включає відповідну згортку для зазначеного простору.

    Таблиця\(\PageIndex{1}\): Таблиця представлень Фур'є
    Трансформувати Домен часу Частотна область згортка
    Безперервний час серії Фур'є \(L^2([0,T))\) \(l^{2}(\mathbb{Z})\) Безперервний час Циркуляр
    Безперервне перетворення Фур'є \(L^2(\mathbb{R})\) \(L^{2}(\mathbb{R})\) Безперервний час лінійний
    Дискретне перетворення Фур'є \(l^{2}(\mathbb{Z})\) \(L^{2}([0,2 \pi))\) Дискретний час Лінійний
    Дискретне перетворення Фур'є \(l^{2}([0, N-1])\) \(l^{2}([0, N-1])\) Дискретний час кругової