4.7: Лінійні рівняння різниці постійного коефіцієнта
- Page ID
- 34043
Вступ: Різницеві рівняння
У нашому дослідженні сигналів і систем часто буде корисно описати системи, що використовують рівняння, що включають швидкість зміни в деякій кількості. У дискретний час це моделюється за допомогою різницевих рівнянь, які є специфічним типом рекуррентного відношення. Наприклад, нагадаємо, що кошти на рахунку з дискретно збільшеною процентною ставкою\(r\) збільшаться в\(r\) рази від попереднього залишку. Таким чином, дискретно складена система відсотків описується різницевим рівнянням першого порядку, показаним у Equation\ ref {4.50}.
\[y(n)=(1+r)y(n−1) \label{4.50} \]
З огляду на досить описову множину початкових умов або граничних умов, якщо є розв'язання різницевого рівняння, це рішення є унікальним і описує поведінку системи. Звичайно, результати точні лише в тій мірі, в якій модель відображає реальність.
Лінійний постійний коефіцієнт різницевих
Важливим підкласом різницевих рівнянь є множина лінійних постійних різницевих рівнянь коефіцієнтів. Ці рівняння мають вигляд
\[Cy(n)=f(n) \label{4.51} \]
де\(C\) - оператор різниці заданої форми
\[ C=c_{N} D^{N}+c_{N-1} D^{N-1}+\ldots+c_{1} D+c_{0} \label{4.52} \]
в якому\(D\) знаходиться оператор першої різниці
\[ D(y(n))=y(n)-y(n-1). \label{4.53} \]
Зауважте, що оператори цього типу задовольняють умовам лінійності, і\(c_{0}, \dots, c_{n}\) є дійсними константами.
Однак Equation\ ref {4.51} можна легко записати як рівняння повторення лінійного постійного коефіцієнта без різницевих операторів. І навпаки, лінійні рівняння постійного коефіцієнта рекурренції також можуть бути записані у вигляді різницевого рівняння, тому два типи рівнянь є різними уявленнями одного і того ж відношення. Хоча ми все одно будемо називати їх лінійними постійними рівняннями різниці коефіцієнтів у цьому курсі, ми зазвичай не будемо записувати їх за допомогою різницевих операторів. Замість цього ми запишемо їх у простішій формі рекуррентних відносин
\[ \sum_{k=0}^{N} a_{k} y(n-k)=\sum_{k=0}^{M} b_{k} x(n-k) \label{4.54} \]
де\(x\) - вхід в систему і\(y\) - вихід. Це можна переставити, щоб знайти\(y(n)\) як
\[y(n)=\frac{1}{a_{0}}\left(-\sum_{k=1}^{N} a_{k} y(n-k)+\sum_{k=0}^{M} b_{k} x(n-k)\right) \label{4.55} \]
Форми, надані Equation\ ref {4.54} та Equation\ ref {4.55}, будуть використані в решті частини цього курсу.
Аналогічна концепція для безперервного встановлення часу, диференціальних рівнянь, розглядається в розділі, присвяченому аналізу часової області систем безперервного часу. Існує багато паралелей між обговоренням лінійних постійних коефіцієнтів звичайних диференціальних рівнянь та лінійних постійних різницевих рівнянь коефіцієнтів.
Застосування різницевих рівнянь
Різницеві рівняння можуть бути використані для опису багатьох корисних цифрових фільтрів, як описано в розділі, де обговорюється z-перетворення. Додатковий наочний приклад наведено тут.
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Нагадаємо, що послідовність Фібоначчі описує (дуже нереальну) модель того, що відбувається, коли пара кроликів залишається одна в чорному ящику... Припущення полягають у тому, що пара кроликів ніколи не вмирає і виробляє пару потомства щомісяця, починаючи з другого місяця життя. Ця система визначається рекурсійним співвідношенням кількості пар кроликів\(y(n)\) за місяць.\(n\)
\[y(n)=y(n-1)+y(n-2) \nonumber \]
з початковими умовами\(y(0)=0\) і\(y(1)=1\). В результаті виходить дуже швидке зростання в послідовності. Ось чому ми не відкриваємо чорні ящики.
Лінійний постійний коефіцієнт різниці рівнянь
Різницеві рівняння є важливим математичним інструментом для моделювання дискретних часових систем. Важливим підкласом з них є клас лінійних постійних різницевих рівнянь коефіцієнтів. Лінійні постійні різницеві рівняння коефіцієнтів часто особливо легко вирішуються, як це буде описано в модулі розв'язків лінійних постійних різницевих рівнянь коефіцієнтів і корисні при описі широкого спектру ситуацій, що виникають в електротехніці та в інших сферах.