4.6: Стабільність BIBO дискретних систем часу

Last updated
Save as PDF

Page ID: 34042

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вступ

Стабільність BIBO означає обмежений вхід, обмежену стабільність виходу. Стабільність BIBO - це властивість системи, що будь-який обмежений вхід дає обмежений вихід. Це означає, що до тих пір, поки ми вводимо сигнал з абсолютним значенням менше, ніж якась постійна, ми гарантовано матимемо вихід з абсолютним значенням менше, ніж якась інша константа.

Дискретна стабільність часу BIBO

Для того, щоб зрозуміти це поняття, ми повинні спочатку більш уважно розглянути те, що ми маємо на увазі під обмеженим. Обмежений сигнал - це будь-який сигнал, такий, що існує таке значення, що абсолютне значення сигналу ніколи не перевищує деякого значення. Оскільки це значення є довільним, ми маємо на увазі, що ні в якому разі сигнал не може прагнути до нескінченності, включаючи поведінку кінця.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Обмежений сигнал - це сигнал, для якого існує константа\(A\) така, що\(\forall n:(|f[n]|<A)\)

Умови часового домену

Тепер, коли ми визначили, що означає обмежений сигнал, ми повинні звернути свою увагу на умову, якою повинна володіти система, щоб гарантувати, що якщо будь-який обмежений сигнал буде проходити через систему, обмежений сигнал виникне на виході. Виходить, що система безперервного часу LTI (розділ 2.1) з імпульсною характеристикою\(h[n]\) є стабільною BIBO тоді і тільки тоді, коли вона абсолютно підсумовується. Тобто

Умова дискретного часу для стабільності BIBO

\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|<\infty \nonumber \]

Умови Z-домену

Стабільність сигналів дискретного часу (розділ 1.1) в z-домені приблизно так само легко продемонструвати, як і для сигналів безперервного часу в області Лапласа. Однак замість області збіжності, яка потребує містити\(j \omega\) -вісь, ROC повинна містити одиничне коло. Отже, для стійких причинно-наслідкових систем всі полюси повинні знаходитися в межах одиничного кола.

Рисунок\(\PageIndex{2}\): (а) Стабільна система дискретного часу. (b) Нестабільна система дискретного часу.

Підсумок стабільності BIBO

Обмежена вхідна стабільність обмеженого виходу, також відома як стабільність BIBO, є важливою і загалом бажаною характеристикою системи. Система є стабільною BIBO, якщо кожен обмежений вхідний сигнал призводить до обмеженого вихідного сигналу, де обмеженість є властивістю того, що абсолютне значення сигналу не перевищує деяку кінцеву константу. Що стосується особливостей часової області, дискретна система часу є стабільною BIBO тоді і тільки тоді, коли її імпульсна характеристика абсолютно підсумовується. Так само, з точки зору z-доменних ознак, система безперервного часу є стабільною BIBO тоді і тільки тоді, коли область збіжності передавальної функції включає одиничне коло.