4.5: власні функції дискретних часових систем LTI

Last updated
Save as PDF

Page ID: 34050

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вступ

Перед читанням цього модуля читач вже повинен мати певний досвід роботи з лінійною алгеброю і повинен бути спеціально ознайомлений з власними векторами та власними значеннями лінійних операторів. Лінійна інваріантна система часу є лінійним оператором, визначеним у функціональному просторі, який комутується з кожним оператором зсуву часу на цьому просторі функції. Таким чином, ми також можемо розглянути власні векторні функції, або власні функції системи. Особливо легко обчислити вихід системи, коли власна функція є входом, оскільки виходом є просто власна функція, масштабована пов'язаним власним значенням. Показано, що дискретні часові комплексні експоненціальні показники служать власними функціями лінійних часових інваріантних систем, що працюють на дискретних часових сигналах.

ВЛАСНІ ФУНКЦІЇ СИСТЕМ LTI

Розглянемо лінійну часову інваріантність системи\(H\) з імпульсною характеристикою hh, що працює на деякому просторі дискретних часових сигналів нескінченної довжини. Нагадаємо, що вихід\(H(x[n])\) системи для заданого входу\(x[n]\) задається дискретною тимчасовою згорткою імпульсного відгуку з входом.

\[ H(x[n])=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] x[n-k]. \nonumber \]

Тепер розглянемо вхід\(x(n)=e^{sn}\) куди\(s \in \mathbb{C}\). Обчислення виходу для цього входу,

\ [\ почати {вирівняти}
Н\ ліворуч (e^ {s n}\ праворуч) &=\ сума_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} h [k] e^ {s (n-k)}\ номер\\
&=\ сума {k=-\ infty} ^ {\ infty} h [k] e^ {s n} e^ {s n} e^ {s n}\ nonumber\\
&=e^ {s n}\ sum_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} h [k] e^ {-s k}
\ end {вирівнювання}. \ номер\]

Таким чином,

\[H\left(e^{s n}\right)=\lambda_{s} e^{s n} \nonumber \]

де

\[\lambda_{s}=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] e^{-s k} \nonumber \]

є власним значенням, відповідним власному вектору\(e^{sn}\).

Є деякі додаткові моменти, про які варто згадати. Зауважте, що все ще можуть бути додаткові власні значення лінійної інваріантної системи часу, не описаної\(e^{sn}\) для деяких\(s \in \mathbb{C}\). Крім того, вищезазначене обговорення було дещо формально вільним, оскільки\(e^{sn}\) може належати чи не належати до простору, на якому працює система. Однак для наших цілей складні експоненціальні будуть прийняті як власні вектори лінійних інваріантних систем часу. Подібний аргумент, що використовує дискретну кругову згортку часу, також буде утримувати для просторів сигналів скінченної довжини.

Резюме власних функцій систем LTI

Показано, що дискретні часові комплексні експоненціальні є власними функціями лінійних часових інваріантних систем, що працюють на дискретних часових сигналах. Таким чином, особливо просто обчислити вихід лінійної інваріантної системи часу для складного експоненціального входу, оскільки результатом є складний експоненціальний вихід, масштабований пов'язаним власним значенням. Отже, зображення дискретних часових сигналів в терміні дискретних часових складних експоненціальних показників дають перевагу при вивченні сигналів. Як буде пояснено пізніше, це те, що досягається дискретним тимчасовим перетворенням Фур'є та дискретним часовим рядом Фур'є, які застосовуються до аперіодичних та періодичних сигналів відповідно.