4.4: Властивості дискретної часової згортки

Вступ

Ми вже показали важливу роль, яку відіграє дискретна часова згортка в обробці сигналів. У цьому розділі наведено обговорення та доказ деяких важливих властивостей дискретної часової згортки. Аналогічні властивості можуть бути показані для дискретної часової кругової згортки з тривіальною модифікацією наданих доказів, крім випадків, коли явно зазначено інше.

Властивості дискретного часу згортки

Асоціативність

Операція згортки асоціативна. Тобто для всіх дискретних сигналів часу\(f_1,f_2,f_3\) дотримується наступна залежність.

\[f_{1} *\left(f_{2} * f_{3}\right)=\left(f_{1} * f_{2}\right) * f_{3} \nonumber \]

Для того, щоб показати це, зверніть увагу, що

\ [\ почати {вирівняти}
\ ліворуч (f_ {1} *\ ліво (f_ {2} * f_ {3}\ праворуч)\ праворуч) [n] &=\ sum_ {k_ {1} =-\ infty} ^ {\ infty} ^ {\ infty} ^ {1}\ вліво}\ sum_ {k_ {k_ {k_} 1}\ праворуч] f_ {2}\ лівий [k_ {2}\ праворуч] f_ {3}\ лівий [\ лівий (n-k_ {1}\ правий) -k_ {2}\ право]\ номер\\
&=\ сума {k_ {1} =-\ infty} ^ {\ infty}\ sum_ {k_ {2 } =-\ infty} ^ {\ infty} f_ {1}\ лівий [k_ {1}\ праворуч] f_ {2}\ лівий [\ лівий (k_ {1} +k_ {2}\ праворуч) -k_ {1}\ праворуч] f_ {3}\ лівий [n-\ лівий (k_ {1} +k_ {2}\ праворуч)\] номер\\
&=\ сума {k_ {3} =-\ intty} ^ {\ infty}\ sum_ {k_ {1} =-\ infty} ^ {\ infty} f_ {1}\ лівий [k_ {1}\ праворуч] f_ {2}\ лівий [k_ {3} -k_ {1}\ праворуч] f_ {3} [n-k_ {3}\ право]\ номер\\
&=\ ліворуч (\ ліворуч (f_ {1} * f_ {2}\ праворуч) * f_ {3}\ праворуч) [n]
\ end {вирівнювання}\ nonumber\]

доведення відносин за бажанням шляхом підміни\(k_3=k_1+k_2\).

Комутативність

Операція згортки комутативна. Тобто для всіх дискретних сигналів часу\(f_1, f_2\) дотримується наступна залежність.

\[f_{1} * f_{2}=f_{2} * f_{1} \nonumber \]

Для того, щоб показати це, зверніть увагу, що

\ [\ почати {вирівняти}
\ ліворуч (f_ {1} * f_ {2}\ праворуч) [n] &=\ sum_ {k_ {1} =-\ infty} ^ {\ infty} f_ {1}\ лівий [k_ {1}\ праворуч] f_ {2}\ лівий [n-k_ {1}\ правий]\ nonumber\\
&=\ сума {k_ {2} =-\ infty} ^ {\ infty} f_ {1}\ лівий [n-k_ {2}\ правий] f_ {2}\ лівий [k_ {2}\ правий]\ номер\\
&=\ лівий (f_ {2} * f_ {1} \ праворуч) [n]
\ end {вирівнювання}\ nonumber\]

доведення відносин за бажанням шляхом підміни\(k_2=n−k_1\).

Дистрибутивність

Операція згортки розподільна над операцією додавання. Тобто для всіх дискретних сигналів часу\(f_1,f_2,f_3\) дотримується наступна залежність.

\[f_{1} *\left(f_{2}+f_{3}\right)=f_{1} * f_{2}+f_{1} * f_{3} \nonumber \]

Для того, щоб показати це, зверніть увагу, що

\ [\ почати {вирівняти}
\ ліворуч (f_ {1} *\ лівий (f_ {2} +f_ {3}\ праворуч)\ праворуч) (n) &=\ sum_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} f_ {1} (k)\ лівий (f_ {2} (n-k) +f_ {3} (n-k)\ праворуч)\ nonu число\\
&=\ сума_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} f_ {1} (k) f_ {2} (n-k) +\ сума_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} f_ {1} (k) f_ {3} (n-k)\ номер\\
&= \ ліворуч (f_ {1} * f_ {2} +f_ {1} * f_ {3}\ праворуч) (n)
\ кінець {вирівнювання}\ nonumber\]

доведення відносин за бажанням.

Багатолінійність

Операція згортки є лінійною в кожній з двох функціональних змінних. Аддиктивність у кожній змінній є результатом розподілу згортки над додаванням. Однорідність порядку першого в кожній змінній є результатом того, що для всіх дискретних часових сигналів\(f_1, f_2\) і скалярів має наступну залежність.

\[a\left(f_{1} * f_{2}\right)=\left(a f_{1}\right) * f_{2}=f_{1}*\left(a f_{2}\right) \nonumber \]

Для того, щоб показати це, зверніть увагу, що

\ [\ почати {вирівняти}
\ ліво (а\ ліворуч (f_ {1} * f_ {2}\ праворуч)\ праворуч) [n] &= a\ сума {k=-\ infty} ^ {\ infty} f_ {1} [k] f_ {2} [n-k]\ nonumber\\
&=\ sum_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} ^ {\ infty} ty}\ ліворуч (a f_ {1} [k]\ праворуч) f_ {2} [n-k]\ nonumber\\
&=\ ліворуч (\ ліворуч (a f_ {1}\ праворуч) * f_ {2}\ праворуч) [n]\ nonumber\\
&=\ sum_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} f_ {1} [k]\ лівий (a f_ {2} [n-k]\ правий)\ номер\
&=\ лівий (f_ {1} *\ лівий (a f_ {2}\ праворуч)\ правий) [n]
\ кінець {вирівнювання}\ number\]

доведення відносин за бажанням.

відмінювання

Робота згортки має наступну властивість для всіх дискретних тимчасових сигналів\(f_1,f_2\).

\[\overline{f_{1}^{*} f_{2}}=\overline{f_{1}} * \overline{f_{2}} \nonumber \]

Для того, щоб показати це, зверніть увагу, що

\ [\ почати {вирівняти}
(\ оверлайн {f_ {1} * f_ {2}}) [n] &=\ сума_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} f_ {1} [k] f_ {2} [n-k]}\ nonномер\\
&=\ sum_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} ^ {\ infty}\ оверлайн {f_ {1} [k] f_ {2} [n-k]}\ номер\\
&=\ сума {k=-\ infty} ^ {\ infty}\ overline {f_ {1}} [k]\ overline {f_ {2}} [n] -k]\ nonumber\\
& =(\ overline {f_ {1}} *\ overline {f_ {2}}) [n]
\ end {вирівнювання}\ nonumber\]

доведення відносин за бажанням.

Час зсуву

Операція згортки має наступну властивість для всіх дискретних сигналів часу,\(f_1, f_2\) де\(S_T\) оператор зсуву часу с\(T \in \mathbb{Z}\).

\[ S_{T}\left(f_{1} * f_{2}\right)=\left(S_{T} f_{1}\right) * f_{2}=f_{1} *\left(S_{T} f_{2}\right) \nonumber \]

Для того, щоб показати це, зверніть увагу, що

\ [\ почати {вирівняти}
S_ {T}\ ліворуч (f_ {1} * f_ {2}\ праворуч) [n] &=\ сума {k=-\ infty} ^ {\ infty} f_ {2} [k] f_ {1} [(n-t) -k]\ номер\\
&=\ сума {k=-\ infty} ^ {\ infty} f_ {2} [k] S_ {T} f_ {1} [n-k]\ номер\
&=\ лівий (\ лівий (S_ {T} f_ {1}\ праворуч) * f_ {2}\ праворуч) [n]\ nonumber\\
&=\ сума_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} f_ {1} [k] f_ {2} [(n-t) -k]\ номер\\
&=\ сума {k=-\ intty} ^ {\ infty} f_ {1} [k] S_ {T} f_ {2} [n-k]\ nnumber\
=f_ {1} *\ ліворуч (S_ {T} f_ {2}\ праворуч) [n]
\ end {вирівняти}\ nonumber\]

доведення відносин за бажанням.

Імпульсна згортка

Операція згортки має наступну властивість для всіх дискретних сигналів часу,\(f\) де\(\delta\) є функція одиничної вибірки.

\[f * \delta=f \nonumber \]

Для того, щоб показати це, зверніть увагу, що

\ [\ почати {вирівняти}
(f *\ дельта) [n] &=\ sum_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} f [k]\ дельта [n-k]\ nonumber\
&= f [n]\ sum_ {k=-\ infty} ^ {\ infty}\ дельта [n-k]\ nonumber\\
&=f [n]
\ кінець {вирівняти}\ nonumber\]

доведення відносин за бажанням.

Ширина

Операція згортки має наступну властивість для всіх дискретних сигналів часу,\(f_1, f_2\) де Тривалість (\(f\)) дає тривалість сигналу\(f\).

\[\text{Duration} \left(f_{1} * f_{2}\right) = \text{ Duration} \left(f_{1}\right)+\text{ Duration}\left(f_{2}\right)-1 \nonumber \]

Для того, щоб показати це неофіційно, зверніть увагу, що\((f_1*f_2)[n]\) є ненульовим\(n\) для всіх, для яких існує\(k\) таке, що\(f_1[k]f_2[n−k]\) є ненульовим. При перегляді однієї функції як зворотної та ковзаючої повз іншу, легко побачити, що така\(k\) існує для всіх\(n\) на інтервалі довжини Duration (\(f_1\)) + Duration (\(f_2\)) − 1. Зауважте, що це не завжди вірно для кругової згортки скінченної довжини та періодичних сигналів, оскільки тоді існує максимально можлива тривалість протягом періоду.

Резюме властивостей згортки

Як видно, робота дискретної тимчасової згортки має кілька важливих властивостей, які були перераховані і доведені в цьому модулі. З silight модифікацій доказів, більшість з них також поширюється на дискретний час кругової згортки, а також випадки, в яких трапляються винятки, були відзначені вище. Ці ідентичності буде корисно пам'ятати, оскільки читач продовжує вивчати сигнали та системи.