4.3: Дискретна згортка часу
- Page ID
- 34033
Вступ
Згортка, одне з найважливіших понять в електротехніці, може бути використана для визначення виходу, який система виробляє для даного вхідного сигналу. Можна показати, що лінійна інваріантна система часу повністю характеризується своєю імпульсною характеристикою. Властивість просіювання дискретної тимчасової імпульсної функції говорить нам про те, що вхідний сигнал до системи може бути представлений у вигляді суми масштабованих і зсунутих одиничних імпульсів. Таким чином, за лінійністю, здавалося б розумним обчислити вихідний сигнал як суму масштабованих і зсунутих одиничних імпульсних відповідей. Саме це і здійснює операція згортки. Отже, згортка може бути використана для визначення лінійної інваріантної системи за часом на основі знання вхідного та імпульсного відгуку.
Згортка і кругова згортка
згортка
Визначення операції
Дискретна часова згортка - операція на двох дискретних сигналах часу, визначених інтегралом
\[(f * g)[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f[k] g[n-k] \nonumber \]
для всіх сигналів\(f\),\(g\) визначених на\(\mathbb{Z}\). Важливо відзначити, що операція згортки є комутативною, що означає, що
\[f * g=g * f \nonumber \]
для всіх сигналів\(f\),\(g\) визначених на\(\mathbb{Z}\). Таким чином, операція згортки могла бути так само легко заявлена, використовуючи еквівалентне визначення
\[(f * g)[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f[n-k] g[k] \nonumber \]
для всіх сигналів\(f\),\(g\) визначених на\(\mathbb{Z}\). Згортка має кілька інших важливих властивостей, які не вказані тут, але пояснені та отримані в більш пізньому модулі.
Визначення Мотивація
Вищевказане визначення операції було обрано особливо корисним при дослідженні лінійних інваріантних систем часу. Для того щоб переконатися в цьому, розглянемо лінійну інваріантну за часом систему\(H\) з одиничною імпульсною характеристикою\(h\). Враховуючи вхідний сигнал системи,\(x\) ми хотіли б обчислити вихідний сигнал системи\(H(x)\). По-перше, відзначимо, що вхід може бути виражений у вигляді згортки
\[x[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \delta[n-k] \nonumber \]
за властивістю просіювання одиничної імпульсної функції. За лінійності
\[ H(x[n])=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] H(\delta[n-k]). \nonumber \]
Так як\(H(\delta[n-k])\) зсувається одиниця імпульсної\(h[n−k]\) характеристики, то це дає результат
\[ H(x[n])=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n-k]=(x * h)[n]. \nonumber \]
Звідси визначено згортку таким чином, що вихід лінійної інваріантної системи часу задається згорткою системного входу з імпульсною характеристикою системного блоку.
Графічна інтуїція
Часто корисно мати можливість візуалізувати обчислення згортки з точки зору графічних процесів. Розглянемо згортку двох функцій\(f\),\(g\) задану
\[(f * g)[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f[k] g[n-k]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f[n-k] g[k]. \nonumber \]
Першим кроком у графічному розумінні роботи згортки є побудова кожної з функцій. Далі потрібно вибрати одну з функцій, а її графік відбитий поперек\(k=0\) осі. Для кожного реального\(n\) ця ж функція повинна бути зрушена вліво\(n\). Потім обчислюється точковий добуток двох результуючих графіків, а потім підсумовуються всі значення.
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Нагадаємо, що імпульсна характеристика для дискретного часу відлуння системи зворотного зв'язку з коефіцієнтом посилення\(a\) дорівнює
\[h[n]=a^{n} u[n], \nonumber \]
і розглянути відповідь на вхідний сигнал, який є іншою експоненціальною
\[x[n]=b^{n} u[n] . \nonumber \]
Відомо, що вихід для цього входу задається згорткою імпульсної характеристики з вхідним сигналом
\[y[n]=x[n] * h[n]. \nonumber \]
Ми хотіли б обчислити цю операцію, починаючи таким чином, що мінімізує алгебраїчну складність виразу. Однак в цьому випадку кожен можливий вибір однаково простий. Таким чином, ми хотіли б обчислити
\[ y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} a^{k} u[k] b^{n-k} u[n-k]. \nonumber \]
Функції кроку можуть бути використані для подальшого спрощення цієї суми. Тому,
\[y[n]=0 \nonumber \]
для\(n<0\) і
\[y[n]=\sum_{k=0}^{n}[a b]^{k} \nonumber \]
для\(n \geq 0\). Отже, за умови\(a b \neq 1\), що ми маємо
\ [y [n] =\ лівий\ {\ begin {масив} {cc}
0 & n<0\
\\ frac {1- (a b) ^ {n+1}} {1- (a b)} & n\ geq 0
\ end {масив}\ справа. \ номер\]
Кругова згортка
Дискретна часова кругова згортка - операція на двох скінченних довжин або періодичних дискретних часових сигналах, визначених сумою
\[(f \circledast g)[n]=\sum_{k=0}^{N-1} \hat{f}[k] \hat{g}[n-k] \nonumber \]
для всіх сигналів\(f\),\(g\) визначених на\(\mathbb{Z}[0, N-1]\) де\(\hat{f}\),\(\hat{g}\) є періодичними розширеннями\(f\) і\(g\). Важливо зазначити, що операція кругової згортки є комутативною, що означає, що
\[f \circledast g = g \circledast f \nonumber \]
для всіх сигналів\(f\),\(g\) визначених на\(\mathbb{Z}[0, N-1]\). Таким чином, операція кругової згортки могла бути так само легко заявлена, використовуючи еквівалентне визначення
\[(f \circledast g)[n]=\sum_{k=0}^{N-1} \hat{f}[n-k] \hat{g}[k] \nonumber \]
для всіх сигналів\(f\),\(g\) визначених на\(\mathbb{Z}[0, N-1]\) де\(\hat{f}\),\(\hat{g}\) є періодичними розширеннями\(f\) і\(g\). Кругова згортка має кілька інших важливих властивостей, які не вказані тут, але пояснені та отримані в більш пізньому модулі.
Крім того, дискретну часову кругову згортку можна виразити у вигляді суми двох підсумовувань, заданих
\[(f \circledast g)[n]=\sum_{k=0}^{n} f[k] g[n-k]+\sum_{k=n+1}^{N-1} f[k] g[n-k+N] \nonumber \]
для всіх сигналів\(f\),\(g\) визначених на\(\mathbb{Z}[0, N-1]\).
Значні приклади обчислення дискретних часових кругових згорток у часовій області включали б складні алгебраїчні маніпуляції, пов'язані з обертанням навколо поведінки, що в кінцевому підсумку буде більш заплутаним, ніж корисним. Таким чином, в цьому розділі нічого не буде надано. Звичайно, приклади обчислень у часовій області легко програмувати та демонструвати. Однак дискретні часові кругові згортки легше обчислюються за допомогою інструментів частотної області, як буде показано в розділі дискретних часових рядів Фур'є.
Визначення Мотивація
Вищевказане визначення операції було обрано особливо корисним при дослідженні лінійних інваріантних систем часу. Для того щоб переконатися в цьому, розглянемо лінійну інваріантну за часом систему\(H\) з одиничною імпульсною характеристикою\(h\). Враховуючи періодичний вхідний сигнал системи,\(x\) ми хотіли б обчислити вихідний сигнал системи\(H(x)\). По-перше, відзначимо, що вхід може бути виражений у вигляді кругової згортки
\[x[n]=\sum_{k=0}^{N-1} \widehat{x}[k] \hat{\delta}[n-k] \nonumber \]
за властивістю просіювання одиничної імпульсної функції. За лінійності,
\[H(x[n])=\sum_{k=0}^{N-1} \widehat{x}[k] H(\hat{\delta}[n-k]). \nonumber \]
Так як\(H(\delta[n-k])\) зсувається одиниця імпульсної\(h[n−k]\) характеристики, то це дає результат
\[ H(x[n])=\sum_{k=0}^{N-1} \hat{x}[k] \hat{h}[n-k]=(x \circledast h)[n]. \nonumber \]
Звідси визначено кругову згортку, що вихід лінійної інваріантної системи часу задається згорткою системного входу з імпульсною характеристикою системного блоку.
Графічна інтуїція
Часто корисно мати можливість візуалізувати обчислення кругової згортки з точки зору графічних процесів. Розглянемо кругову згортку двох функцій скінченної довжини\(f\),\(g\) заданої
\[(f \circledast g)[n]=\sum_{k=0}^{N-1} \hat{f}[k] \hat{g}[n-k]=\sum_{k=0}^{N-1} \hat{f}[n-k] \hat{g}[k] \nonumber \]
Першим кроком у графічному розумінні операції згортки є побудова кожного з періодичних розширень функцій. Далі потрібно вибрати одну з функцій, а її графік відбитий поперек\(k=0\) осі. Для кожного\(n \in \mathbb{Z}[0, N-1]\) ця ж функція повинна бути зрушена вліво на\(n\). Потім обчислюється точковий добуток двох результуючих графіків, і, нарешті, всі ці значення підсумовуються.
Інтерактивний елемент
Короткий зміст згортки
Згортка, одне з найважливіших понять в електротехніці, може бути використана для визначення вихідного сигналу лінійної інваріантної системи часу для заданого вхідного сигналу зі знанням одиничної імпульсної характеристики системи. Робота дискретної часової згортки визначена таким чином, що вона виконує цю функцію для нескінченних довжин дискретних часових сигналів і систем. Робота дискретної часової кругової згортки визначена таким чином, що вона виконує цю функцію для скінченних довжин і періодичних дискретних часових сигналів. У кожному конкретному випадку виходом системи є згортка або кругова згортка вхідного сигналу з одиничною імпульсною характеристикою.