4.1: Дискретні системи часу

Last updated
Save as PDF

Page ID: 34027

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вступ

Як ви вже зараз знаєте, дискретна система часу працює на дискретному вхідному сигналі часу і виробляє дискретний вихід тимчасового сигналу. Існує безліч прикладів корисних дискретних систем часу в цифровій обробці сигналів, таких як цифрові фільтри для зображень або звуку. Клас дискретних часових систем, які є як лінійними, так і часовими інваріантними, відомі як дискретні системи часу LTI, представляє особливий інтерес, оскільки властивості лінійності та часової інваріантності разом дозволяють використовувати деякі найважливіші та потужні інструменти в обробці сигналів.

Дискретні системи часу

Лінійність і часова інваріантність

Система\(H\) називається лінійною, якщо вона задовольняє двом важливим умовам. Перший, адитивність, стверджує для кожної пари сигналів\(x\),\(y\) що\(H(x+y)=H(x)+H(y)\). Другий, однорідність першого ступеня, станів для кожного сигналу\(x\) і скалярного, який\(a\) ми маємо\(H(ax)=aH(x)\). Зрозуміло, що ці умови можуть бути об'єднані воєдино в єдину умову лінійності. Таким чином, система, як кажуть, є лінійною, якщо для кожного сигналу\(x\),\(y\) і скалярів\(a\),\(b\) ми маємо це

\[H(a x+b y)=a H(x)+b H(y). \nonumber \]

Лінійність є особливо важливою властивістю систем, оскільки вона дозволяє використовувати потужні інструменти лінійної алгебри, такі як основи, власні вектори та власні значення, при їх вивченні.

Система, як кажуть,\(H\) є інваріантною в часі, якщо тимчасовий зсув вхідного сигналу виробляє відповідний зміщений вихід. Іншими, більш точними словами, система\(H\) комутує з оператором зсуву часу\(S_T\) для кожного\(T \in \mathbb{Z}\). Тобто,

\[S_{T} H=H S_{T}. \nonumber \]

Часова інваріантність бажана, оскільки вона полегшує обчислення, відображаючи нашу інтуїцію, що, всі інші рівні, фізичні системи повинні реагувати однаково на однакові входи в різний час.

Коли система проявляє обидві ці важливі властивості, вона відкривається. Як буде пояснено і доведено в наступних модулів, обчислення системного виходу для даного входу стає простим питанням згортання входу з сигналом імпульсної характеристики системи. Також доведено пізніше той факт, що складні експоненціальні є власнимивекторами лінійних часових інваріантних систем стимулюватиме використання інструментів частотної області, таких як різні перетворення Фур'є та пов'язані з ними передавальні функції, для опису поведінки лінійних часових інваріантних систем.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Розглянемо систему,\(H\) в якій

\[H(x[n])=2 x[n] \nonumber \]

для всіх сигналів\(f\). З огляду на будь-які два сигнали\(f\),\(g\) і скаляри\(a\),\(b\)

\[H(a f[n]+b g[n]))=2(a f[n]+b g[n])=a 2 f[n]+b 2 g[n]=a H(f[n])+b H(g[n]) \nonumber \]

для всіх цілих чисел\(n\). Таким чином,\(H\) являє собою лінійну систему. Для всіх цілих чисел\(T\) і\(x\) сигналів

\[S_{T}(H(x[n]))=S_{T}(2 x[n])=2 x[n-T]=H(x[n-T])=H\left(S_{T}(x[n])\right) \nonumber \]

для всіх цілих чисел\(n\). Таким чином,\(H\) є тимчасова інваріантна система. Тому\(H\) є лінійна інваріантна система часу.

Представлення рівняння різниці

Часто корисно описувати системи, використовуючи рівняння, що включають швидкість зміни в деякій кількості. Для дискретних систем часу такі рівняння називаються різницевими рівняннями, типом рекуррентного відношення. Одним з важливих класів різницевих рівнянь є сукупність лінійних постійних коефіцієнтних різницевих рівнянь, які більш детально описані в наступних модулів.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Нагадаємо, що послідовність Фібоначчі описує (дуже нереальну) модель того, що відбувається, коли пара кроликів залишається одна в чорному ящику... Припущення полягають у тому, що пара кроликів ніколи не вмирає і виробляє пару потомства щомісяця, починаючи з другого місяця життя. Ця система визначається рекурсійним співвідношенням для кількості пар кроликів\(y[n]\) за місяць\(n\)

\[y[n]=y[n-1]+y[n-2] \nonumber \]

з початковими умовами\(y[0]=0\) і\(y[1]=1\). В результаті виходить дуже швидке зростання в послідовності. Ось чому ми ніколи не залишаємо чорні ящики відкритими.

Дискретні системи часу Резюме

Багато корисних дискретних систем часу будуть зустрічатися при дослідженні сигналів і систем. Цей курс найбільше цікавить ті, які демонструють як властивість лінійності, так і властивість інваріантності часу, які разом дають можливість використовувати деякі найпотужніші інструменти обробки сигналів. Часто корисно описати їх з точки зору швидкості зміни через лінійні постійні різницеві рівняння коефіцієнта, тип рекуррентного відношення.