2.2: Лінійні інваріантні системи часу

Last updated
Save as PDF

Page ID: 34211

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вступ

Лінійність і часова інваріантність - це дві системні властивості, які значно спрощують вивчення систем, які їх демонструють. При нашому вивченні сигналів і систем нас особливо зацікавили системи, що демонструють обидва ці властивості, які в сукупності дозволяють використовувати деякі найпотужніші інструменти обробки сигналів.

Лінійні інваріантні системи часу

Лінійні системи

Якщо система лінійна, це означає, що коли вхід в задану систему масштабується за значенням, вихід системи масштабується на ту саму величину.

На малюнку\(\PageIndex{1}\) (а) вище вхід\(x\) до лінійної системи\(L\) дає вихід\(y\). Якщо\(x\) масштабується за значенням\(\alpha\) і передається через цю саму систему, як на рис.\(\PageIndex{1}\) (b), вивід також буде масштабований\(\alpha\).

Лінійна система також підпорядковується принципу суперпозиції. Це означає, що якщо два входи скласти разом і пройти через лінійну систему, то вихід буде сумою виходів окремих входів.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Якщо\(\PageIndex{2}\) фігура істинна, то принцип суперпозиції говорить про те,\(\PageIndex{3}\) що фігура вірна також. Це стосується лінійних систем.

Тобто, якщо Figure\(\PageIndex{2}\) вірно, то Figure\(\PageIndex{3}\) вірно і для лінійної системи. Згадане вище властивість масштабування все ще тримається в поєднанні з принципом суперпозиції. Тому, якщо входи x і y масштабуються за факторами\(\alpha\) і\(\beta\), відповідно, то сума цих масштабованих входів дасть суму окремих масштабованих виходів:

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Дана цифра\(\PageIndex{4}\) для лінійної системи, Фігура також\(\PageIndex{5}\) тримає.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Розглянемо систему,\(H_1\) в якій

\[H_{1}(f(t))=t f(t) \nonumber \]

для всіх сигналів\(f\). З огляду на будь-які два сигнали\(f\),\(g\) і скаляри\(a\),\(b\)

\[\left.H_{1}(a f(t)+b g(t))\right)=t(a f(t)+b g(t))=atf(t)+b t g(t)=a H_{1}(f(t))+b H_{1}(g(t)) \nonumber \]

для всіх реальних\(t\). Таким чином,\(H_1\) виходить лінійна система.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Розглянемо систему,\(H_2\) в якій

\[H_{2}(f(t))=(f(t))^{2} \nonumber \]

для всіх сигналів\(f\). Тому що

\[H_{2}(2 t)=4 t^{2} \neq 2 t^{2}=2 H_{2}(t) \nonumber \]

для ненульових\(t\), не\(H_2\) є лінійною системою.

Інваріантні системи часу

Інваріантна за часом система має властивість, що певний вхід завжди буде давати однаковий вихід (аж до часу), незалежно від того, коли вхід був застосований до системи.

Рисунок\(\PageIndex{6}\): Рисунок\(\PageIndex{6}\) (а) показує вхідні дані в\(t\) той час, як на малюнку\(\PageIndex{6}\) (b) показано ті самі вхідні\(t_0\) секунди пізніше. У інваріантній системі обидва виходи були б однаковими, за винятком того, що той, що на малюнку\(\PageIndex{6}\) (b) буде затриманий\(t_0\).

На цьому малюнку\(x(t)\) і\(x(t−t_0)\) проходять через систему ТІ. Оскільки система TI є інваріантною за часом, то входи\(x(t)\) і\(x(t−t_0)\) видають однаковий вихід. Різниця лише в тому, що вихід через\(x(t−t_0)\) зміщується на час\(t_0\).

Чи є система інваріантною або змінною в часі, можна побачити в диференціальному рівнянні (або різницевому рівнянні), що описує її. Інваріантні системи моделюються рівняннями постійних коефіцієнтів. Диференціальне (або різницеве) рівняння постійного коефіцієнта означає, що параметри системи не змінюються з часом, і вхід тепер дасть той же результат, що і той самий вхід пізніше.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Розглянемо систему,\(H_1\) в якій

\[H_{1}(f(t))=t f(t) \nonumber \]

для всіх сигналів\(f\). Тому що

\[S_{T}\left(H_{1}(f(t))\right)=S_{T}(t f(t))=(t-T) f(t-T) \neq t f(t-T)=H_{1}(f(t-T))=H_{1}\left(S_{T}(f(t))\right) \nonumber \]

для ненульових\(T\),\(H_1\) це не інваріантна система часу.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Розглянемо систему,\(H_2\) в якій

\[H_{2}(f(t))=(f(t))^{2} \nonumber \]

для всіх сигналів\(f\). Для всіх реальних\(T\) і сигналів\(f\),

\[S_{T}\left(H_{2}(f(t))\right)=S_{T}\left(f(t)^{2}\right)=(f(t-T))^{2}=H_{2}(f(t-T))=H_{2}\left(S_{T}(f(t))\right) \nonumber \]

для всіх реальних\(t\). Таким чином,\(H_2\) є тимчасова інваріантна система.

Лінійні інваріантні системи часу

Деякі системи є як лінійними, так і інваріантними за часом, і, таким чином, називаються системами LTI.

Малюнок\(\PageIndex{7}\): Це поєднання двох випадків вище. Оскільки вхід на рисунок\(\PageIndex{7}\) (b) є масштабованим, зсунутим у часі версією вхідних даних на рисунку\(\PageIndex{7}\) (a), так само і вихід.

Оскільки системи LTI є підмножиною лінійних систем, вони підкоряються принципу суперпозиції. На малюнку нижче ми бачимо ефект застосування інваріантності часу до визначення суперпозиції в розділі лінійних систем вище.

Малюнок\(\PageIndex{9}\): Принцип суперпозиції, застосований до систем LTI

Системи LTI в серії

Якщо дві або більше систем LTI знаходяться послідовно один з одним, їх порядок можна міняти місцями, не впливаючи на загальний вихід системи. Системи послідовно називають також каскадними системами.

Малюнок\(\PageIndex{10}\): Порядок каскадних систем LTI можна міняти місцями без зміни загального ефекту.

Системи LTI паралельно

Якщо дві або більше систем LTI знаходяться паралельно одна з одною, еквівалентна система - це та, яка визначається як сума цих окремих систем.

Малюнок\(\PageIndex{11}\): Паралельні системи можуть бути конденсовані в суму систем.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Розглянемо систему,\(H_3\) в якій

\[H_{3}(f(t))=2 f(t) \nonumber \]

для всіх сигналів\(f\). З огляду на будь-які два сигнали\(f\),\(g\) і скаляри\(a\),\(b\)

\[\left.H_{3}(a f(t)+b g(t))\right)=2(a f(t)+b g(t))=a 2 f(t)+b 2 g(t)=a H_{3}(f(t))+b H_{3}(g(t)) \nonumber \]

для всіх реальних\(t\). Таким чином,\(H_3\) виходить лінійна система. Для всіх реальних\(T\) і сигналів\(f\),

\[S_{T}\left(H_{3}(f(t))\right)=S_{T}(2 f(t))=2 f(t-T)=H_{3}(f(t-T))=H_{3}\left(S_{T}(f(t))\right) \nonumber \]

для всіх реальних\(t\). Таким чином,\(H_3\) є тимчасова інваріантна система. Тому\(H_3\) є лінійна інваріантна система часу.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Як було показано раніше, кожна з наступних систем не є лінійною або не інваріантною за часом.

\[H_{1}(f(t))=t f(t) \nonumber \]

\[H_{2}(f(t))=(f(t))^{2} \nonumber \]

Таким чином, вони не є лінійними інваріантними системами часу.

Лінійний час Інваріантна Демонстрація

LTI Демо — Взаємодійте (коли онлайн) з Mathematica CDF вище демонструє лінійні інваріантні системи часу. Щоб завантажити, клацніть правою кнопкою миші та збережіть файл як .cdf.

Резюме систем LTI

Тільки що були детально описані два дуже важливих і корисних властивості систем. Перший з них, лінійність, дозволяє нам знати, що сума вхідних сигналів виробляє вихідний сигнал, який є підсумованими вихідними сигналами, і що масштабований вхідний сигнал виробляє вихідний сигнал, масштабований від вихідного вихідного сигналу. Друга з них, тимчасова інваріантність, гарантує, що часові зсуви комутують із застосуванням системи. Іншими словами, вихідний сигнал для зміщеного за часом входу такий же, як вихідний сигнал для вихідного вхідного сигналу, за винятком ідентичного зсуву в часі. Системи, які демонструють як лінійність, так і часову інваріантність, які даються абревіатурою систем LTI, особливо прості у вивченні, оскільки ці властивості дозволяють нам використовувати деякі найпотужніші інструменти в обробці сигналів.