2.1: Системні класифікації та властивості

Last updated
Save as PDF

Page ID: 34210

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вступ

У цьому модулі будуть коротко введені деякі основні класифікації систем та пояснені найважливіші властивості цих систем. Як видно, властивості тієї чи іншої системи забезпечують простий спосіб відрізнити одну систему від іншої. Розуміння цих основних відмінностей між системами та їх властивостями буде фундаментальною концепцією, яка використовується у всіх сигнальних та системних курсах. Після того, як набір систем може бути ідентифікований як поділ певних властивостей, більше не потрібно докоряти певну характеристику системи кожного разу, але це може бути просто відомо завдяки класифікації системи.

Класифікація систем

Безперервний проти дискретного

Однією з найважливіших відмінностей для розуміння є різниця між дискретними системами часу та безперервного часу. Система, в якій вхідний сигнал і вихідний сигнал обидва мають безперервні області, як кажуть, є безперервною системою. Один, в якому вхідний сигнал і вихідний сигнал обидва мають дискретні області, як кажуть, дискретна система. Звичайно, можна уявити сигнали, які не належать ні до однієї категорії, наприклад, системи, в яких відбувається вибірка безперервного сигналу часу або реконструкція з дискретного сигналу часу.

Лінійний проти нелінійних

Лінійна система - це будь-яка система, яка підпорядковується властивостям масштабування (однорідність першого порядку) і суперпозиції (аддиктивності), далі описаним нижче. Нелінійна система - це будь-яка система, яка не має хоча б одного з цих властивостей.

Щоб показати, що система\(H\) підпорядковується властивості масштабування - це показати, що

\[H(k f(t))=k H(f(t)) \nonumber \]

Рисунок\(\PageIndex{1}\): Блок-схема, що демонструє властивість масштабування лінійності

Продемонструвати, що система\(H\) підпорядковується властивості суперпозиції лінійності - це показати, що

\[H\left(f_{1}(t)+f_{2}(t)\right)=H\left(f_{1}(t)\right)+H\left(f_{2}(t)\right) \nonumber \]

Рисунок\(\PageIndex{2}\): Блок-схема, що демонструє властивість суперпозиції лінійності

Перевірити систему на лінійність можна за один (хоча і більший) крок. Для цього просто об'єднайте перші два кроки, щоб отримати

\[H\left(k_{1} f_{1}(t)+k_{2} f_{2}(t)\right)=k_{1} H\left(f_{1}(t)\right)+k_{2} H\left(f_{2}(t)\right) \nonumber \]

Інваріантний час проти мінливого часу

Система, як кажуть, є інваріантною в часі, якщо вона комутується з оператором зсуву параметрів\(T\), визначеним\(S_{T}(f(t))=f(t-T)\) для всіх, тобто

\[H S_{T}=S_{T} H \nonumber \]

для всіх реальних\(T\). Інтуїтивно, це означає, що для будь-якої вхідної функції, яка виробляє деяку вихідну функцію, будь-який часовий зсув цієї вхідної функції буде виробляти функцію виведення ідентичну в усіх відношеннях, за винятком того, що вона зрушена на ту ж суму. Будь-яка система, яка не має цієї властивості, кажуть, змінюється в часі.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Ця блок-схема показує, яка умова для тимчасової інваріантності. Вихід однаковий, чи ставиться затримка на вхід або вихід.

Причинно-наслідковий проти непричинного

Причинна система - це та, в якій вихід залежить тільки від поточних або минулих входів, але не майбутніх входів. Аналогічно, антипричинна система - це та, в якій вихід залежить тільки від поточних або майбутніх входів, але не минулих входів. Нарешті, непричинна система - це система, в якій вихід залежить як від минулих, так і від майбутніх входів. Всі системи «реального часу» повинні бути причинними, оскільки вони не можуть мати майбутніх входів, доступних для них.

Можна подумати, що ідея майбутніх входів, здається, не має великого фізичного сенсу; однак, ми мали справу лише з часом як з нашою залежною змінною досі, що не завжди так. Уявіть, скоріше, що ми хотіли зробити обробку зображень. Тоді залежна змінна може представляти позиції пікселів ліворуч і праворуч («майбутнє») поточної позиції на зображенні, і ми не обов'язково матимемо причинно-наслідкову систему.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): (а) Щоб типова система була причинною... (б)... вихід в той час\(t_0\)\(y(t_0)\), може залежати лише від частини вхідного сигналу раніше\(t_0\).

Стабільний проти нестабільного

Існує кілька визначень стабільності, але той, який буде використовуватися найчастіше в цьому курсі, буде обмежена вхідна, обмежена вихідна (BIBO) стабільність. У цьому контексті стабільною системою є система, в якій вихід обмежений, якщо вхід також обмежений. Аналогічно, нестабільною є система, в якій принаймні один обмежений вхід дає необмежений вихід.

Представляючи це математично, стабільна система повинна мати наступну властивість, де\(x(t)\) знаходиться вхід і\(y(t)\) є виходом. Вихід повинен задовольняти умові

\[|y(t)| \leq M_{y}<\infty \nonumber \]

всякий раз, коли ми маємо вхід в систему, яка задовольняє

\[|x(t)| \leq M_{x}<\infty \nonumber \]

\(M_x\)і\(M_y\) обидва представляють собою набір скінченних позитивних чисел, і ці відносини тримаються для всіх\(t\). В іншому випадку система працює нестабільно.

Резюме системних класифікацій

Цей модуль описує лише деякі з багатьох способів класифікації систем. Системи можуть бути безперервним часом, дискретним часом або ні. Вони можуть бути лінійними або нелінійними, інваріантними за часом або мінливими в часі, а також стабільними або нестабільними. Ми також можемо розділити їх виходячи з їх причинно-наслідкових властивостей. Існують і інші способи класифікації систем, такі як використання пам'яті, які тут не обговорюються, але будуть описані в наступних модулів.