1.9: Дискретний часовий комплекс експоненціальний
- Page ID
- 34255
Вступ
Складні експоненціальні показники є одними з найважливіших функцій у нашому дослідженні сигналів і систем. Їх важливість випливає з їх статусу власних функцій лінійних інваріантних систем часу; як така, представляти сигнали в терміні складних експоненціальних показників може бути як зручним, так і проникливим. Перш ніж приступити, слід ознайомитися з комплексними числами.
Експоненціальний дискретний часовий комплекс
Складні експоненціальні
Складна експоненціальна функція стане критичною частиною вашого дослідження сигналів і систем. Його загальна дискретна форма пишеться як
\[z^n \nonumber \]
де\(z\) - комплексне число. Згадуючи полярний вираз комплексних чисел,\(z\) можна виражати через його величину\(|z|\) і кут (або аргумент)\(\omega\) в комплексній площині:\(z=|z| e^{j \omega}\). Таким чином\(z^{n}=(|z|)^{n} e^{j \omega n}\). У контексті складних експоненціальних,\(\omega\) називається частотою. Поки розглянемо складні експоненціальні показники, для яких\(|z|=1\).
Ці дискретні часові складні експоненціальні мають наступну властивість, яка стане очевидною через обговорення формули Ейлера.
\[e^{j \omega n}=e^{j(\omega+2 \pi) n} \nonumber \]
З огляду на цю властивість, якщо ми маємо складну експоненціальну з частотою\(\omega + 2 \pi\), то цей сигнал «псевдонімів» до складної експоненціальної з частотою\(\omega\), маючи на увазі, що зображення рівнянь дискретних складних експоненціальних не є унікальними.
Формула Ейлера
Математик Ейлер довів важливу ідентичність, що пов'язує складні експоненціальні числа з тригонометричними функціями. Зокрема, він виявив однойменну ідентичність, формулу Ейлера, яка стверджує, що для будь-якого дійсного числа\(x\),
\[e^{j x}=\cos (x)+j \sin (x) \nonumber \]
що можна довести наступним чином.
Для того, щоб довести формулу Ейлера, ми починаємо з оцінки серії Тейлора для\(e^z\) про\(z=0\), який сходиться для всіх складних\(z\), в\(z=jx\). Результат -
\ почати {вирівняти}
e^ {j x} &=\ sum_ {k=0} ^ {\ infty}\ розрив {(j x) ^ {k}} {k!} \ номер\\
&=\ сума_ {k=0} ^ {\ infty} (-1) ^ {k}\ frac {x^ {2 k}} {(2 k)!} +j\ sum_ {k=0} ^ {\ infty} (-1) ^ {k}\ розрив {x^ {2 к+1}} {(2 к+1)!} \ nonumber\\
&=\ cos (x) +j\ sin (x)
\ кінець {вирівняти}
тому що другий вираз містить серії Тейлора для\(\cos(x)\) і\(\sin(x)\) про\(t=0\), які сходяться для всього реального\(x\). Таким чином, бажаний результат доведений.
Вибираючи\(x=\omega n\), ми маємо:
\[e^{j \omega n}=\cos (\omega n)+j \sin (\omega n) \nonumber \]
який розбиває дискретний часовий комплекс експоненціальний на його реальну частину та уявну частину. Використовуючи цю формулу, ми також можемо вивести наступні співвідношення.
\[\cos (\omega n)=\frac{1}{2} e^{j \omega n}+\frac{1}{2} e^{-j \omega n} \nonumber \]
\[\sin (\omega n)=\frac{1}{2 j} e^{j \omega n}-\frac{1}{2 j} e^{-j \omega n} \nonumber \]
Реальна та уявна частини складних експоненціальних
Тепер повернемося до більш загального випадку складних експоненціальних,\(z^n\). Нагадаємо, що\(z^{n}=(|z|)^{n} e^{j \omega n}\). Ми можемо висловити це з точки зору його реальної та уявної частин:
\[\operatorname{Re}\left\{z^{n}\right\}=(|z|)^{n} \cos (\omega n) \nonumber \]
\[\operatorname{Im}\left\{z^{n}\right\}=(|z|)^{n} \sin (\omega n) \nonumber \]
Тепер ми бачимо, що величина\(z\) встановлює експоненціальну оболонку до сигналу, з\(\omega\) керуванням швидкістю синусоїдального коливання всередині оболонки.
(а)
(б)
(c)
Дискретна складна експоненціальна демонстрація
Дискретний часовий комплекс експоненціального резюме
Дискретні часові складні експоненціальні є сигналами, що мають велике значення для дослідження сигналів і систем. Вони можуть бути пов'язані з синусоїдами через формулу Ейлера, яка ідентифікує реальну і уявну частини складних експоненціальних. Формула Ейлера показує, що загалом реальна та уявна частини складних експоненціальних є синусоїдами, помноженими на реальні експоненціальні.