1.8: Безперервний часовий комплекс експоненціальний
- Page ID
- 34258
Вступ
Складні експоненціальні показники є одними з найважливіших функцій у нашому дослідженні сигналів і систем. Їх важливість обумовлена їх статусом власних функцій лінійних інваріантних систем часу. Перш ніж приступити, слід ознайомитися з комплексними числами.
Експоненціальний комплекс безперервного часу
Складні експоненціальні
Складна експоненціальна функція стане критичною частиною вашого дослідження сигналів і систем. Його загальна безперервна форма пишеться як
\[Ae^{st} \nonumber \]
де\(s=\sigma+i \omega\) - комплексне число в перерахунку на\(\sigma\), постійну загасання та\(\omega\) кутову частоту.
Формула Ейлера
Математик Ейлер довів важливу ідентичність, що пов'язує складні експоненціальні числа з тригонометричними функціями. Зокрема, він виявив однойменну ідентичність, формулу Ейлера, яка стверджує, що
\[e^{j x}=\cos (x)+j \sin (x) \nonumber \]
що можна довести наступним чином.
Для того, щоб довести формулу Ейлера, ми починаємо з оцінки серії Тейлора для\(e^z\) про\(z=0\), який сходиться для всіх складних\(z\), в\(z=jx\). Результатом є
\ [\ почати {вирівняти}
e^ {j x} &=\ sum_ {k=0} ^ {\ infty}\ розрив {(j x) ^ {k}} {k!} \ номер\\
&=\ сума_ {k=0} ^ {\ infty} (-1) ^ {k}\ frac {x^ {2 k}} {(2 k)!} +j\ sum_ {k=0} ^ {\ infty} (-1) ^ {k}\ розрив {x^ {2 к+1}} {(2 к+1)!} \ nonumber\\
&=\ cos (x) +j\ sin (x)
\ кінець {вирівняти}\ nonumber\]
тому що другий вираз містить серії Тейлора для\(\cos(x)\) і\(\sin(x)\) про\(t=0\), які сходяться для всього реального\(x\). Таким чином, бажаний результат доведений.
Вибір\(x=\omega t\) цього дає результат
\[e^{j \omega t}=\cos (\omega t)+j \sin (\omega t) \nonumber \]
який розбиває суцільний часовий комплекс експоненціальний на його реальну частину та уявну частину. Використовуючи цю формулу, ми також можемо вивести наступні співвідношення.
\[\cos (\omega t)=\frac{1}{2} e^{j \omega t}+\frac{1}{2} e^{-j \omega t} \nonumber \]
\[\sin (\omega t)=\frac{1}{2 j} e^{j \omega t}-\frac{1}{2 j} e^{-j \omega t} \nonumber \]
Фазори безперервного часу
Показано, як складну експоненцію з чисто уявною частотою можна розбити на її реальну частину та уявну частину. Тепер розглянемо загальну складну частоту\(s=\sigma+\omega j\), де\(\sigma\) є коефіцієнт загасання і\(\omega\) є частотою. Також врахуйте різницю фаз\(\theta\). Звідси випливає, що
\[e^{(\sigma+j \omega) t+j \theta}=e^{\sigma t}(\cos (\omega t+\theta)+j \sin (\omega t+\theta)) \nonumber \]
Таким чином, реальна і уявна частини\(e^{st}\) з'являються нижче.
\[\operatorname{Re}\left\{e^{(\sigma+j \omega) t+j \theta}\right\}=e^{\sigma t} \cos (\omega t+\theta) \nonumber \]
\[\operatorname{Im}\left\{e^{(\sigma+j \omega) t+j \theta}\right\}=e^{\sigma t} \sin (\omega t+\theta) \nonumber \]
Використання дійсних або уявних частин складної експоненціальної для представлення синусоїдів із затримкою фази, помноженою на реальну експоненціальну, часто корисно і називається ослабленим позначенням фазорів.
Ми бачимо, що і реальна частина, і уявна частина мають синусоїду разів реальну експоненцію. Ми також знаємо, що синусоїди коливаються між одним і негативним. З цього стає очевидним, що реальна та уявна частини складної експоненціальної коливатиметься в межах оболонки, визначеної реальною експоненціальною частиною.
(а)
(б)
(c)Комплексна експоненціальна демонстрація
Безперервний часовий комплекс експоненціального резюме
Безперервні часові складні експоненціальні є сигналами, що мають велике значення для дослідження сигналів і систем. Вони можуть бути пов'язані з синусоїдами через формулу Ейлера, яка ідентифікує реальну і уявну частини чисто уявних складних експоненціальних. Формула Ейлера показує, що загалом реальна та уявна частини складних експоненціальних є синусоїдами, помноженими на реальні експоненціальні. Таким чином, ослаблені фазорні позначення часто корисні при вивченні цих сигналів.