Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.6: Імпульсна функція безперервного часу

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    34246

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Вступ

    В інженерії ми часто маємо справу з ідеєю дії, що відбувається в точці. Будь то сила в точці простору або якийсь інший сигнал у певний момент часу, стає варто розробити якийсь спосіб кількісного визначення цього. Це призводить нас до ідеї одиничного імпульсу, ймовірно, другої за важливістю функції, поруч зі складною експоненціальною, в цій системі і сигналах курсу.

    Дірак Дельта Функція

    Дельта-функція Дірака, яку часто називають одиничним імпульсом або дельта-функцією, - це функція, яка визначає ідею одиничного імпульсу в безперервному часі. Неофіційно ця функція є тією, яка нескінченно вузька, нескінченно висока, але інтегрується в одну. Мабуть, найпростіший спосіб візуалізувати це як прямокутний\(a+\frac{\varepsilon}{2}\) імпульс від\(a-\frac{\varepsilon}{2}\) до з висотою\(\frac{1}{\varepsilon}\). Коли ми приймаємо межу цього налаштування як\(\varepsilon\) наближається до 0, ми бачимо, що ширина прагне до нуля, а висота прагне до нескінченності, оскільки загальна площа залишається постійною на одиниці. Імпульсна функція часто пишеться як\(\delta(t)\).

    \[\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \mathrm{d} t=1 \nonumber \]

    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Це один із способів візуалізації Дельта-функції Дірака.
    Малюнок\(\PageIndex{2}\): Оскільки намалювати щось нескінченно високе досить складно, ми представляємо Дірака стрілкою, зосередженою в точці, яку він застосований. Якщо ми хочемо масштабувати його, ми можемо написати значення, яке воно масштабується поруч із точкою стрілки. Це одиничний імпульс (без масштабування).

    Нижче наведено короткий перелік декількох важливих властивостей одиниці імпульсу, не вдаючись у подробиці їх доказів.

    Властивості одиниці імпульсу

    • \(\delta(\alpha t)=\frac{1}{|\alpha|} \delta(t)\)
    • \(\delta(t)=\delta(-t)\)
    • \(\delta(t)=\frac{d}{dt} u(t)\), Де\(u(t)\) - крок агрегату.
    • \(f(t) \delta(t)=f(0) \delta(t)\)

    Останній з них особливо важливий, оскільки породжує властивість просіювання дельта-функції Дірака, яка вибирає значення функції в конкретний час і особливо важлива при вивченні зв'язку операції, званої згорткою, до аналізу лінійного часового інваріанта. систем. Властивість просіювання показано і виведено нижче.

    \[\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t) d t=\int_{-\infty}^{\infty} f(0) \delta(t) d t=f(0) \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) d t=f(0) \nonumber \]

    Демонстрація обмеження імпульсу

    CTIDEMO
    Малюнок\(\PageIndex{3}\): Клацніть на зображеному вище мініатюрі (у режимі онлайн), щоб завантажити інтерактивний програвач Mathematica, який демонструє функцію безперервного імпульсу часу.

    Підсумок імпульсу одиниці безперервного часу

    Імпульсна функція безперервної одиниці часу, також відома як дельта-функція Дірака, має велике значення для вивчення сигналів і систем. Неофіційно це функція з нескінченною висотою мурашки нескінченно малої ширини, яка інтегрується в одну, яку можна розглядати як граничну поведінку прямокутника одиниці площі, коли він звужується при збереженні площі. Він має кілька важливих властивостей, які з'являться знову при вивченні систем.