1.2: Розмір сигналу та норми
- Page ID
- 34251
Вступ
«Розмір» сигналу передбачав би деяке уявлення про його силу. Використовується математичне поняття норми для кількісної оцінки цього поняття як для сигналів безперервного часу, так і дискретного часу. Оскільки існує кілька типів норм, які можуть бути визначені для сигналів, існує кілька різних уявлень про розмір сигналу.
Сигнальна енергія
Нескінченна довжина, сигнали безперервного часу
Найбільш часто зустрічається поняттям енергії сигналу, визначеного на,\(\mathbb{R}\) є\(L_2\) норма, визначена квадратним коренем інтеграла квадрата сигналу, для якого призначаються позначення
\[\|f\|_{2}=\left(\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{2} d t\right)^{1 / 2} \label{1.4}. \]
Однак це уявлення можна узагальнити за допомогою визначення\(L_p\) норми, яка дається
\[\|f\|_{p}=\left(\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{p} d t\right)^{1 / p} \label{1.5} \]
для всіх\(1 \leq p<\infty\). Через поведінку цього виразу як\(p\) підходів\(\infty\), ми, крім того, визначаємо
\[\|f\|_{\infty}=\sup _{t \in \mathbb{R}}[f(t) |, \label{1.6} \]
яка є найменшою верхньою межею\(|f(t)|\). Кажуть\(f\), що сигнал належить до векторного простору\(L_{p}(\mathbb{R}) \text { if }\|f\|_{p}<\infty\).
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Наприклад, розглянемо функцію, визначену
\ [f (t) =\ лівий\ {\ begin {масив} {cc}
1/t & 1\ leq t\
0 &\ text {інакше}
\ end {масив}\ справа. \ етикетка {1.7}\]
\(L_1\)Нормою є
\[\|f\|_{1}=\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)| d t=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{t} d t=\infty . \nonumber \]
\(L_2\)Нормою є
\[\|f\|_{2}=\left(\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{2} d t\right)^{1 / 2}=\left(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{t^{2}} d t\right)^{1 / 2}=1.\nonumber \]
\(L_{\infty}\)Нормою є
\[\|f\|_{\infty}=\sup _{t \in \mathbb{R}}|f(t)|=\sup _{t \in \mathbb{R}[1, \infty)} \frac{1}{t}=1 . \nonumber \]
Кінчна довжина, сигнали безперервного часу
Найбільш часто зустрічається поняттям енергії сигналу, визначеного на,\(\mathbb{R}[a, b]\) є\(L_2\) норма, визначена квадратним коренем інтеграла квадрата сигналу, для якого призначаються позначення
\[\|f\|_{2}=\left(\int_{a}^{b}|f(t)|^{2} d t\right)^{1 / 2} \label{1.11}. \]
Однак це уявлення можна узагальнити за допомогою визначення\(L_p\) норми, яка дається
\[\|f\|_{p}=\left(\int_{a}^{b}|f(t)|^{p} d t\right)^{1 / p} \label{1.12} \]
для всіх\(1 \leq p<\infty\). Через поведінку цього виразу як\(p\) підходів\(\infty\), ми, крім того, визначаємо
\[\|f\|_{\infty}=\sup _{t \in \mathbb{R}[a, b]}|f(t)| \label{1.13} \]
яка є найменшою верхньою межею\(|f(t)|\). Сигнал\(f\), як кажуть, належить до векторного простору,\(L_{p}(\mathbb{R}[a, b])\) якщо\(\|f\|_{p}<\infty\). Періодичне продовження такого сигналу мало б нескінченну енергію, але кінцеву потужність.
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Наприклад, розглянемо функцію, визначену\(\mathbb{R}[-5,3]\) на
\ [f (t) =\ лівий\ {\ begin {масив} {ll}
t & -5<t<3\\
0 &\ text {інакше}
\ end {масив}\ справа. \ етикетка {1.14} . \]
\(L_1\)Нормою є
\[\|f\|_{1}=\int_{-5}^{3}|f(t)| d t=\int_{-5}^{3}|t| d t=17. \nonumber \]
\(L_2\)Нормою є
\[\|f\|_{2}=\left(\int_{-5}^{3} |f(t)|^{2} d t\right)^{1 / 2}=\left(\int_{-5}^{3}|t|^{2} d t\right)^{1 / 2} \approx 7.12 \nonumber \]
\(L_{\infty}\)Нормою є
\[\|f\|_{\infty}=\sup _{t \in \mathbb{R}[-5,3]}|t|=5. \nonumber \]
Нескінченна довжина, дискретні сигнали часу
Найбільш часто зустрічається поняттям енергії сигналу, визначеного на,\(\mathbb{Z}\) є\(l_2\) норма, визначена квадратним коренем сумації квадрата сигналу, для якої призначаються позначення
\[\|x[n]\|_{2}=\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^{2}\right)^{1 / 2} \label{1.18}. \]
Однак це уявлення можна узагальнити за допомогою визначення\(l_p\) норми, яка дається
\[\|x[n]\|_{p}=\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^{p}\right)^{1 / p} \label{1.19} \]
для всіх\(1 \leq p<\infty\). Через поведінку цього виразу як\(p\) підходів\(\infty\), ми, крім того, визначаємо
\[\|x[n]\|_{\infty}=\sup _{n \in \mathbb{Z}}|x[n]| \label{1.20}, \]
яка є найменшою верхньою межею\(|x[n]|\). Сигнал\(x\), як кажуть, належить до векторного простору,\(l_{p}(\mathbb{Z})\) якщо\(\|x[n]\|_{p}<\infty\).
Приклад\(\PageIndex{3}\)
Наприклад, розглянемо функцію, визначену
\ [x [n] =\ лівий\ {\ begin {масив} {cc}
1/n & 1\ leq n\
0 &\ text {інакше}
\ end {масив}\ праворуч. \ етикетка {1.21} . \]
\(l_1\)Нормою є
\[\|x[n]\|_{1}=\sum n=-\infty^{\infty}|x[n]|=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=\infty \label{1.22}. \]
\(l_2\)Нормою є
\[\|x[n]\|_{2}=\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^{2}\right)^{1 / 2}=\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}\right)^{1 / 2}=\frac{\pi \sqrt{6}}{6} \label{1.23} \]
\(l_{\infty}\)Нормою є
\[\|x[n]\|_{\infty}=\sup _{n \in \mathbb{Z}}|x[n]|=\sup _{n \in \mathbb{Z}[1, \infty)} \frac{1}{n}=1 \label{1.24}. \]
Скінченна довжина, дискретні сигнали часу
Найбільш часто зустрічається поняттям енергії сигналу, визначеного на,\(\mathbb{Z}[a, b]\) є\(l_2\) норма, визначена квадратним коренем сумації квадрата сигналу, для якої призначаються позначення
\[\|x[n]\|_{2}=\left(\sum_{n=a}^{b}|x[n]|^{2}\right)^{1 / 2} \label{1.25}. \]
Однак це уявлення можна узагальнити за допомогою визначення\(l_p\) норми, яка дається
\[\|x[n]\|_{p}=\left(\sum_{n=a}^{b}|x[n]|^{p}\right)^{1 / p} \label{1.26} \]
для всіх\(1 \leq p<\infty\). Через поведінку цього виразу як\(p\) підходів\(\infty\), ми, крім того, визначаємо
\[\|x[n]\|_{\infty}=\sup _{n \in \mathbb{Z}[a, b]}|x[n]| \label{1.27}, \]
яка є найменшою верхньою межею\(|x[n]|\). У цьому випадку ця найменша верхня межа є просто максимальним значенням\(|x[n]|\). Сигнал\(x[n]\), як кажуть, належить до векторного простору,\(l_{p}(\mathbb{Z}[a, b])\) якщо\(\|x[n]\|_{p}<\infty\). Періодичне продовження такого сигналу мало б нескінченну енергію, але кінцеву потужність.
Приклад\(\PageIndex{4}\)
Наприклад, розглянемо функцію, визначену\(\mathbb{Z}[-5,3]\) на
\ [x [n] =\ лівий\ {\ begin {масив} {cc}
n & -5<n<3\
0 &\ text {інакше}
\ end {масив}\ справа. \ етикетка {1.28}\]
\(l_1\)Нормою є
\[\|x[n]\|_{1}=\sum_{n=-5}^{3}|x[n]|=\sum-5^{3}|n|=21 \label{1.29}. \]
\(l_2\)Нормою є
\[\|x[n]\|_{2}=\left(\sum_{-5}^{3}|x[n]|^{2}\right)^{1 / 2}=\left(\sum_{-5}^{3}|n|^{2} d t\right)^{1 / 2} \approx 8.31 \label{1.30} \]
\(l_{\infty}\)Нормою є
\[\|x[n]\|_{\infty}=\sup _{n \in \mathbb{Z}[-5,3]}|x[n]|=5 \label{1.31}. \]
Сигнальні норми резюме
Поняття розміру сигналу або енергії формально розглядається через математичну концепцію норм. Існує безліч видів норм, які можуть бути визначені для сигналів, деякі з найважливіших з яких були розглянуті тут. Для кожного типу норми і кожного типу сигнальної області (безперервної або дискретної, і скінченної або нескінченної) існують векторні простори, визначені для сигналів скінченної норми. Нарешті, хоча ненульові періодичні сигнали мають нескінченну енергію, вони мають скінченну потужність, якщо їх одиниці одного періоду мають скінченну енергію.