Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10.3: Стаціонарні стани

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    29728

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Незважаючи на те, що для даного\(V (r)\) члена рівняння Шредінгера може бути неможливо розв'язати в замкнутій формі, багато можна сказати про природу його розв'язків, не знаючи їх детально. Це робиться шляхом вираження\(\psi (r, t)\) як сума функцій, відомих як стаціонарні стани.

    Стаціонарні стани - це за визначенням розв'язки рівняння Шредінгера, які мають певну форму, а саме добуток функції простору часів іншої функції часу. З рівняння Шредінгера можна легко показати, що найзагальніша форма стаціонарних станів може мати

    \(\psi (r, t) = \phi (r)e^{-iEt/ \hbar} \tag{10.5}\)

    для деякої реальної константи\(E\) (реальної, тому що в іншому випадку\(\psi (r, t)\) буде рости без обмежень протягом дуже великого або дуже малого часу), де\(\phi (r)\) підпорядковується рівнянню (не залучаючи час)

    і де інтеграл по всьому простору\(|\phi(r)|^2\) становить 1. Ця методика поділу\(\psi (r, t)\) залежності від двох її змінних\(r\) і іноді\(t\) називається «поділом змінних».

    Ненульові розв'язки для\(\phi (r)\) не можуть бути отримані для всіх значень\(E\). Можуть бути деякі діапазони, в яких будь-яке значення\(E\) в порядку і інші діапазони, в яких тільки конкретні дискретні значення\(E\) призводять до ненульових хвильових функцій. Взагалі кажучи, рішення, що відповідають дискретним значенням,\(E\) стають малими далеко (тобто вони «зникають на нескінченності») і тому локалізуються в просторі, хоча їх «ймовірні краплі» можуть мати великі значення в декількох місцях і тому можуть розглядатися як представляють два або більше частинки.

    Ці рішення називаються «стаціонарними станами», оскільки величина хвильової функції (а отже, і щільність ймовірності) не змінюється у часі; це лише функція простору.

    Для цих стаціонарних станів,\(E\) має цікаве тлумачення. Якщо ми помножимо кожну сторону рівняння 10.6 на\(\phi ^*(r)\) і інтегруємо над простором, ми побачимо, що (так само, як і в попередньому розділі) E - це сума двох членів з правого боку, інтерпретується як кінетична і потенційна енергія об'єкта. Таким\(E\) чином, загальна енергія, пов'язана з цим рішенням.

    Звичайно, загальні розв'язки рівняння Шредінгера з цим потенціалом не\(V (r)\) є стаціонарними станами, тобто не мають спеціальної форми Рівняння 10.5. Але пам'ятайте, що будь-яка лінійна комбінація розв'язків рівняння Шредінгера також є рішенням. Ми можемо використовувати ці стаціонарні стани як будівельні блоки для створення більш загальних рішень.

    Нас найбільше цікавлять стаціонарні стани, які локалізуються в просторі, так що\(E\) дозволені значення дискретні, хоча їх може бути багато (можливо, навіть незліченне нескінченне число). Якщо дозволити\(j\) бути індексом над стаціонарними станами, то можна визначити результуючі хвильові функції\(\psi_j (r, t)\) так, щоб вони обидва «нормалізувалися» в тому сенсі, що просторовий інтеграл величини кожного квадрата дорівнює 1 і «ортогональним» в тому сенсі, що добуток будь-якого з складний кон'югат іншого дорівнює нулю при інтеграції по всьому простору. Потім ми позначимо значення\(E\), які ми трактували як енергію, пов'язану з цим станом, шляхом\(e_j\).

    Тоді загальні розв'язки рівняння Шредінгера записуються у вигляді лінійної комбінації стаціонарних станів.

    \(\psi (r, t) = \displaystyle \sum_{j} a_j \phi_j (r) e^{-ie_jt/\hbar} \tag{10.7}\)

    де\(a_j\) відомі як коефіцієнти розширення, і можуть бути складними. Якщо хвильова функція\(\psi(r, t)\) нормалізується, то легко показано, що

    \(1 = \displaystyle \sum_{j} | a_j |^2 \tag{10.8}\)

    і що енергія, пов'язана з функцією, може бути записана в терміні\(e_j\) як

    \(\displaystyle \sum_{j} e_j| a_j |^2 \tag{10.9}\)

    З цих зв'язків ми спостерігаємо, що\(|a_j |^2\) поводиться як розподіл ймовірностей над подіями, що складаються з різних зайнятих станів, і що цей розподіл може бути використаний для обчислення середньої енергії, пов'язаної з об'єктом.

    Висновок нашого короткого екскурсу в квантову механіку полягає в обґрунтуванні багатостанової моделі, наведеної в наступному розділі. Ті читачі, які були готові прийняти цю модель без будь-яких пояснень, пропустили останні два розділи і тепер знову приєднуються до нас.