10.2: Вступ до квантової механіки
- Page ID
- 29738
Можливо, перше питання, яке потрібно запитати про фізичний об'єкт, - «де він?» У повсякденному досвіді можна відповісти на це питання з великою точністю, обмеженою лише якістю вимірювальних апаратів. Однак у сфері дуже малих об'єктів існують деякі фундаментальні обмеження, і для вирішення цього питання необхідно використовувати квантову механіку.
В її основі квантова механіка займається енергією. Через еквівалентність маси і енергії (згадайте знамениту формулу Ейнштейна,\(E = mc^2\) де\(c\) швидкість світла,\(2.998 × 10^8\) метри в секунду) квантова механіка також має справу з частинками з масою. А через взаємозв'язок між енергією фотона і його частотою (\(E = hf\)де постійна\(h\) Планка,\(6.626 × 10^{−34}\) Джоуль-секунди) квантова механіка займається фотонами.
Згідно з квантовою механікою, на питання «де це» не можна відповісти з упевненістю. Як ми маємо справу з невизначеністю? За допомогою присвоєння ймовірностей. Це трохи складніше через суцільну природу простору, і тому, що простір вважається нескінченним за ступенем (принаймні, якщо ігнорувати загальну відносність), але ідея така ж, як і для ймовірностей скінченної множини подій. Щільність ймовірностей невід'ємна і інтегрується по всьому простору до 1 (це як сума ймовірностей усіх подій, які є взаємовиключними і вичерпними, складаючи до 1).
Таким чином, у квантовій механіці об'єкт представлений як «ймовірність краплі», яка розвивається з часом. Як він еволюціонує? Основне рівняння записується не з точки зору щільності ймовірності, а скоріше з точки зору іншої функції простору та часу, з якої можна знайти щільність ймовірності.
Розглянемо квадратний корінь щільності ймовірності, як функцію простору і часу. Потім, для доданої загальності, нехай квадратний корінь буде або позитивним, або негативним - коли ви квадратуєте його, щоб отримати щільність ймовірності, будь-який з них буде робити. Далі, для ще більшої спільності, дозвольте цьому квадратному кореню мати довільну фазу в складній площині, щоб він мав як реальну, так і уявну частину. Ми більше не будемо називати це квадратним коренем, а натомість «хвильовою функцією»,\(\psi(r, t)\) яка є складнозначною функцією простору\(r\) та часу\(t\). Щільність ймовірності тоді дорівнює величині хвильової функції в квадраті
\(|\psi(r, t)|^2 = \psi(r, t)\psi ^* (r, t) \tag{10.1}\)
де зірочка * позначає складний сполучений.
Маючи справу з ймовірностями раніше, ми ніколи не виражали їх у плані чогось більш примітивного. Навіщо нам зараз? Тому що фундаментальне рівняння квантової механіки має справу,\(\psi (r, t)\) а не з щільністю ймовірності. Чому це? Не питайте. Це лише одна з багатьох химерних особливостей квантової механіки.
Фундаментальним рівнянням квантової механіки є рівняння Шредінгера, опубліковане в 1926 році австрійським фізиком Ервіном Шредінгером (1887—1961). \(^1\)
де\(i\) - (уявний) квадратний корінь -1,\(m\) - маса цього об'єкта,\(V(r)\) є потенційна енергетична функція, а\(\hbar = h/2\pi = 1.054 × 10^{−34}\) Джоуль-секунди. Зверніть увагу, що це рівняння містить часткові похідні як у просторі, так і в часі. Похідна по відношенню до часу - першого порядку, а просторові похідні - другого порядку. Лаплакіан\(\nabla ^2\) визначається як
\(\nabla ^2f = \dfrac {\partial ^2 f}{\partial x^2} + \dfrac {\partial ^2 f}{\partial y^2} + \dfrac {\partial ^2 f}{\partial z^2} \tag{10.3}\)
де\(x\)\(y\), і\(z\) є трьома просторовими розмірами.
Це рівняння 10.2 часто інтерпретується шляхом множення обох його сторін на\(\psi ^*(r, t)\) і інтеграції над простором. Потім ліва сторона ідентифікується як загальна енергія, а права - як сума кінетичної та потенційної енергій (якщо припустити, що хвильова функція нормалізується так, що космічний інтеграл\(|\psi (r, t)|^2\) дорівнює 1, властивість, необхідна для інтерпретації з точки зору щільності ймовірності). Поряд з такою інтерпретацією зручно\(i\hbar \partial/\partial t\) дзвонити енергооператору. Це оператор в математичному сенсі (щось, що діє на функцію і виробляє в результаті функцію), і він має правильні вимірні одиниці, щоб бути енергією. Квантова механіка часто формулюється з точки зору подібних операторів.
Рівняння Шредінгера оманливо просте. Це лінійне рівняння\(\psi (r, t)\) в тому сенсі, що якщо обидва\(\psi_1\) і\(\psi_2\) є розв'язками, то так і будь-яка лінійна їх комбінація.
\(\psi_{\text{total}} = \alpha_1 \psi_1 + \alpha_2 \psi_2 \tag{10.4}\)
де\(\alpha_1\) і\(\alpha_2\) є комплексними константами (якщо лінійна комбінація призведе до дійсного розподілу ймовірностей, то значення\(\alpha_1\) і\(\alpha_2\) повинні бути такими, що інтеграл по всьому простору\(|\psi_{\text{total}}|^2\) дорівнює 1). Однак крім найпростіших випадків\(V(r)\) рівняння не вирішувалося в замкнутому вигляді.
Строго кажучи, рівняння Шредінгера насправді є правильним лише в тому випадку, якщо описуваний об'єкт - це весь Всесвіт і\(V(r)\) = 0, і в цьому випадку рівняння марно, оскільки воно настільки складне. Однак він часто використовується як наближення у випадку, коли Всесвіт розглядається у двох частинах—малий (об'єкт), хвильова функція якого обчислюється, і решта Всесвіту («середовище»), вплив якої на об'єкт вважається представленим\(V (r)\) терміном. Зверніть увагу, що об'єкт може бути одним фотоном, одним електроном або двома і більше частинок, тобто він не повинен відповідати повсякденному поняттю однієї частинки.
Об'єкт може взаємодіяти зі своїм оточенням. Природно, якщо об'єкт змінює своє оточення (як це сталося б, якби було проведено вимірювання якоїсь властивості об'єкта), то навколишнє середовище в свою чергу змінить об'єкт. Таким чином, після вимірювання об'єкт, як правило, матиме іншу хвильову функцію, і деяка інформація про об'єкт може більше не бути доступною. Особливістю квантової механіки є те, що ця нова хвильова функція узгоджується зі змінами навколишнього середовища; чи є ця особливість наслідком рівняння Шредінгера чи є окремим аспектом квантової механіки, незрозуміло.
\(^1\)See a biography of Schrödinger at mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Schrödinger/