5.4: Спільні події та умовні ймовірності

Last updated
Save as PDF

Page ID: 29795

Paul Penfield, Jr.
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вас може зацікавити ймовірність того, що обраний символ має дві різні властивості. Наприклад, яка ймовірність того, що обраним першокурсником є жінка з Техасу? Чи можемо ми це знайти\(p(W, TX)\), якщо знаємо ймовірність того, що вибір - жінка\(p(W)\), і ймовірність того, що вибір з Техасу,\(p(TX)\)?

Ні в загальному. Можливо, 47% першокурсників - жінки, і може бути, що (скажімо) 5% першокурсників з Техасу, але самі ці факти не гарантують, що є жінки першокурсники з Техасу, не кажучи вже про те, скільки їх може бути.

Однак якщо відомо або передбачається, що дві події є незалежними (ймовірність одного не залежить від того, чи відбувається інша подія), то ймовірність спільного події (обох відбувається) можна знайти. Він є продуктом ймовірностей двох подій. У нашому прикладі, якщо відсоток жінок серед першокурсників з Техасу, як відомо, збігається з відсотком жінок серед всіх першокурсників, то

\(p(W, TX) = p(W)p(TX) \tag{5.4}\)

Оскільки для двох подій незвично бути самостійними, потрібна більш загальна формула спільних заходів. Ця формула використовує «умовні ймовірності», які є ймовірностями однієї події, враховуючи, що інша подія, як відомо, трапилася. У нашому прикладі умовна ймовірність вибору бути жінкою, враховуючи, що першокурсник, обраний з Техасу, позначається там,\(p(W | TX)\) де вертикальна смуга, читається «дано», розділяє дві події - обумовлюючу подію праворуч і обумовлену подію зліва. Якщо дві події незалежні, то ймовірність умовної події така ж, як і його нормальна, або «безумовна» ймовірність.

З точки зору умовних ймовірностей ймовірність спільної події - це ймовірність одного з подій, що разів перевищує ймовірність іншої події з огляду на те, що перша подія сталася:

\(\begin{align*} p(A, B) & = p(B)p(A \;|\; B) \\ & = p(A)p(B \;| \;A) \tag{5.5} \end{align*} \)

Зверніть увагу, що будь-яка подія може бути використана як обумовлююча подія, тому існує дві формули для цієї спільної ймовірності. За допомогою цих формул можна обчислити одну з умовних ймовірностей з іншої, навіть якщо вас не хвилює спільна ймовірність.

Ця формула відома як теорема Байєса після Томаса Байєса, англійського математика вісімнадцятого століття, який вперше сформулював її. Ми будемо часто використовувати теорему Байєса. Ця теорема має чудову узагальненість. Це правда, якщо дві події фізично або логічно пов'язані, і це правда, якщо вони не є. Це правда, якщо одна подія викликає іншу, і це правда, якщо це не так. Це правда, якщо результат відомий, і це правда, якщо результат не відомий.

Таким чином\(p(W, TX)\), ймовірність того, що студент, обраний - жінка з Техасу, - це ймовірність\(p(TX)\) того, що студент з Техасу обраний, разів ймовірність\(p(W | TX)\) того, що жінка обрана, враховуючи, що вибір - техас. Це також ймовірність того\(P(W)\), що жінка обрана, разів ймовірність того,\(p(TX | W)\) що хтось із Техасу обраний, враховуючи, що вибір - жінка.

\(\begin{align*} p(W, TX) & = p(TX)p(W \;|\; TX) \\ & = p(W)p(TX \;|\; W) \tag{5.6} \end{align*} \)

Як інший приклад розглянемо таблицю учнів вище, і припустимо, що один вибирається з усього студентського населення «навмання» (мається на увазі з однаковою ймовірністю для всіх окремих учнів). Яка ймовірність того\(p(M, G)\), що вибір має аспірант чоловічої статі? Це спільна ймовірність, і ми можемо використовувати теорему Байєса, якщо зможемо виявити необхідну умовну ймовірність.

Фундаментальним розділом в даному випадку є 10,206 фундаментальних подій, в яких вибирається конкретний студент. Сума всіх цих ймовірностей дорівнює 1, і за припущенням всі рівні, тому кожна ймовірність дорівнює 1/10,220 або близько 0,01%.

Імовірність того, що відбір аспіранта\(p(G)\) є сумою всіх ймовірностей 048 фундаментальних подій, пов'язаних з аспірантами, так\(p(G)\) = 6,048/10,220.

З огляду на, що відбір проходить аспірант, яка умовна ймовірність того, що вибір має чоловік? Ми зараз розглянемо набір аспірантів і вибір одного з них. Новий фундаментальний розділ - це 6,048 можливих варіантів аспіранта, і ми бачимо з наведеної вище таблиці, що 4,226 з них - чоловіки. Імовірності цього нового (умовного) виділення можна знайти наступним чином. Оригінальний вибір був «випадковим чином», тому всі студенти були однаково імовірно обрані. Зокрема, всі аспіранти були однаково імовірно відібрані, тому нові ймовірності будуть однаковими для всіх 6048. Оскільки їх сума дорівнює 1, кожна ймовірність дорівнює 1/6 048. Подія вибору чоловіка пов'язане з 4 226 з цих нових фундаментальних подій, тому умовна ймовірність\(p(M | G)\) = 4 226/6,048. Тому з теореми Байєса:

\[\begin{align*} p(M, G) & = p(G)p(M \;|\; G) \\ & = \dfrac{6,048}{10,220} \times \dfrac{4,226}{6,048} \\ & = \dfrac{4,226}{10,220} \tag{5.7} \end{align*} \]

До цієї проблеми можна підійти і навпаки: ймовірність вибору чоловіка р (М) = 6,541/10,220 і ймовірність вибору аспіранта, враховуючи, що це чоловік р (G | М) = 4,226/6,541 так (звичайно відповідь однакова)

\[\begin{align*} p(M, G) & = p(M)p(G \;|\; M) \\ & = \dfrac{6,541}{10,220} \times \dfrac{4,226}{6,541} \\ & = \dfrac{4,226}{10,220} \tag{5.8} \end{align*} \]