12.4: Термодинамічне перетворення енергії

У розділі 8.1 були введені чотири основні термодинамічні властивості: об'єм\(\mathbb{V}\)\(\mathbb{P}\), тиск\(T\), температура та ентропія\(S\). Багато пристроїв перетворюють між певною формою енергії та або енергією, що зберігається в обмеженому обсязі, енергією, що зберігається в матеріалі під тиском, енергією в різниці температур або енергією невпорядкованої системи. Ми можемо описати процеси перетворення енергії в цих приладах, використовуючи мову числення варіацій з одним із цих параметрів,\(\mathbb{V}\),\(\mathbb{P}\), або\(T\)\(S\), як узагальнений шлях, а інший як узагальнений потенціал. Таблиця\(\PageIndex{1}\) підводить підсумки.

Багато датчиків перетворюють енергію між електричною енергією та енергією, що зберігається в обсязі, тиску або різниці температур. Ємнісний датчик може вимірювати об'єм рідкого палива проти пари в баку літака. Тензодатчики та датчики гарячого дроту Піранхі (Розділ 10.4), наприклад, є датчиками, які можуть вимірювати тиск на твердих тілах або в газах. Піроелектричні детектори (п. 3.1), термоелектричні детектори (п. 8.7), термоелектронні пристрої (п. 10.1) та пристрої температури опору (п. 10.4) можуть бути використані для виявлення змін температури.

Багато інших пристроїв перетворення енергії перетворюють між енергією, що зберігається в обмеженому обсязі, енергією, що зберігається в матеріалі під тиском, або енергією в різниці температур і іншою формою енергії без залучення електрики. Наприклад, якщо ви прив'яжете повітряну кулю до іграшкової машинки, а потім випустіть повітря в повітряній кулі, іграшкова машина буде рухатися вперед. Енергія, що зберігається в обмеженому обсязі повітряної кулі, а також в розтягнутій гумі балона, перетворюється в кінетичну енергію іграшкового автомобіля. Аератор або пляшка зі шприцом перетворює енергію різниці тисків в кінетичну енергію рідини. Очна крапельниця перетворює енергію різниці тиску в гравітаційну потенційну енергію. Airfoil перетворює різницю тиску в кінетичну енергію у вигляді підйому. Поршень перетворює енергію газу під тиском в кінетичну енергію. Як обговорювалося в п. 10.5, звужена труба, або водослив, перетворює енергію різниці тиску в проточній рідині в кінетичну енергію рідини. Бейсбол, кинутий як кривий м'яч, перетворює енергію обертання обертового кулі в перепад тиску для відхилення шляху м'яча [162, с. 350]. Двигун стерлінгів перетворює різницю температур в кінетичну енергію.

Обчислення варіацій може бути використано для отримання уявлення про процеси термодинамічного перетворення енергії в цих пристроях. Першим кроком у застосуванні ідей обчислення варіацій є виявлення початкової і кінцевої форми енергії. Лагранж - це різниця між цими формами енергії як функція часу. Деякі автори вибирають Лагранжа в якості ентропії замість енергії [170] [171], але в усьому цьому тексті Лагранжа передбачається представляти енергію, як описано в гл. 11.

Таблиця\(\PageIndex{1}\): Опис термодинамічних систем мовою варіаційного числення.

Пристрій накопичувача енергії	Повітряна куля, наповнена повітрям, обмеженим до кінцевого об'єму	Стиснутий поршень	Чашка гарячої рідини (гаряча в порівнянні з температурою приміщення)	Ємність з двома чистими газами, розділеними бар'єром
Узагальнений шлях	Обсяг\(\mathbb{V}\) в\(m^3\)	Тиск\(\mathbb{P}\) в Па	Температура\(T\) в місті К	Ентропія\(S\) в\(\frac{J}{K}\)
Узагальнений потенціал	Тиск\(\mathbb{P}\) в Па =\(\frac{J}{m^3}\)	Обсяг\(\mathbb{V}\) в\(m^3 = \frac{J}{Pa}\)	Ентропія\(S\) в\(\frac{J}{K}\)	Температура\(T\) в місті К
Узагальнена ємність	\(\frac{\mathbb{V}}{\mathbb{B}} = -\frac{\partial \mathbb{V}}{\partial \mathbb{P}}\)в\(\frac{m^6}{J}\)	\(\frac{\mathbb{B}}{\mathbb{V}} = -\frac{\partial \mathbb{P}}{\partial \mathbb{V}}\)в\(\frac{J}{m^6}\)	\(\frac{T}{C_v} = \frac{\partial S}{\partial T}\)в\(\frac{g \cdot K^2}{J}\)	\(\frac{C_v}{T} = \frac{\partial T}{\partial S}\)в\(\frac{J}{g \cdot K^2}\)
Конститутивні відносини	\(\Delta \mathbb{V} = -\frac{\mathbb{V}}{\mathbb{B}}\Delta\mathbb{P}\)	\(\Delta \mathbb{P} = -\frac{\mathbb{B}}{\mathbb{V}}\Delta\mathbb{V}\)	\(\Delta T = \frac{T}{C_v}\Delta S\)	\(\Delta S = \frac{C_v}{T}\Delta T\)
Енергія (int вираз) Енергія (конст. потенціал)	\(\int \mathbb{V} d \mathbb{P}\) \(\mathbb{V} \Delta \mathbb{P}\)	\(\int \mathbb{P} d \mathbb{V}\) \(\mathbb{P} \Delta \mathbb{V}\)	\(\int T d S\) \(T \Delta S\)	\(\int S d T\) \(S \Delta T\)
Закон для потенціалу	Рівняння Бернуллі		Другий закон термодинаміки
Цей стовпець передбачає	постійний\(S, T\)	постійний\(S, T\)	постійний\(\mathbb{P}, \mathbb{V}\)	постійний\(\mathbb{P}, \mathbb{V}\)

Припустимо, що в пристрої відбувається лише один процес перетворення енергії. Також припустимо, що якщо ми знаємо три (а не два) з чотирьох термодинамічних параметрів, ми можемо обчислити четвертий. Додатково припускають, що задіяні малі кількості енергії, і процес перетворення енергії відбувається при наявності великого зовнішнього термодинамічного резервуара енергії.

Як і при обговоренні попередніх таблиць, кожен стовпець\(\PageIndex{1}\) Таблиці деталізує параметри обчислення варіацій для різного вибору узагальненого шляху. Для того, щоб колонки можна використовувати для опису накопичення енергії в газі, обмеженому кінцевим обсягом, матеріалі під тиском, перепаду температур або впорядкованої системі. Рядки маркуються так само, як і в попередніх таблицях цієї глави, щоб можна було провести аналогії між системами.

Енергія може зберігатися і виділятися з газу, обмеженого кінцевим об'ємом, і газу під тиском. Ці пов'язані процеси перетворення енергії детально описані у другому і третьому стовпцях таблиці\(\PageIndex{1}\) відповідно. Другий стовпець визначає параметри числення варіацій з обраним об'ємом як узагальнений шлях, а тиск як узагальнений потенціал. У третьому стовпці вказуються параметри з тиском, обраним як узагальнений шлях, а об'єм як узагальнений потенціал. Насправді процеси перетворення енергії, пов'язані зі зміною тиску і обсягу газу, навряд чи відбуватимуться без зміни температури або ентропії системи одночасно. Резистивний нагрів, тертя, гравітація та всі інші процеси перетворення енергії, які могли одночасно відбуватися, ігноруються. Температура і ентропія явно вважаються фіксованими, і ці припущення наведені в останньому рядку таблиці для наголосу. Ці колонки можуть застосовуватися для перетворення енергії в рідини і тверді речовини на додаток до газів. Використовуючи вибір змінних у другій колонці, здатність накопичувати енергію задається тим,\(\frac{\mathbb{V}}{\mathbb{B}}\) де\(\mathbb{B}\) знаходиться об'ємний модуль в одиницях паскалей, і він є мірою здатності стисненого матеріалу зберігати енергію [103]. Об'ємний модуль був введений в Розділі 8.1. Використовуючи об'єм як узагальнений шлях, рівняння Ейлера-Лагранжа можна встановити та розв'язати для рівняння руху. Всі терміни отриманого рівняння руху мають одиниці тиску, а рівняння руху є твердженням рівняння Бернуллі, ідеї, розглянутої в розділі 10.5.

У четвертому та п'ятому стовпцях таблиці\(\PageIndex{1}\) вказані параметри обчислення варіацій з температурою та ентропією, обраними відповідно узагальненим шляхом. Чашка гарячої рідини зберігає енергію. Аналогічно ємність з двома чистими газами, розділеними бар'єром, зберігає енергію. Система знаходиться в більш впорядкованому стані, перш ніж бар'єр буде знятий, ніж після, і для відновлення системи до впорядкованого стану знадобиться енергія. Обидві ці системи можуть бути описані мовою обчислення варіацій. Як детально описано в четвертому стовпці, температура може бути обрана як узагальнений шлях, а ентропія може бути обрана як узагальнений потенціал. Крім того, як детально описано в п'ятому стовпці, ентропія може бути обрана як узагальнений шлях, а температура може бути обрана як узагальнений потенціал. Обидві ці колонки припускають, що тиск і обсяг залишаються постійними. Величина\(C_v\), яка проявляється в цих колонках, - це питома теплоємність при постійному обсязі в одиницях\(\frac{J}{g \cdot K}\), і вона була введена в п.8.2.

Рівняння руху, яке виникає при виборі температури в якості шляху та ентропії, як узагальнений потенціал є твердженням збереження ентропії, і кожен член цього рівняння має одиниці ентропії. Цей зв'язок більш відомий як другий закон термодинаміки, і він відображається в другій-останній рядок таблиці\(\PageIndex{1}\). Найчастіше закон пишеться для закритої системи як [109, с. 236],

\[\Delta S=\int \frac{\delta \mathbb{Q}}{T}+S_{p r o d u c e d}. \nonumber \]

На словах сказано, що зміна ентропії в межах контрольної маси дорівнює сумі ентропії з контрольної маси за рахунок теплопередачі плюс ентропія, вироблена системою.

\[\text{(change in entropy) = (entropy out due to heat) + (entropy produced)}\nonumber \]

Система може стати більш організованою або більш невпорядкованою, тому\(\Delta S\) може бути позитивною або негативною. Якщо енергія подається всередину або назовні, ентропія може передаватися в систему або з неї, тому кількість\(\int \frac{\delta \mathbb{Q}}{T}\) може бути позитивною або негативною.

Енергія вказана в третій-останній рядку таблиці\(\PageIndex{1}\) в двох різних формах. Перший вираз є цілісним виразом. Наприклад, ви можете інтегрувати обсяг щодо тиску, щоб знайти енергію системи.

\[E=\int \mathbb{V} d \mathbb{P} \nonumber \]

Як варіант, другий вираз

\[\Delta E=\mathbb{V} \Delta \mathbb{P} \nonumber \]

може використовуватися для пошуку зміни енергії в тому випадку, коли обсяг не є сильною функцією тиску над малим елементом.