12.3: Механічне перетворення енергії
- Page ID
- 29558
У попередньому розділі узагальнено, як мова обчислення варіацій може бути застосована до електричних та електромагнітних пристроїв перетворення енергії. Подібним чином ця мова може використовуватися для опису процесів перетворення енергії, що відбуваються в лінійних пружині, торсіонних пружині, рухомих масах і маховиках. Ми можемо перетворити енергію в потенційну енергію пружини та з неї, стискаючи та звільняючи пружину. Аналогічно, ми можемо зберігати або звільняти енергію з рухомої маси, змінюючи її швидкість. Маховик - це пристрій, який зберігає енергію в прядильної масі. Маховики використовуються, крім акумуляторів, в деяких електричних та гібридних транспортних засобах, оскільки зберігання обертальної кінетичної енергії в маховику вимагає менше процесів перетворення енергії, ніж зберігання енергії в акумуляторі. Всі ці пристрої перетворення енергії можуть бути описані мовою числення варіацій з певним параметром, обраним як узагальнений шлях.
Таблиці\(\PageIndex{1}\) та\(\PageIndex{2}\) підсумовують параметри, отримані в результаті опису процесів перетворення механічної енергії мовою варіаційного числення. У той час як електромагнітні системи описуються чотирма векторними полями, механічні системи описуються вісьмома можливими векторними полями, і вони перераховані разом з їх одиницями в табл\(\PageIndex{3}\). Кожен стовпець Таблиць\(\PageIndex{1}\) і\(\PageIndex{2}\) описує випадок вибору іншого векторного поля з таблиці\(\PageIndex{3}\) як узагальненого шляху. Порівнюючи між рядками цих таблиць, а також електричні таблиці, можна проводити порівняння між різними процесами перетворення енергії.
| Пристрій зберігання енергії | Лінійна пружина | Лінійна пружина | Маховик | Маховик |
|---|---|---|---|---|
| Узагальнений шлях | \(\overrightarrow{F}\)Зусилля в\(\frac{J}{m}\) = N | Водотоннажність\(\overrightarrow{x}\) в м | \(\overrightarrow{\omega_{ang}}\)Кутова швидкість в\(\frac{rad}{s}\) | \(\overrightarrow{L_{am}}\)Кутовий момент в\(J \cdot s\) |
| Узагальнений потенціал | Водотоннажність\(\overrightarrow{x}\) в м | \(\overrightarrow{F}\)Зусилля в\(\frac{J}{m}\) = N | \(\overrightarrow{L_{am}}\)Кутовий момент в\(J \cdot s\) | \(\overrightarrow{\omega_{ang}}\)Кутова швидкість в\(\frac{rad}{s}\) |
| Узагальнена ємність | \(K\)в\(\frac{J}{m^2}\) | \(\frac{1}{K}\)в\(\frac{m^2}{J}\) | \(\frac{1}{\mathbb{I}}\)в\(\frac{1}{kg \cdot m^2}\) | \(\mathbb{I}\)в\(kg \cdot m^2\) |
| Конститутивні відносини | \(\overrightarrow{F} = K \overrightarrow{x}\) | \(\overrightarrow{x} = \frac{1}{K} \overrightarrow{F}\) | \(\overrightarrow{\omega_{ang}} = \frac{1}{\mathbb{I}} \overrightarrow{L_{am}}\) | \(\overrightarrow{L_{am}} = \mathbb{I} \overrightarrow{\omega_{ang}}\) |
| Енергетика | \(\frac{1}{2} K|\overrightarrow{x}|^2 = \frac{1}{2}\frac{1}{K} |\overrightarrow{F}|^2\) | \(\frac{1}{2}\mathbb{I} |\overrightarrow{\omega_{ang}}|^2 = \frac{1}{2}\frac{1}{\mathbb{I}} |\overrightarrow{L_{am}}|^2\) | ||
| Закон для потенціалу | Другий закон Ньютона\(\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a}\) | Другий закон Ньютона\(\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a}\) | Збереження кутового моменту | Збереження кутового моменту |
У розділі 11.4 перетворення енергії в лінійну пружину обговорювалося мовою обчислення варіацій. У цьому прикладі розглянуто зміщення точкової маси\(m\) в кг, де узагальнений шлях був обраний як зміщення\(x\) в м, отримане рівняння Ейлера-Лагранжа було другим законом Ньютона. Розділ 11.4 укладено таблицею 11.4.1, що підсумовує отримані параметри. Третій стовпець Таблиці\(\PageIndex{1}\) повторює цю інформацію.
| Пристрій зберігання енергії | Переміщення маси | Переміщення маси | Торсіонна пружина | Торсіонна пружина |
|---|---|---|---|---|
| Узагальнений шлях | \(\overrightarrow{M}\)Імпульс в\(\frac{kg \cdot m}{s} = \frac{J \cdot s}{m}\) | \(\overrightarrow{v}\)Швидкість в\(\frac{m}{s}\) | \(\overrightarrow{\tau}\)крутний момент в\( \frac{N \cdot m}{\text{rad}} = \frac{J}{\text{rad}}\) | Кутове зміщення\(\overrightarrow{\theta}\) в радіанах |
| Узагальнений потенціал | \(\overrightarrow{v}\)Швидкість в\(\frac{m}{s}\) | \(\overrightarrow{M}\)Імпульс в\(\frac{kg \cdot m}{s} = \frac{J \cdot s}{m}\) | Кутове зміщення\(\overrightarrow{\theta}\) в радіанах | \(\overrightarrow{\tau}\)крутний момент в\( \frac{N \cdot m}{\text{rad}} = \frac{J}{\text{rad}}\) |
| Узагальнена ємність | \(m\)в кг | \(\frac{1}{m}\)в\(\frac{1}{kg}\) | \(\mathbb{K}\)в\(\frac{J}{\text{rad}^2}\) | \(\frac{1}{\mathbb{K}}\)в\(\frac{\text{rad}^2}{J}\) |
| Конститутивні відносини | \(\overrightarrow{M} = m \overrightarrow{v}\) | \(\overrightarrow{v} = \frac{1}{m} \overrightarrow{M}\) | \(\overrightarrow{\tau} = \mathbb{K} \overrightarrow{\theta}\) | \(\overrightarrow{\theta} = \frac{1}{\mathbb{K}} \overrightarrow{\tau}\) |
| Енергетика | \(\frac{1}{2}m|\overrightarrow{v}|^2 = \frac{1}{2}\frac{|\overrightarrow{M}|^2}{m}\) | \(\frac{1}{2}m|\overrightarrow{v}|^2 = \frac{1}{2}\frac{|\overrightarrow{M}|^2}{m}\) | \(\frac{1}{2}\mathbb{K}|\overrightarrow{\theta}|^2 = \frac{1}{2}\mathbb{K}|\overrightarrow{\tau}|^2\) | \(\frac{1}{2}\mathbb{K}|\overrightarrow{\theta}|^2 = \frac{1}{2}\mathbb{K}|\overrightarrow{\tau}|^2\) |
| Закон для потенціалу | Збереження імпульсу | Збереження імпульсу | Збереження крутного моменту | Збереження крутного моменту |
Схеми пристроїв часто вважають точковими, тоді як електромагнітні властивості матеріалів, такі як діелектрична проникність та проникність, визначаються як функції положення. Аналогічно механічні пристрої можуть розглядатися як точкові або як функції положення. Наприклад, маса використовується для опису точкового пристрою, тоді як щільність використовується для опису пристрою, який змінюється залежно від положення. Дослідники, які вивчають аеродинаміку та динаміку рідини, зазвичай віддають перевагу останньому опису. Однак в таблицях\(\PageIndex{1}\) і\(\PageIndex{2}\)\(m\) передбачаються точкові пристрої маси. Ідеї в цих таблицях можна узагальнити до ситуацій, коли пристрої перетворення енергії не розглядаються як точкові, а замість цього маса та інші властивості матеріалу змінюються залежно від положення.
| Символ | Кількість | Одиниці |
|---|---|---|
| \(\overrightarrow{F}\) | Сила | П |
| \(\overrightarrow{M}\) | Імпульс | \(\frac{kg \cdot m}{s}\) |
| \(\vec{v}\) | Швидкість | \(\frac{m}{s}\) |
| \(\overrightarrow{x}\) | Позиційне зміщення | м |
| \(\overrightarrow{L_{am}}\) | Кутовий імпульс | \(J \cdot s\) |
| \(\overrightarrow{\theta}\) | Кутовий вектор зміщення | рад |
| \(\overrightarrow{\tau}\) | Крутний момент | \(N \cdot m\) |
| \(\overrightarrow{\omega_{ang}}\) | Кутова швидкість | \(\frac{rad}{s}\) |
Векторні поля, перераховані в таблиці\(\PageIndex{3}\), пов'язані між собою складові відносини:
\[\overrightarrow{M} = m \overrightarrow{v} \label{12.3.1} \]
\[\overrightarrow{F} = K \overrightarrow{x} \label{12.3.2} \]
\[\overrightarrow{\tau} = \mathbb{K} \overrightarrow{\theta} \label{12.3.3} \]
\[\overrightarrow{L_{am}} = \mathbb{I} \overrightarrow{\omega_{ang}} \label{12.3.4} \]
Рівняння\ ref {12.3.2} більш відоме як закон Гука. За аналогією з ємністю рівняння 12.2.1 коефіцієнти в цих рівняннях згадуються в таблицях\(\PageIndex{1}\) і\(\PageIndex{2}\) як узагальнена ємність, і вони представляють здатність зберігати енергію в приладі. Константа\(m\) в рівнянні\ ref {12.3.1} - маса в кг. Константа\(K\) в рівнянні\ ref {12.3.2} є постійною пружини в\(\frac{J}{m^2}\). Константа\(\mathbb{K}\) в рівнянні\ ref {12.3.3} є постійною пружини кручення в\(\frac{J}{\text{radians}^2}\). Константа\(\mathbb{I}\) в рівнянні\ ref {12.3.4} є моментом інерції в одиницях\(kg \cdot m^2\). Точкова маса, що обертається навколо початку, має момент інерції,\(\mathbb{I} = m|\overrightarrow{r}|^2\) де\(|\overrightarrow{r}|\) відстань від маси до початку. Тверда форма має момент інерції
\[\mathbb{I}=\int d \mathbb{I}=\int_{0}^{m}|\overrightarrow{r}|^{2} d m \nonumber \]
Цікаво, що існує тісний зв'язок між величинами в таблицях 12.2.3 і\(\PageIndex{2}\). Рівняння Максвелла, вперше введені в розділі 1.6.1, пов'язують чотири параметри електромагнітного поля. Припускаючи, що джерел немає\(\rho_{ch} = 0\),\(\overrightarrow{J} = 0\) і, рівняння Максвелла можна записати:
\[\overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{E} =-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t} \nonumber \]
\[\overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{H} =-\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t} \nonumber \]
\[\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{D} =0 \nonumber \]
\[\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{B} =0 \nonumber \]
Останні два відносини, закони Гаусса, виникають безпосередньо з використання варіаційного числення для встановлення рівняння Ейлера-Лагранжа та вирішення відповідного рівняння руху. Ми можемо замінити електромагнітні векторні поля в безвихідному варіанті рівнянь Максвелла механічними полями відповідно до перетворення:
\[\overrightarrow{D} \rightarrow \overrightarrow{M} \nonumber \]
\[\overrightarrow{E} \rightarrow \overrightarrow{v} \nonumber \]
\[\overrightarrow{B} \rightarrow \overrightarrow{\tau} \nonumber \]
\[\overrightarrow{H} \rightarrow \overrightarrow{\theta} \nonumber \]
Перетворення рівнянь 12.3.10 - 12.3.13 призводить до набору рівнянь, точно описуючи зв'язки між цими механічними полями.
\[\overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{v} =-\frac{\partial \overrightarrow{\theta}}{\partial t} \nonumber \]
\[\overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{\tau} =-\frac{\partial \overrightarrow{M}}{\partial t} \nonumber \]
\[\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{M} =0 \nonumber \]
\[\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{\theta} =0 \nonumber \]
Останні рядки Таблиць\(\PageIndex{1}\) і\(\PageIndex{2}\) перерахуйте співвідношення, яке виникає при описі пристрою перетворення енергії мовою варіаційного числення, встановлено рівняння Ейлера-Лагранжа, а рівняння Ейлера-Лагранжа розв'язується для рівняння руху. Закони, які призводять, другий закон Ньютона, збереження імпульсу, збереження моменту і збереження крутного моменту, є фундаментальними ідеями механіки.