12.2: Перетворення електричної енергії

Електричні можуть бути описані як мовою схем, так і мовою електромагнетики. Використовуючи мову схем, електричні системи описуються чотирма основними параметрами: заряд в кулоні\(Q\), напруга в вольтах\(v\), магнітний потік у веберах\(\Psi\) і струм в амперах\(i\). Для схем, описаних цією мовою, резистори, конденсатори та інші пристрої накопичення та перетворення електричної енергії розглядаються як точкові без довжини та ступеня, а сили та поля поза траєкторією ланцюга ігноруються. Альтернативним підходом є використання електромагнітної мови: електричні властивості матеріалів вивчаються як функція положення та вивчаються сили та поля поза траєкторією ланцюга.

Ми можемо використовувати мову схем для опису ряду пристроїв перетворення енергії. Резистори перетворюють електричну енергію в теплову, а термоелектричні пристрої перетворюють теплову енергію в електричну енергію або з неї. Зарядний конденсатор перетворює електричну енергію в енергію, що зберігається в поляризації матеріалу, а розрядний конденсатор перетворює енергію поляризації матеріалу назад в електричну енергію. У індукторі електрична енергія перетворюється в енергію магнітного поля і з неї.

У п. 11.5 накопичення енергії в конденсаторі було детально вивчено і описано мовою обчислення варіацій. У таблиці 11.5.2 підсумовано використання мови варіацій числення для опису процесу перетворення енергії, і воно повторюється у другій колонці таблиці\(\PageIndex{1}\). У тому прикладі, заряд, накопичений на обкладинках конденсатора\(Q\), був узагальненим шляхом. Узагальнений потенціал був\(v\), напруга на конденсаторі. З цих варіантів були обрані інші параметри.

Замість того, щоб вибрати заряд\(Q\) як узагальнений шлях, ми могли б обрати узагальнений шлях як одну з інших фундаментальних змінних аналізу ланцюга\(v\), напруги, магнітного потоку\(\Psi\) або струму\(i\). Таблиця\(\PageIndex{1}\) узагальнює параметри, які виникають, коли ми описуємо процеси перетворення енергії, що відбуваються в конденсаторі або індукторі мовою обчислення варіацій з цими варіантами узагальненого шляху. Більш конкретно, третій стовпець показує параметри, коли в якості узагальненого шляху вибирається напруга. Четвертий стовпець показує параметри, коли в якості узагальненого шляху вибирається магнітний потік, а п'ятий стовпець показує параметри, коли струм вибирається як узагальнений шлях. Прочитавши стовпець таблиці, ми бачимо, як описати процес з таким вибором узагальненого шляху. Прочитавши поперек рядків таблиці, можна провести аналогії між параметрами процесів перетворення енергії.

Щоб описати процеси перетворення енергії, що відбуваються в конденсаторі, ми можемо вибрати або заряд, або напруга, щоб бути узагальненим шляхом, а потім використовувати мову обчислення варіацій. Зверніть увагу, що якщо заряд обраний як узагальнений шлях, як показано у стовпці другій таблиці\(\PageIndex{1}\), напруга стає узагальненим потенціалом. Однак, коли напруга вибирається як узагальнений шлях, як показано в стовпці три, заряд стає узагальненим потенціалом. Шляхи, знайдені в природі, мінімізує дію, і ми побачили в п. 11.5, що ми могли б використовувати рівняння Ейлера-Лагранжа, щоб встановити рівняння руху для системи. Кожен член рівняння руху має ті ж одиниці, що і узагальнений потенціал. Рівняння руху, знайдене при використанні\(Q\) як узагальненого шляху, є законом напруги Кірхоффа (KVL), який говорить, що сума всіх падінь напруги навколо замкнутого контуру в ланцюзі дорівнює нулю. Рівняння руху, знайдене при використанні в\(v\) якості узагальненого шляху, є законом збереження заряду. Обидва ці поняття є фундаментальними ідеями в теорії схем, і вони показані в другій-останній рядок таблиці.

Таблиця\(\PageIndex{1}\): Опис електричних ланцюгів мовою варіаційного числення.

Пристрій накопичувача енергії	Конденсатор	Конденсатор	Індуктор	Індуктор
Узагальнений шлях	Зарядка\(Q\) в С	Напруга\(v\) в V	Маг. Поток\(\Psi\) в Wb	Струм\(i\) в А
Узагальнений потенціал	Напруга\(v\) в\(\frac{J}{C}\) = В	Зарядка\(Q\) в С	Струм\(i\) в A =\ frac {J} {Wb}\)	Маг. Поток\(\Psi\) в Wb
Узагальнена ємність	Ємність\(C\) в F =\(\frac{C^2}{J}\)	\(\frac{1}{C}\)	Індуктивність\(L\) в Н =\(\frac{Wb^2}{J}\)	\(\frac{1}{L}\)
Конститутивні відносини	\(Q=Cv\)	\(v=\frac{Q}{C}\)	\(\Psi = Li\)	\(i = \frac{\Psi}{L}\)
Енергія	\(\frac{1}{2}Cv^2\)	\(\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}\)	\(\frac{1}{2}Li^2\)	\(\frac{1}{2}\frac{\Psi^2}{L}\)
Закон для потенціалу	КВЛ	Збереження заряду	ККЛ	Збереження маг. флюс
Цей стовпець передбачає:	Струм і напруга змінного струму	Струм і напруга змінного струму	Струм і напруга змінного струму	Струм і напруга змінного струму

Аналогічно, щоб описати процеси перетворення енергії, що відбуваються в індукторі, ми можемо вибрати або магнітний потік, або струм як узагальнений шлях. Якщо в якості узагальненого шляху вибрати магнітний потік, то узагальнений потенціал - струм. Якщо вибрати струм як узагальнений шлях, то узагальнений потенціал - магнітний потік. З першого вибору знайдено рівняння руху є чинним законом Кірхоффа (KCL). З другого вибору знайдене рівняння руху - збереження магнітного потоку.

Зв'язок між узагальненим шляхом і узагальненим потенціалом відомий як конститутивний зв'язок [168, с. 30]. Для конденсатора він дається як

\[Q = Cv. \nonumber \]

Константа\(C\), яка проявляється в цьому рівнянні, - це ємність у фарадах. Аналогічно для індуктора, конститутивний зв'язок є

\[\Psi = Li \nonumber \]

де\(L\) індуктивність у Генріса. Ми побачимо, що можемо виявити складові відносини для інших процесів перетворення енергії, і аналогічно можемо придумати параметр, що описує здатність накопичувати енергію в пристрої. За аналогією з конденсатором ми назвемо цей параметр узагальненою ємністю. Ємність\(C\) являє собою здатність накопичувати енергію в пристрої, тому узагальнена ємність являє собою здатність накопичувати енергію в інших пристроях. Перевантаження терміна ємність розглядається в Додатку C.

Таблиця\(\PageIndex{2}\): величини, що використовуються для опису схем і електромагнітних полів.

Кількість ланцюга	Електромагнітне поле
\(Q\): Зарядка в C	\(\overrightarrow{D}\): Зсув щільності потоку в\(\frac{C}{m^2}\)
\(v\): Напруга в V	\(\overrightarrow{E}\): Напруженість електричного поля в\(\frac{V}{m}\)
\(\Psi\): Магнітний потік в Wb	\(\overrightarrow{B}\): щільність магнітного потоку в\(\frac{Wb}{m^2}\)
\(i\): Струм в А	\(\overrightarrow{H}\): Напруженість магнітного поля в\(\frac{A}{m}\)

Використовуючи електромагнітну мову, чотири векторні поля описують системи: щільність потоку\(\overrightarrow{D}\) зміщення в\(\frac{C}{m^2}\),\(\overrightarrow{E}\) напруженість електричного поля в\(\frac{V}{m}\), щільність\(\overrightarrow{B}\) магнітного потоку в\(\frac{Wb}{m^2}\) та\(\overrightarrow{H}\) напруженість магнітного поля в\(\frac{A}{m}\). Ці електромагнітні поля є узагальненням параметрів ланцюга заряду\(Q\), напруги\(v\), магнітного потоку і струму\(i\) відповідно\(\Psi\), як показано в табл\(\PageIndex{2}\). Однак електромагнітні поля є функціями положення\(x\)\(y\), а\(z\) крім часу, і вони є векторними замість скалярних величин. Більш конкретно, щільність потоку переміщення - це заряд, накопичений на поверхні на одиницю площі, а щільність магнітного потоку - це магнітний потік через поверхню. Аналогічно напруженість електричного поля - це негативний градієнт напруги, а напруженість магнітного поля - градієнт струму. Ми зіткнулися з цими електромагнітними полями при обговоренні антен у розділі 4.

Конденсатор може зберігати енергію в заряді, накопиченому між обкладинками конденсатора. Аналогічно, ізоляційний матеріал з діелектричною проникністю більшою, ніж діелектрична проникність вільного простору\(\epsilon > \epsilon_0\), може зберігати енергію при розподіленому розподіленні заряду по всьому матеріалу. Ми можемо описати процеси перетворення енергії, що відбуваються в конденсаторі, використовуючи мову обчислення варіацій, вибравши\(v\) як узагальнений шлях заряду\(Q\), так і напруги. Параметри, отримані в результаті цих варіантів, показані у другому та третьому стовпцях Таблиці\(\PageIndex{1}\). Аналогічно можна описати процеси перетворення енергії, що відбуваються в ізоляційному матеріалі з\(\epsilon > \epsilon_0\) використанням мови обчислення варіацій, вибравши\(\overrightarrow{D}\) або\(\overrightarrow{E}\) як узагальнений шлях. Параметри, отримані в результаті цих варіантів, показані у другому та третьому стовпцях Таблиці\(\PageIndex{3}\). Рівняння руху, яке призводить в будь-якому випадку, є законом Гаусса для електричного поля,

\[\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{D} = \rho_{ch} \nonumber \]

де\(\rho_{ch}\) щільність заряду. Однак виведення виходить за рамки цього тексту, оскільки воно передбачає застосування обчислення варіацій до величин з декількома незалежними та залежними змінними. Закон Гаусса є одним з рівнянь Максвелла, і він був введений в розділі 1.6.1. У розділі 2 обговорювалися пристрої перетворення п'єзоелектричної енергії, а в главі 3 - піроелектричні та електрооптичні пристрої перетворення енергії. Всі ці пристрої займалися перетворенням електричної енергії в енергію, що зберігається в матеріалі поляризації ізоляційного матеріалу с\(\epsilon > \epsilon_0\). Обчислення варіацій може бути використано для опису перетворення енергії у всіх цих пристроях з або щільністю потоку зміщення, або напруженістю електричного поля як узагальненого шляху. Для пристрою, виготовленого з матеріалу діелектричної проникності\(\epsilon\) з зовнішньою напруженістю електричного поля через нього\(\overrightarrow{E}\), щільність енергії зберігається\(\frac{1}{2}\epsilon|\overrightarrow{E}|^2\) в\(\frac{J}{m^3}\). Енергія, що зберігається в обсязі,\(\mathbb{V}\) виявляється шляхом інтеграції цієї щільності енергії по відношенню до обсягу, і ця енергія, що зберігається в обсязі, вказана в другій-останній рядок табл\(\PageIndex{3}\). Зверніть увагу на подібність рівняння для енергії, що зберігається в конденсаторі (другий стовпець, другий до останньої коробки\(\PageIndex{1}\)) і це рівняння для щільності енергії, що зберігається в матеріалі з\(\epsilon > \epsilon_0\) (другий стовпець другий до останнього вікна таблиці\(\PageIndex{3}\)).

Таблиця\(\PageIndex{3}\): Опис електромагнітних систем мовою варіаційного числення.

Пристрій накопичувача енергії	Діелектричний матеріал,\(\epsilon > \epsilon_0\)	Діелектричний матеріал,\(\epsilon > \epsilon_0\)	Магнітний матеріал,\(\mu > \mu_0\)	Магнітний матеріал,\(\mu > \mu_0\)
Узагальнений шлях	Щільність потоку переміщення\(\overrightarrow{D}\) в\(\frac{C}{m^2}\)	Напруженість електричного поля\(\overrightarrow{E}\) в\(\frac{V}{m} = \frac{J}{C \cdot m}\)	Щільність магнітного потоку\(\overrightarrow{B}\) в\(\frac{Wb}{m^2}\)	Напруженість магнітного поля\(\overrightarrow{H}\) в\(\frac{A}{m} = \frac{J}{Wb \cdot m}\)
Узагальнений потенціал	Напруженість електричного поля\(\overrightarrow{E}\) в\(\frac{V}{m} = \frac{J}{C \cdot m}\)	Щільність потоку переміщення\(\overrightarrow{D}\) в\(\frac{C}{m^2}\)	Напруженість магнітного поля\(\overrightarrow{H}\) в\(\frac{A}{m} = \frac{J}{Wb \cdot m}\)	Щільність магнітного потоку\(\overrightarrow{B}\) в\(\frac{Wb}{m^2}\)
Узагальнена ємність	Діелектрична проникність\(\epsilon\) в\(\frac{F}{m} = \frac{C^2}{J \cdot m}\)	\(\frac{1}{\epsilon}\)	Діелектрична проникність\(\mu\) в\(\frac{H}{m} = \frac{Wb^2}{J \cdot m}\)	\(\frac{1}{\mu}\)
Конститутивні відносини	\(\overrightarrow{D} = \epsilon \overrightarrow{E}\)	\(\overrightarrow{E} = \frac{1}{\epsilon}\overrightarrow{D}\)	\(\overrightarrow{B} = \mu \overrightarrow{H}\)	\(\overrightarrow{H} = \frac{1}{\mu}\overrightarrow{B}\)
Енергія	\(\int_{\mathbb{V}} \frac{1}{2} \epsilon|\overrightarrow{E}|^{2} d \mathbb{V}\)	\(\int_{\mathbb{V}} \frac{1}{2} \frac{1}{\epsilon}|\overrightarrow{D}|^{2} d \mathbb{V}\)	\(\int_{\mathbb{V}} \frac{1}{2} \mu|\overrightarrow{H}|^{2} d \mathbb{V}\)	\(\int_{\mathbb{V}} \frac{1}{2} \frac{1}{\mu}|\overrightarrow{B}|^{2} d \mathbb{V}\)
Закон для потенціалу	Закон Гаусса для Елец. \(\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{D} = \rho_{ch}\)	Закон Гаусса для Елец. \(\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{E} = \epsilon \rho_{ch}\)	Закон Гаусса для маг. \(\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{B} = 0\)	Закон Гаусса для маг. \(\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{H} = 0\)

Енергія також може зберігатися в матеріалах з проникністю більшою, ніж проникність вільного простору,\(\mu > \mu_0\). Пристрої Холла та магнітогідродинамічні пристрої були розглянуті в розділі 5. Всі ці пристрої індуктоподібні, а параметри, що використовуються для опису процесів індуктивного перетворення енергії мовою обчислення варіацій, зведені в останніх двох стовпцях таблиці\(\PageIndex{3}\). Варіаційне обчислення може бути використано для опису процесів перетворення енергії в цих пристроях з щільністю магнітного потоку або напруженістю магнітного поля як узагальненим шляхом, а іншим вибором як узагальненого потенціалу. Рівняння руху, отримане в результаті використання варіаційного числення для опису індуктивних систем, відповідає закону Гаусса для магнітного поля,

\[\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{B} =0 \nonumber \]

Фізика антен описується електричним і магнітним полями, і будь-який з стовпців таблиці\(\PageIndex{3}\) може бути використаний для опису перетворення енергії між електрикою і електромагнітними хвилями в антенах, використовуючи мову обчислення варіацій.