12.7: Макет

Передбачувана геометрія показана на малюнку 11. Передбачені залізні (високопроникні) межі знаходяться на радіусах\(\ R_{i}\) і\(\ R_{s}\). Постійні магніти, які передбачається поляризованими радіально і поперемінно (тобто північ-південь...), розташовані між радіусами\(\ R_{1}\) і\(\ R_{2}\). Ми припускаємо, що є\(\ p\) полюсні пари (\(\ 2 p\)магніти) і що кожен магніт підводить електричний кут\(\ \theta_{m e}\). Електричний кут лише\(\ p\) раз перевищує фізичний кут, так що якби кут магніту був\(\ \theta_{m e}=\pi\), магніти були б торкаються.

Якщо магніти розташовані так, що радіально поляризовані магніти розташовані навколо азимутального походження\(\ (\theta=0)\), простір основою намагніченості є:

\[\ \bar{M}=\bar{i}_{r} M_{0} \cos p \theta\tag{41} \]

де фундаментальна величина дорівнює:

\[\ M_{0}=\frac{4}{\pi} \sin \frac{\theta_{m e}}{2} \frac{B_{\mathrm{rem}}}{\mu_{0}}\tag{42} \]

і\(\ B_{\text {rem }}\) є залишковою намагніченістю постійного магніту.

Оскільки ніде в цій задачі немає струму, то магнітне поле зручно розглядати як градієнт скалярного потенціалу:

\[\ \bar{H}=-\nabla \psi\tag{43} \]

Розбіжність цього полягає в:

\[\ \nabla^{2} \psi=-\nabla \cdot \bar{H}\tag{44} \]

Оскільки щільність магнітного потоку не має розбіжностей,

\[\ \nabla \cdot \bar{B}=0\tag{45} \]

у нас є:

Малюнок 11: Осьовий вигляд задачі магнітного поля

\[\ \nabla \cdot \bar{H}=-\nabla \cdot \bar{M}\tag{46} \]

або:

\[\ \nabla^{2} \psi=\nabla \cdot \bar{M}=\frac{1}{r} M_{0} \cos p \theta\tag{47} \]

Тепер, якщо ми дозволимо магнітному скалярному потенціалу бути сумою окремих і однорідних частин:

\[\ \psi=\psi_{p}+\psi_{h}\tag{48} \]

де\(\ \nabla^{2} \psi_{h}=0\), то:

\[\ \nabla^{2} \psi_{p}=\frac{1}{r} M_{0} \cos p \theta\tag{49} \]

Ми можемо знайти відповідне рішення для конкретної частини цього в області намагніченості, спробувавши:

\[\ \psi_{p}=C r^{\gamma} \cos p \theta\tag{50} \]

Проведення лапласиана на цьому:

\[\ \nabla^{2} \psi_{p}=C r^{\gamma-2}\left(\gamma^{2}-p^{2}\right) \cos p \theta=\frac{1}{r} M_{0} \cos p \theta\tag{51} \]

який працює\(\ \gamma=1\), якщо, в цьому випадку:

\[\ \psi_{p}=\frac{M_{0} r}{1-p^{2}} \cos p \theta\tag{52} \]

Звичайно, це рішення тримається лише для області магнітів:\(\ R_{1}<r<R_{2}\), і дорівнює нулю для областей поза магнітами.

Відповідний однорідний розчин задовольняє рівнянню Лапласа\(\ \nabla^{2} \psi_{h}=0\), і в цілому має вигляд:

\[\ \psi_{h}=A r^{p} \cos p \theta+B r^{-p} \cos p \theta\tag{53} \]

Тоді ми можемо написати пробний загальний розчин для щільності потоку як:

\[\ R_{i}<r<R_{1} \quad \psi=\left(A_{1} r^{p}+B_{1} r^{-p}\right) \cos p \theta\tag{54} \]

\[\ R_{1}<r<R_{2} \quad \psi=\left(A_{2} r^{p}+B_{2} r^{-p}+\frac{M_{0} r}{1-p^{2}}\right) \cos p \theta\tag{55} \]

\[\ R_{2}<r<R_{s} \quad \psi=\left(A_{3} r^{p}+B_{3} r^{-p}\right) \cos p \theta\tag{56} \]

Граничні умови на внутрішній і зовнішній (передбачувані нескінченно проникними) кордонами при\(\ r=R_{i}\) і\(\ r=R_{s}\) вимагають, щоб азимутальне поле зникало, або\(\ \frac{\partial \psi}{\partial \theta}=0\), що призводить до:

\[\ B_{1}=-R_{i}^{2 p} A_{1}\tag{57} \]

\[\ B_{3}=-R_{s}^{2 p} A_{3}\tag{58} \]

У магніту внутрішній і зовнішній радіуси,\(\ H_{\theta}\) і\(\ B_{r}\) повинні бути безперервними. Це:

\[\ H_{\theta}=-\frac{1}{r} \frac{\partial \psi}{\partial \theta}\tag{59} \]

\[\ B_{r}=\mu_{0}\left(-\frac{\partial \psi}{\partial r}+M_{r}\right)\tag{60} \]

Вони стають, при\(\ r=R_{1}\):

\[\ -p A_{1}\left(R_{1}^{p-1}-R_{i}^{2 p} R_{1}^{-p-1}\right)=-p\left(A_{2} R_{1}^{p-1}+B_{2} R_{1}^{-p-1}\right)-p \frac{M_{0}}{1-p^{2}}\tag{61} \]

\[\ -p A_{1}\left(R_{1}^{p-1}+R_{i}^{2 p} R_{1}^{-p-1}\right)=-p\left(A_{2} R_{1}^{p-1}-B_{2} R_{1}^{-p-1}\right)-\frac{M_{0}}{1-p^{2}}+M_{0}\tag{62} \]

і за адресою\(\ r=R_{2}\):

\[\ -p A_{3}\left(R_{2}^{p-1}-R_{s}^{2 p} R_{2}^{-p-1}\right)=-p\left(A_{2} R_{2}^{p-1}+B_{2} R_{2}^{-p-1}\right)-p \frac{M_{0}}{1-p^{2}}\tag{63} \]

\[\ -p A_{3}\left(R_{2}^{p-1}+R_{s}^{2 p} R_{2}^{-p-1}\right)=-p\left(A_{2} R_{2}^{p-1}-B_{2} R_{2}^{-p-1}\right)-\frac{M_{0}}{1-p^{2}}+M_{0}\tag{64} \]

Деякі невеликі маніпуляції з цими врожаями:

\[\ A_{1}\left(R_{1}^{p}-R_{i}^{2 p} R_{1}^{-p}\right)=A_{2} R_{1}^{p}+B_{2} R_{1}^{-p}+R_{1} \frac{M_{0}}{1-p^{2}}\tag{65} \]

\[\ A_{1}\left(R_{1}^{p}+R_{i}^{2 p} R_{1}^{-p}\right)=A_{2} R_{1}^{p}-B_{2} R_{1}^{-p}+p R_{1} \frac{M_{0}}{1-p^{2}}\tag{66} \]

\[\ A_{3}\left(R_{2}^{p}-R_{s}^{2 p} R_{2}^{-p}\right)=A_{2} R_{2}^{p}+B_{2} R_{2}^{-p}+R_{2} \frac{M_{0}}{1-p^{2}}\tag{67} \]

\[\ A_{3}\left(R_{2}^{p}+R_{s}^{2 p} R_{2}^{-p}\right)=A_{2} R_{2}^{p}-B_{2} R_{2}^{-p}+p R_{2} \frac{M_{0}}{1-p^{2}}\tag{68} \]

Взявши суми і відмінності першого і другого, а потім третього і четвертого з них отримуємо:

\[\ 2 A_{1} R_{1}^{p}=2 A_{2} R_{1}^{p}+R_{1} M_{0} \frac{1+p}{1-p^{2}}\tag{69} \]

\[\ 2 A_{1} R_{i}^{2 p} R_{1}^{-p}=-2 B_{2} R_{1}^{-p}+R_{1} M_{0} \frac{p-1}{1-p^{2}}\tag{70} \]

\[\ 2 A_{3} R_{2}^{p}=2 A_{2} R_{2}^{p}+R_{2} M_{0} \frac{1+p}{1-p^{2}}\tag{71} \]

\[\ 2 A_{3} R_{s}^{2 p} R_{2}^{-p}=-2 B_{2} R_{2}^{-p}+R_{2} M_{0} \frac{p-1}{1-p^{2}}\tag{72} \]

а потім множивши через відповідні коефіцієнти (R2 p і R1 р, а потім приймати суми і відмінності цих,

\[\ \left(A_{1}-A_{3}\right) R_{1}^{p} R_{2}^{p}=\left(R_{1} R_{2}^{p}-R_{2} R_{1}^{p}\right) \frac{M_{0}}{2} \frac{p+1}{1-p^{2}}\tag{73} \]

\[\ \left(A_{1} R_{i}^{2 p}-A_{3} R_{s}^{2 p}\right) R_{1}^{-p} R_{2}^{-p}=\left(R_{1} R_{2}^{-p}-R_{2} R_{1}^{-p}\right) \frac{M_{0}}{2} \frac{p-1}{1-p^{2}}\tag{74} \]

Розподіл наскрізних на відповідні групи:

\[\ A_{1}-A_{3}=\frac{R_{1} R_{2}^{p}-R_{2} R_{1}^{p}}{R_{1}^{p} R_{2}^{p}} \frac{M_{0}}{2} \frac{1+p}{1-p^{2}}\tag{75} \]

\[\ A_{1} R_{i}^{2 p}-A_{3} R_{s}^{2 p}=\frac{R_{1} R_{2}^{-p}-R_{2} R_{1}^{-p}}{R_{1}^{-p} R_{2}^{-p}} \frac{M_{0}}{2} \frac{p-1}{1-p^{2}}\tag{76} \]

а потім, множивши верхнє рівняння на\(\ R_{s}^{2 p}\) і віднімаючи:

\[\ A_{1}\left(R_{s}^{2 p}-R_{i}^{2 p}\right)=\left(\frac{R_{1} R_{2}^{p}-R_{2} R_{1}^{p}}{R_{1}^{p} R_{2}^{p}} \frac{M_{0}}{2} \frac{1+p}{1-p^{2}}\right) R_{s}^{2 p}-\frac{R_{1} R_{2}^{-p}-R_{2} R_{1}^{-p}}{R_{1}^{-p} R_{2}^{-p}} \frac{M_{0}}{2} \frac{p-1}{1-p^{2}}\tag{77} \]

Це легко вирішується для коефіцієнтів поля\(\ A_{1}\) і\(\ A_{3}\):

\[\ A_{1}=-\frac{M_{0}}{2\left(R_{s}^{2 p}-R_{i}^{2 p}\right)}\left(\frac{p+1}{p^{2}-1}\left(R_{1}^{1-p}-R_{2}^{1-p}\right) R_{s}^{2 p}+\frac{p-1}{p^{2}-1}\left(R_{2}^{1+p}-R_{1}^{1+p}\right)\right)\tag{78} \]

\[\ A_{3}=-\frac{M_{0}}{2\left(R_{s}^{2 p}-R_{i}^{2 p}\right)}\left(\frac{1}{1-p}\left(R_{1}^{1-p}-R_{2}^{1-p}\right) R_{i}^{2 p}-\frac{1}{1+p}\left(R_{2}^{1+p}-R_{1}^{1+p}\right)\right)\tag{79} \]

Тепер, зазначивши, що скалярний потенціал знаходиться в області 1 (радіуси менше магніту),

\(\ \psi=A_{1}\left(r^{p}-R_{i}^{2 p} r^{-p}\right) \cos p \theta \quad r<R_{1}\)

\(\ \psi=A_{3}\left(r^{p}-R_{s}^{2 p} r^{-p}\right) \cos p \theta \quad r>R_{2}\)

і відзначаючи, що\(\ p(p+1) /\left(p^{2}-1\right)=p /(p-1)\) і\(\ p(p-1) /\left(p^{2}-1\right)=p /(p+1)\), магнітне поле є

\ (\ 80\ почати {вирівняний}
& r<r_ {1}\\
H_ {r} =&\ розриву {M_ {0}} {2\ ліворуч (R_ {s} ^ {2 p} ^ {2 p}\ праворуч)}\ ліворуч (\ frac {p} {p} {p-1}\ ліворуч (R_ {1} ^ {1-p} -R _ {2} ^ {1-p}\ праворуч) R_ {s} ^ {2 p} +\ фракція {p} {p} {p+1}\ ліворуч (R_ {2} ^ {1+p} ^ {1+p}\ праворуч)\ вліво (r^ {p-1} +R_ {i} ^ {2 p} r^ {-p-1})\ cos р\ тета \\
& r>r_ {2}
\ кінець {вирівняний}\)

\ [\\ почати {вирівняний}
& r<r_ {1}\\
H_ {r} =&\ розриву {M_ {0}} {2\ ліворуч (R_ {s} ^ {2 p} ^ {2 p}\ праворуч)}\ ліворуч (\ frac {p} {p} {p-1}\ ліворуч (R_ {1} ^ {1-p} -R_ {2} ^ {1-p}\ праворуч) R_ {s} ^ {2 p} +\ гідророзриву {p} {p} {p+1}\ ліворуч (R_ {2} ^ {1+p} ^ {1+p}\ праворуч)\ вліво (r^ {p-1} +R_ {i} ^ {2 p} r^ {-p-1}\ праворуч)\ cos р\ тета\ \
& r>r_ {2}
\ кінець {вирівняний}\ тег {80}\]

\[\ H_{r}=\frac{M_{0}}{2\left(R_{s}^{2 p}-R_{i}^{2 p}\right)}\left(\frac{p}{p-1}\left(R_{1}^{1-p}-R_{2}^{1-p}\right) R_{i}^{2 p}+\frac{p}{p+1}\left(R_{2}^{1+p}-R_{1}^{1+p}\right)\right)\left(r^{p-1}+R_{s}^{2 p} r^{-p-1}\right) \cos p \theta\tag{81} \]

Випадок,\(\ p=1\) здається, трохи клопітно тут, але легко обробляється, зазначивши, що:

\(\ \lim _{p \rightarrow 1} \frac{p}{p-1}\left(R_{1}^{1-p}-R_{2}^{1-p}\right)=\log \frac{R_{2}}{R_{1}}\)

Тепер: є ряд особливих випадків, які слід розглянути.

Для корпусу без заліза,\(\ R_{i} \rightarrow 0\) і\(\ R_{2} \rightarrow \infty\), це стає, просто, для\(\ r<R_{1}\)

\[\ H_{r}=\frac{M_{0}}{2} \frac{p}{p-1}\left(R_{1}^{1-p}-R_{2}^{1-p}\right) r^{p-1} \cos p \theta\tag{82} \]

Зверніть увагу, що для випадку з\(\ p=1\), межа цього

\(\ H_{r}=\frac{M_{0}}{2} \log \frac{R_{2}}{R_{1}} \cos \theta\)

і для\(\ r>R_{2}\):

\(\ H_{r}=\frac{M_{0}}{2} \frac{p}{p+1}\left(R_{2}^{p+1}-R_{1}^{p+1}\right) r^{-(p+1)} \cos p \theta\)

Для випадку машини з залізними кордонами і обмотками в пазах нас цікавлять поля на кордоні. У такому випадку, як правило, або\(\ R_{i}=R_{1}\) або\(\ R_{s}=R_{2}\). Поля:

на зовнішній межі\(\ r=R_{s}\):

\(\ H_{r}=M_{0} \frac{R_{s}^{p-1}}{R_{s}^{2 p}-R_{i}^{2 p}}\left(\frac{p}{p+1}\left(R_{2}^{p+1}-R_{1}^{p+1}\right)+\frac{p}{p-1} R_{i}^{2 p}\left(R_{1}^{1-p}-R_{2}^{1-p}\right)\right) \cos p \theta\)

або на внутрішній межі\(\ r=R_{i}\):

\(\ H_{r}=M_{0} \frac{R_{i}^{p-1}}{R_{s}^{2 p}-R_{i}^{2 p}}\left(\frac{p}{p+1}\left(R_{2}^{p+1}-R_{1}^{p+1}\right)+\frac{p}{p-1} R_{s}^{2 p}\left(R_{1}^{1-p}-R_{2}^{1-p}\right)\right) \cos p \theta\)