9.2: Осцилятори операційного підсилювача
- Page ID
- 35521
9.2.1: Позитивний зворотний зв'язок та критерій Баркгаузена
У більш ранніх роботах ми розглядали поняття негативного зворотного зв'язку. Тут частина вихідного сигналу відправляється назад на вхід і підсумовується з фази з вхідним сигналом. Різниця між двома сигналами, то, що посилюється. Результатом є стабільність реакції ланцюга, оскільки великий коефіцієнт посилення розімкнутого контуру ефективно змушує різницевий сигнал бути дуже малим. Щось зовсім інше відбувається, якщо сигнал зворотного зв'язку підсумовується по фазі з вхідним сигналом, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\). При цьому комбінований сигнал виглядає так само, як вихідний сигнал. Поки коефіцієнт посилення розімкнутого контуру підсилювача більше, ніж коефіцієнт зворотного зв'язку, сигнал можна постійно регенерувати. Це означає, що джерело сигналу можна видалити. По суті, вихід схеми використовується для створення власного входу. Поки потужність підтримується в ланцюзі, вихідний сигнал буде тривати практично назавжди. Це самоувічнюються стан називається коливанням. Коливання припиниться, якщо добуток коефіцієнта посилення розімкнутого контуру та коефіцієнта зворотного зв'язку опуститься нижче одиниці або якщо сигнал зворотного зв'язку не повертається ідеально у фазі (0\(^{\circ}\) або деяке ціле число, кратне 360\(^{\circ}\)). Ця комбінація факторів називається критерієм коливань Баркгаузена. Ми можемо констатувати це наступним чином:
Малюнок\(\PageIndex{1}\): Позитивні відгуки.
Для того, щоб підтримувати автоколивання, коефіцієнт посилення із замкнутим контуром повинен бути одиницею або більшим, а фаза циклу повинна бути\(N\) 360\(^{\circ}\), де\(N = 0, 1, 2, 3\dots\)
Зверніть увагу, що коли ми розглядали лінійні підсилювачі, ми дивилися на це з протилежного кінця. Зазвичай ви не хочете, щоб підсилювачі коливалися, і, таким чином, ви намагаєтеся гарантувати, що критерій Баркгаузена ніколи не буде дотриманий, встановивши відповідне посилення та фазові поля.
Хорошим прикладом позитивних відгуків є «вереск», який іноді чути від неправильно налагоджених систем публічної адреси. В основному мікрофон постійно підхоплює навколишній шум приміщення, який потім посилюється і подається на гучномовці. Якщо коефіцієнт посилення підсилювача досить високий або акустичні втрати досить низькі (тобто гучномовець фізично близько до мікрофона), сигнал, який мікрофон приймає від гучномовця, може бути більшим, ніж навколишній шум. Результатом є те, що сигнал постійно зростає у належній фазі для підтримки коливань. В результаті виходить знайомий вереск звук. Для того щоб зупинити вереск, або посилення, або фаза повинні бути порушені. Переміщення мікрофона може змінити відносну фазу, але зазвичай простіше просто трохи зменшити гучність. Особливо цікаво прислухатися до системи, яка знаходиться на межі коливань. Або посилення, або фаза просто не зовсім досконалий, а в результаті виходить досить дратівливий дзвінкий звук, так як коливання згасає після кожного слова або фрази.
Є кілька практичних міркувань, про які слід знати при проектуванні осциляторів. Перш за все, не потрібно забезпечувати «пусковий» джерело сигналу, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\). Як правило, є достатньо енергії або на рівні вхідного шуму, або, можливо, у перехідному процесі включення, щоб генератор почав. Як перехідний процес включення, так і шумовий сигнал є сигналами широкого спектра, тому бажана частота коливань міститься в будь-якому з них. Сигнал коливань почне збільшуватися з плином часу через те, що коефіцієнт посилення із замкнутим циклом більше одиниці. Зрештою, сигнал досягне точки, де подальше підвищення рівня неможливо через відсікання підсилювача. Для більш керованого генератора з низьким спотворенням бажано, щоб посилення почало згортатися, перш ніж відбудеться відсікання. Іншими словами, коефіцієнт посилення із замкнутим циклом повинен впасти рівно до одиниці. Нарешті, для того, щоб мінімізувати дрейф частоти з часом, мережа зворотного зв'язку повинна бути вибірковою. Частоти вище або нижче цільової частоти повинні бачити більше загасання, ніж цільова частота. Як правило, чим більш вибіркова (тобто вища\(Q\)) ця мережа, тим стабільнішою і точнішою буде частота коливань. Одним з простих рішень є використання схеми\(RLC\) бака в мережі зворотного зв'язку. Ще одна можливість - використання п'єзоелектричного кристала. Структурна схема практичного осцилятора показана на малюнку\(\PageIndex{2}\).
Малюнок\(\PageIndex{2}\): Практичний осцилятор
9.2.2: Основний осцилятор
Реальна схема, яка втілює всі елементи, показана на малюнку\(\PageIndex{3}\). Ця схема не є особливо ефективною або економічно вигідною, але вона ілюструє важливі моменти. Пам'ятайте, що для підтримки коливань коефіцієнт посилення в замкнутому контурі генератора повинен бути більше 1, а фаза петлі повинна бути кратною 360\(^{\circ}\).
Малюнок\(\PageIndex{3}\): Основний генератор.
Для забезпечення посилення використовується пара інвертуючих підсилювачів. Примітка операційний підсилювач 2 служить для буферування вихідного сигналу. Оскільки кожен етап виробляє зсув 180,\(^{\circ}\) зрушення для пари дорівнює 360\(^{\circ}\). Продукт прибутку повинен бути більшим, ніж втрати, вироблені мережею вибору частоти. Ця мережа складається з\(R_3\)\(L\), і\(C\). Оскільки\(LC\) комбінація виробляє пік імпедансу на резонансній частоті\(f_o\), там відбуватимуться мінімальні втрати. Також при резонансі схема в основному резистивна, тому зміни фаз не відбувається. Отже, цей контур повинен коливатися на fo, встановленому\(L\) і\(C\). Ця схема може бути легко перевірена в лабораторії. Наприклад, якщо ви скинете посилення одного з етапів операційного підсилювача, не буде достатньо посилення системи, щоб перевищити втрату ланцюга танка, і, таким чином, коливання припиниться. Ви також можете перевірити вимогу до фази, замінивши один з інвертуючих підсилювачів на неінвертуючий підсилювач з рівним коефіцієнтом посилення. Отримана фаза петлі 180\(^{\circ}\) зупинить коливання. Ця схема не включає жодної форми автоматичного регулювання посилення, тому вихідний сигнал може бути відрізаний. При правильному виборі швидкість обертання операційного підсилювача може використовуватися як граничний коефіцієнт. (A 741 буде працювати прийнятно для\(f_o\) в низькому діапазоні кГц). Хоча ця схема працює і вказує на специфіку, це, безумовно, не найкращий вибір для конструкції генератора на основі операційних підсилювачів.
9.2.3: Віденський міст осцилятор
Відносно простий дизайн, корисний для роботи загального призначення, - це вісенський мостовий осцилятор. Цей генератор набагато простіший, ніж узагальнена конструкція, показана на малюнку\(\PageIndex{3}\), і пропонує дуже хороші показники. Мережа вибору частоти - це проста схема відведення/затримки, така, як показано на малюнку\(\PageIndex{4}\). Ця схема є частотно-чутливим дільником напруги. Він поєднує в собі реакцію як простих мереж відведення, так і відставання. У нормі обидва резистора встановлюються на однакове значення. Те ж саме можна сказати і про двох конденсаторах. На дуже низьких частотах ємнісний реактивний опір по суті нескінченний, і, таким чином, конденсатор верхнього ряду виглядає як відкритий. Через це вихідна напруга дорівнює нулю. Так само на дуже високих частотах ємнісний реактивний опір наближається до нуля, а нижній шунтуючий конденсатор ефективно замикає вихід на землю. Знову ж, вихідна напруга дорівнює нулю. На деякій середній частоті вихідна напруга буде на піку. Це буде краща або вибрана частота і стане частотою коливань до тих пір, поки зберігається належне співвідношення фаз. Нам потрібно визначити зміну фази в цій точці, а також коефіцієнт дільника напруги. Ці предмети потрібні для того, щоб гарантувати дотримання умов Баркхаузен.
Малюнок\(\PageIndex{4}\): Мережа відведення/відставання.
По-перше, зверніть увагу, що
\[ \beta = \frac{Z_2}{Z_1+Z_2} \nonumber \]
де\(Z_1 = R_1 - jX_{C_1}\), і\(Z_2 = R_2 || -jX_{C_2}\).
\[ Z_2 = \frac{−j X_{C_2} R_2}{− j X_{C_2} + R_2} \nonumber \]
\[ Z_2 = \frac{− j X_{C_2} R_2}{− j X_{C_2} ( 1+ \frac{R_2}{− j X_{C_2}} )} \nonumber \]
\[ Z_2 = \frac{R_2}{1+ \frac{R_2}{− j X_{C_2}}} \nonumber \]
Згадуючи про це\(X_C = 1/\omega C\), знаходимо
\[ Z_1 = R_1− \frac{j}{\omega C_1} \nonumber \]
\[ Z_2 = \frac{R_2}{1+ j\omega R_2C_2} \nonumber \]
Отже,
\[ \beta = \frac{\frac{R_2}{1+ j\omega R_2 C_2}}{\frac{R_2}{1+ j \omega R_2 C_2} + R_1 − \frac{j}{\omega C_1}} \nonumber \]
\[ \beta = \frac{R_2}{R_2 + R_1 − \frac{j}{\omega C_1} + j \omega R_1 R_2 C_2 + \frac{R_2 C_2}{C_1}} \nonumber \]
\[ \beta = \frac{R_2}{R_2 \left(1+ \frac{C_2}{C_1}\right) + R_1+ j\left( \omega R_1 R_2 C_2− \frac{1}{\omega C_1} \right)} \label{9.1} \]
Визначити потрібну частоту можна з уявної частини Equation\ ref {9.1}.
\[ \omega R_1 R_2 C_2 = \frac{1}{\omega C_1} \nonumber \]
\[ \omega ^2 = \frac{1}{R_1 R_2 C_1 C_2} \nonumber \]
\[ \omega = \frac{1}{\sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2}} \label{9.2} \]
Зазвичай,\(C_1 = C_2\) і\(R_1 = R_2\), так рівняння\ ref {9.2} зменшується до
\[ \omega = \frac{1}{RC} \text{ or,} \nonumber \]
\[ f_o = \frac{1}{2 \pi RC} \label{9.3} \]
Щоб знайти величину коефіцієнта зворотного зв'язку, а отже, необхідний форвардний коефіцієнт посилення операційного підсилювача, нам потрібно вивчити реальну частину Equation\ ref {9.1}.
\[ \beta = \frac{R_2}{R_2 \left( 1+ \frac{C_2}{C_1} \right) +R1} \nonumber \]
Припускаючи, що використовуються рівні компоненти, це зводиться до
\[ \beta = \frac{R}{3R} \text{ or simply,} \nonumber \]
\[ \beta = \frac{1}{3} \nonumber \]
Кінцевим результатом є те, що прямий коефіцієнт посилення підсилювача повинен мати посилення трохи більше 3 і фазу 0,\(^{\circ}\) щоб підтримувати коливання. Це також означає, що частоту коливань досить легко встановити і навіть можна регулювати, якщо потенціометри використовуються для заміни двох резисторів. Заключна схема показана на малюнку\(\PageIndex{5}\).
Малюнок\(\PageIndex{5}\): Віенський міст осцилятор.
Ця схема використовує комбінацію негативного зворотного зв'язку та позитивного зворотного зв'язку для досягнення коливань. Петля позитивного зворотного зв'язку використовує\(R_t\) і\(C\). Петля негативного зворотного зв'язку використовує\(R_a\) і\(R_b\). \(R_b\)повинен бути приблизно в два рази більше розміру\(R_a\). Якщо він менший,\(A\beta \) продукт буде менше одиниці, і коливання не можна підтримувати. Якщо коефіцієнт посилення значно більший, може призвести до надмірного спотворення. Дійсно, для цієї схеми бажана певна форма зменшення посилення при більш високих вихідних напругах. Одна з можливостей - заміна\(R_a\) лампою. Зі збільшенням амплітуди сигналу по всій лампі її опір збільшується, зменшуючи тим самим посилення. У певний момент опору лампи буде якраз достатньо для отримання\(A\beta \) виробу рівно 1. Інша техніка показана на малюнку\(\PageIndex{6}\). Тут прийнятий протилежний підхід. Резистор\(R_b\) спочатку розбивається на дві частини, меншу частину\(R_{b2}\), шунтується парою сигнальних діодів. Для більш низьких амплітуд діоди відключені і не впливають на роботу схеми. При більш високих амплітудах діоди починають включатися, і таким чином починають коротко\(R_{b2}\). Якщо правильно реалізовано, ця дія не є миттєвим і не виробляє відсікання. Він просто служить для зменшення посилення при більш високих амплітудах.
Малюнок\(\PageIndex{6}\): Віенський міст осцилятор з регулюванням посилення.
Інший спосіб малювання віденського мостового осцилятора показаний на малюнку\(\PageIndex{7}\). Ця форма чітко показує конфігурацію Віенського мосту. Зверніть увагу, що на виході моста є диференціальне вхідна напруга (тобто похибка напруги). В роботі міст збалансований, і, таким чином, похибка напруги дорівнює нулю.
Малюнок\(\PageIndex{7}\): Віенський міст осцилятор перемальований.
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Визначте частоту коливань для схеми малюнка\(\PageIndex{8}\).
\[ f_o = \frac{1}{2 \pi RC} \nonumber \]
\[ f_o = \frac{1}{2 \pi \times 50 k\times .01 \mu F} \nonumber \]
\[ f_o = 318Hz \nonumber \]
Малюнок\(\PageIndex{8}\): Осцилятор, наприклад\(\PageIndex{1}\).
Для інших частот,\(R\) або\(C\) можуть бути змінені за потребою. Також зверніть увагу, що форвардний коефіцієнт посилення працює рівно до 3, таким чином прекрасно компенсуючи позитивний коефіцієнт зворотного зв'язку 1/3. Насправді допуски компонентів роблять цю схему непрактичною. Щоб подолати цю складність, невелика комбінація резистор/діод може бути розміщена послідовно з 20 к\(\Omega\), як показано на малюнку\(\PageIndex{6}\). Типове значення резистора буде приблизно від однієї четвертої до половини значення\(R_f\), або приблизно 5 k\(\Omega\) до 10 k\(\Omega\) в цьому прикладі. \(R_f\)буде трохи зменшено, а також (або,\(R_i\) може бути збільшено).
Гранична точність\(f_o\) залежить від допусків\(R\) і\(C\). Якщо у виробництві використовуються 10% деталей, можлива дисперсія близько 20%. Також на більш високих частотах схема операційного підсилювача буде виробляти помірний фазовий зсув самостійно. Таким чином, припущення про ідеальний неінвертирующий підсилювач більше не є дійсним, і в результаті виникне певна помилка вихідної частоти. При екстремальних значеннях в мережі позитивного зворотного зв'язку також можливо деяке зсув вихідної частоти через ємнісних і резистивних навантажувальних ефектів операційного підсилювача. Зазвичай цей тип навантаження не є проблемою, оскільки вхідний опір операційного підсилювача дуже високий, а його вхідна ємність досить низька.
Приклад\(\PageIndex{2}\)
\(\PageIndex{9}\)На малюнку зображений регульований генератор. Три набори конденсаторів використовуються для зміни частотного діапазону, тоді як потенціометр з двома бандами використовується для регулювання частоти в заданому діапазоні. Визначте максимальну і мінімальну частоту коливань в межах кожного діапазону.
Малюнок\(\PageIndex{9}\): Регульований генератор.
По-перше, зверніть увагу, що конденсатори рознесені десятиліттями. Це означає, що отримані частотні діапазони також будуть змінюватися на множники 10. Конденсатор 0.1\(\mu\) F буде виробляти найнижчий діапазон, 10 нФ буде виробляти діапазон в 10 разів вище, а діапазон 1 нФ буде ще 10 разів вище. Таким чином, нам потрібно лише обчислити діапазон, вироблений 0,1\(\mu\) F.
Максимальна частота коливань в заданому діапазоні буде відбуватися з мінімально можливим опором. Мінімальний опір видно, коли\(\Omega\) горщик 10 k повністю закорочений, результат - 1.1 k\(\Omega\). І навпаки, мінімальна частота буде відбуватися з найбільшим опором. Коли котел повністю знаходиться в контурі, отримана сума становить 11,1 к\(\Omega\). Зверніть увагу, що потенціометр з двома бандами означає, що обидва блоки з'єднані із загальним валом; таким чином, обидва горщики відстежуються в тандемі.
Для\(f_{minimum}\) з 0,1\(\mu\) F:
\[ f_o = \frac{1}{2 \pi RC} \nonumber \]
\[ f_o = \frac{1}{2 \pi \times 11.1 k\times 0.1 \mu F} \nonumber \]
\[f_o = 143.4 Hz \nonumber \]
Для\(f_{maximum}\) з 0,1\(\mu\) F:
\[ f_o = \frac{1}{2 \pi RC} \nonumber \]
\[ f_o = \frac{1}{2 \pi \times 1.1 k\times 0.1 \mu F} \nonumber \]
\[ f_o = 1.447 kHz \nonumber \]
Для 0.01\(\mu\) F діапазони становили б 1.434 кГц до 14.47 кГц, а для 0.001\(\mu\) F діапазони становили б 14.34 кГц до 144.7 кГц. Зверніть увагу, що кожен діапазон підбирає місце, де зупинився попередній. Таким чином, немає ні «прогалин», ні недосяжних частот. Для стабільного коливання цей контур повинен мати коефіцієнт посилення 3. Для низькорівневих виходів діоди не будуть активними, а пряме посилення буде
\[ A_v = 1+ \frac{R_f}{R_i} \nonumber \]
\[ A_v = 1+ \frac{10 k+2.7 k}{5.6 k} \nonumber \]
\[ A_v = 3.27 \nonumber \]
У міру підвищення сигналу діоди починають включатися, таким чином шунтуючи\(\Omega\) резистор 2.2 k і знижуючи коефіцієнт посилення назад рівно до 3.
9.2.4: Осцилятор фазового зсуву
Враховуючи критерій Баркгаузена, слід створити генератор, використовуючи просту мережу зсуву фаз на шляху зворотного зв'язку. Наприклад, якщо в схемі використовується інвертуючий підсилювач (-180\(^{\circ}\) shift), мережа зворотного зв'язку з додатковим\(^{\circ}\) зміщенням 180 повинна створювати коливання.
Єдина інша вимога полягає в тому, щоб коефіцієнт посилення інвертуючого підсилювача був більшим, ніж втрати, вироблені мережею зворотного зв'язку. Це проілюстровано на малюнку\(\PageIndex{10}\). Мережа зворотного зв'язку може бути такою ж простою, як три каскадні провідні мережі. Ведучі мережі будуть виробляти комбінований зсув фаз\(^{\circ}\) на 180 тільки на одній частоті. Це і стане частотою коливань. В цілому мережа зворотного зв'язку буде виглядати приблизно на схемі рис\(\PageIndex{11}\). Таку форму\(RC\) планування прийнято називати сходовою мережею.
Малюнок\(\PageIndex{10}\): Блок-схема генератора фазового зсуву.
Існує безліч способів, за допомогою яких\(R\) і\(C\) можна встановити для того, щоб створити бажану\(^{\circ}\) зміну 180. Мабуть, найбільш очевидною схемою є установка кожного етапу на 60\(^{\circ}\) зміну. Компоненти визначаються шляхом знаходження комбінації, яка виробляє\(^{\circ}\) зсув 60 на потрібній частоті. Щоб уникнути навантажувальних ефектів, кожен етап повинен бути встановлений на більш високі і більш високі опори. Наприклад,\(R_2\) може бути встановлено в 10 разів більше значення\(R_1\), і\(R_3\) встановити значення в 10 разів більше значення\(R_2\). Конденсатори побачили б відповідне зменшення. Оскільки тангенс фазового зсуву дає відношення\(X_C\) до\(R\), при наших бажаних 60\(^{\circ}\) ми знаходимо
\[ \tan 60 = \frac{X_C}{R} \nonumber \]
\[ 1.732 = \frac{X_C}{R} \nonumber \]
\[ X_C = 1.732 R \nonumber \]
Малюнок\(\PageIndex{11}\): Мережа зсуву фаз
Використовуючи це в загальній формулі реактивного опору, виробляє
\[ f_o = \frac{1}{2 \pi 1.732 RC} \label{9.4} \]
Так само погляд на величину показує приблизні втрати на стадії
\[ \beta = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_C^{2}}} \nonumber \]
\[ \beta = \frac{R}{\sqrt{R^2 +(1.732 R)^{2}}} \nonumber \]
\[ \beta = .5 \nonumber \]
Оскільки існує три етапи, загальна втрата для мережі зворотного зв'язку становила б 0,125. Тому інвертуючий підсилювач потребує посилення 8 для того, щоб встановити\(A\beta \) продукт на одиницю. Пам'ятайте, ці результати є приблизними і залежать від мінімального міжступеневого навантаження. Більш вимогливий аналіз буде слідувати найближчим часом.
Приклад\(\PageIndex{3}\)
Визначте частоту коливань на рис\(\PageIndex{12}\).
\[ f_o = \frac{1}{2 \pi 1.732 RC} \nonumber \]
\[ f_o = \frac{1}{2 \pi \times 1.732\times 1 k\times 100 nF} \nonumber \]
\[ f_o = 919 Hz \nonumber \]
Малюнок\(\PageIndex{12}\): Осцилятор фазового зсуву (мінімальна форма навантаження).
Малюнок\(\PageIndex{12}\) графічно вказує на основну проблему з концепцією «60\(^{\circ}\) на етап». Для того щоб запобігти навантаженню, кінцеві резистори повинні бути дуже високими. В цьому випадку потрібно резистор зворотного зв'язку 8 М\(\Omega\). Можна дещо спростити схему, опустивши 1 М\(\Omega\) і підключивши 100 к\(\Omega\) безпосередньо до операційного підсилювача, як показано на малюнку\(\PageIndex{13}\). Це економить одну частину і дозволяє знизити значення резистора зворотного зв'язку, але отриманий компонент поширення все ще не є ідеальним.
Малюнок\(\PageIndex{13}\): Покращений генератор фазового зсуву.
Якщо ми приймаємо ефект навантаження, ми можемо трохи спростити речі, зробивши кожен резистор і конденсатор однакового розміру, як показано на малюнку\(\PageIndex{14}\). З цими значеннями ми можемо бути впевнені, що результуюча частота більше не буде 919 Гц, оскільки Equation\ ref {9.4} більше не діє. Також цілком ймовірно, що збитки, вироблені мережею, вже не будуть дорівнювати 0,125.
Малюнок\(\PageIndex{14}\): Аналіз фазового зсуву.
Нам потрібно визначити загальне\((V_0 / V_3)\) співвідношення вхід/виходу сходової мережі, і з цього знайти співвідношення коефіцієнта посилення і частоти для чистого зсуву фаз -180\(^{\circ}\). Одна методика передбачає використання одночасних петльових рівнянь. Оскільки всі резистори та конденсатори рівні в цій варіації, ми зможемо легко спростити наші рівняння. При огляді три петльові рівняння (зліва направо):
\[ V_0 = (R+ X_C) I_1 − R I_2 \label{9.5} \]
\[ 0 = −R I_1 + (2 R + X_C) I_2 − R I_3 \label{9.6} \]
\[ 0 = −R I_2 + (2 R + X_C) I_3 \label{9.7} \]
Крім того, зверніть увагу, що
\[ V_3 = I_3 R \label{9.8} \]
Тепер у нас є вирази для\(V_0\) і\(V_3\), однак,\(V_0\) є з точки зору\(I_1\) і\(I_2\), і\(V_3\) є з точки зору\(I_3\). Напишіть\(I_1\) і з\(I_2\) точки зору,\(I_3\) щоб ми могли замінити їх назад в Equation\ ref {9.5}. Переписування рівняння\ ref {9.7} дає вираз для\(I_2\)
\[ I_2 = I_3 \left(2+ \frac{X_C}{R}\right) \label{9.9} \]
Для\(I_1\), перепишіть рівняння\ ref {9.6}
\[ I_1 = \left( 2+ \frac{X_C}{R} \right) I_2 − I_3 \label{9.10} \]
Підстановка рівняння\ ref {9.9} на рівняння\ ref {9.10} дає
\[ I_1 = I_3 \left(\left( 2+ \frac{X_C}{R} \right)^{2} −1\right) \label{9.11} \]
Таким чином,\(V_0\) може бути переписаний як
\[ V_0 = I_3 (R+ X_C) \left( \left( 2 + \frac{X_C}{R} \right)^2 −1 \right)− I_3 R \left( 2+ \frac{X_C}{R} \right) \label{9.12} \]
Рівняння\ ref {9.12} може бути спрощено до
\[ V_0 = I_3 \left( R \left( 2 + \frac{X_C}{R} \right)^2 + X_C \left( 2+ \frac{X_C}{R} \right)^2 −3 R−2 X_C \right) \label{9.13} \]
Вираз введення/виведення спрощується наступним чином.
\[ \frac{V_0}{V_3} = \left( R \left( 2+ \frac{X_C}{R} \right)^2 + X_C \left( 2+ \frac{X_C}{R} \right)^2 −3 R −2 X_C \right) \left( \frac{1}{R} \right) \label{9.14} \]
\[ \frac{V_0}{V_3} = \left(2+ \frac{X_C}{R} \right)^2 + \frac{X_C}{R} \left(2+ X C R \right)^2 − 3 − 2 \frac{X_C}{R} \nonumber \]
\[ \frac{V_0}{V_3} = 1+ \frac{6 X_C}{R} + 5 \frac{X_C^2}{R^2} + \frac{X_C^3}{R^3} \label{9.15} \]
На цьому етапі ми майже закінчили з загальним рівнянням. Все, що залишилося - замінити замість\(1 / j\omega C\)\(X_C\). Пам'ятайте,\(j^2 = -1\)
\[ \frac{V_0}{V_3} = 1+ \frac{6}{j\omega C R} − \frac{5}{\omega ^2 C^2 R^2} − \frac{1}{j \omega ^3 C^3 R^3} \label{9.16} \]
Це рівняння містить як дійсні, так і уявні члени. Щоб це рівняння було задоволено, уявні компоненти\((6 / j\omega CR\) і\(1 / j\omega ^3 C^3 R^3 )\) повинні сумувати нуль, а дійсні компоненти повинні аналогічно сумувати нулю (так як є тільки два домені, їх величини повинні бути рівні). Ми можемо використовувати ці факти, щоб знайти як посилення, так і частоту.
\[ \frac{6}{j\omega CR} = \frac{1}{j \omega ^3 C^3 R^3} \nonumber \]
\[ \frac{1}{j\omega CR} = \frac{1}{ 6 j \omega ^3 C^3 R^3} \nonumber \]
\[1 = \frac{1}{ 6 j \omega ^2 C^2 R^2} \nonumber \]
\[ \omega ^2 = \frac{1}{ 6 C^2 R^2} \label{9.17} \]
\[ \omega = \frac{1}{\sqrt{6}CR} \ or, \label{9.18} \]
\[ f_o = \frac{1}{2 \pi \sqrt{6}CR} \label{9.19} \]
Для коефіцієнта посилення вирішуємо Equation\ ref {9.16} через коефіцієнт напруги і нуль уявних членів, тому що результат повинен бути реальним.
\[ \frac{V_0}{V_3} = 1 − \frac{5}{\omega ^2 C^2 R^2} \label{9.20} \]
Підстановка рівняння\ ref {9.17} на рівняння\ ref {9.20} дає
\[ \frac{V_0}{V_3} = 1 − \frac{5}{\frac{1}{6 C^2 R^2} C^2 R^2} \label{9.21} \]
\[ \frac{V_0}{V_3} =1 −5\times 6 \nonumber \]
\[ \frac{V_0}{V_3} =−29 \label{9.22} \]
Коефіцієнт посилення сходової мережі дорівнює\(V_3 /V_0\), або зворотний рівнянню\ ref {9.22}, або
\[ \beta = \frac{1}{−29} \label{9.23} \]
Вироблена втрата складе 1/29. Це має недолік, що вимагає посилення вперед 29 замість 8 (як у попередньому вигляді). Цей недолік незначний в порівнянні з перевагою розумних значень компонентів.
Приклад\(\PageIndex{4}\)
Визначте значення для\(R_f\) на\(\PageIndex{15}\) малюнку, щоб зберегти коливання. Також визначають частоту коливань.
Малюнок\(\PageIndex{15}\): Рівнокомпонентний генератор фазового зсуву.
Рівняння\ ref {9.23} показує, що інвертуючий підсилювач повинен мати коефіцієнт посилення 29.
\[ A_v = − \frac{R_f}{R_i} \nonumber \]
\[ R_f = − \frac{R_i}{A_v} \nonumber \]
\[ R_f = −1 k \times −29 \nonumber \]
\[ R_f = 29 k \nonumber \]
Звичайно, буде використано більш високе стандартне значення. Також для того, щоб контролювати коефіцієнт посилення на більш високих рівнях, комбінація діод/резистор (як використовується в ланцюгах моста Wien) повинна бути розміщена послідовно с\(R_f\). Без контуру обмеження посилення може виникнути надмірне спотворення.
\[ f_o = \frac{1}{2\pi \sqrt{6} RC} \nonumber \]
\[ f_o = \frac{1}{2 \pi \sqrt{6}\times 1k\times 0.1\mu F} \nonumber \]
\[ f_o = 650 Hz \nonumber \]
Комп'ютерне моделювання
З метою перевірки рівнянь\ ref {9.3} і\ ref {9.19}, коефіцієнти посилення і\(\PageIndex{15}\) фазові відповіді мереж зворотного зв'язку на рис\(\PageIndex{16}\).\(\PageIndex{13}\) Ці графіки були отримані за допомогою стандартного маршруту Multisim. Відзначимо, що фаза для обох ланцюгів потрапляє -180\(^{\circ}\) дуже близько до прогнозованих частот. Прогнозування мережі рівних значень є дуже точним, тоді як шахове прогнозування мережі вимкнено лише на кілька відсотків. Після того, як фаза перевищує -180\(^{\circ}\), графічний пристрій Multisim обертає її назад до +180\(^{\circ}\), тому побачити цю частоту дуже легко. Аналогічним чином, коефіцієнт посилення узгоджується з похідними для загасання на частоті коливань. Це може бути дуже повчальним проаналізувати ці схеми для посилення та фазової реакції на кожному етапі, а також.
Малюнок\(\PageIndex{16a}\): Мережа рівних значень в Multisim.
Малюнок\(\PageIndex{16b}\): Відповідь мережі рівних значень.
Малюнок\(\PageIndex{16c}\): Мережа шахових значень у Multisim.
Малюнок\(\PageIndex{16d}\): Відповідь мережі значень в шаховому порядку.
9.2.5: Генератор функцій квадрата/трикутника
Крім генерації синусоїдальних хвиль, схеми операційних підсилювачів можуть використовуватися для генерації інших форм хвиль, таких як пандуси, хвилі трикутника або імпульси. Взагалі кажучи, квадратні та імпульсні форми хвиль можуть бути отримані з інших джерел за допомогою компаратора. Наприклад, квадратна хвиля може бути отримана з синусоїди, пропускаючи її через компаратор, наприклад, ті, що видно в главі сьомої. Лінійні форми хвиль, такі як трикутники та пандуси, можуть бути отримані від дії заряду/розряду конденсатора. Як ви пам'ятаєте з основної теорії схем, напруга на конденсаторі буде рости лінійно, якщо він приводиться в дію постійним джерелом струму. Один із способів досягнення цього лінійного підйому - це схема Фігура\(\PageIndex{17}\).
Малюнок\(\PageIndex{17}\): Генератор рампи.
По суті, ця схема являє собою інвертуючий підсилювач з конденсатором, що займає місце\(R_f\). Вхідний резистор,\(R\), перетворює прикладене вхідна напруга в струм. Оскільки струм в сам операційний підсилювач незначний, цей струм надходить безпосередньо в конденсатор\(C\). Як і в звичайному інвертуючому підсилювачі, вихідна напруга дорівнює напрузі на елементі зворотного зв'язку, хоч і перевернуте. Співвідношення між струмом конденсатора і напругою становить
\[ \frac{d_v}{d_t} = \frac{i}{C} \label{9.24} \]
\[ V(t) = \frac{1}{C} \int i dt \nonumber \]
\[ V_{out} = − \frac{1}{C} \int i dt \label{9.25} \]
Як і очікувалося, швидкий підйом може бути створений або малим конденсатором, або великим струмом. (Як зауваження, ця схема називається інтегратором і буде розглянута більш детально в наступному розділі.)
Вибравши відповідні значення для\(R\) і\(C\),\(V_{out}\) пандус може бути встановлений за потрібною нормою. Полярність ухилу пандуса визначається напрямком вхідного струму; позитивне джерело буде виробляти негативний йде пандус і навпаки. Якщо полярність входу змінюється з певною швидкістю, вихідний пандус змінить напрямок в тандемі. Чистий ефект - хвиля трикутника. Простий спосіб генерувати змінну вхідну полярність - це диск\(R\) з квадратною хвилею. У міру зміни квадратної хвилі від плюса до мінуса пандус змінює напрямок. Це показано на малюнку\(\PageIndex{18}\).
Малюнок\(\PageIndex{18}\): Форми хвиль генератора рампи.
Отже, тепер ми можемо генерувати хвилю трикутника. Єдина проблема полягає в тому, що потрібне джерело квадратної хвилі. Як ми виробляємо квадратне джерело? Як згадувалося раніше, квадратна хвиля може бути виведена шляхом проходження сигналу змінного струму через компаратор. Логічно тоді, ми повинні мати можливість передати вихідну хвилю трикутника в компаратор, щоб створити необхідну квадратну хвилю. Отримана схема показана на малюнку\(\PageIndex{19}\). Компаратор з гістерезисом використовується для перетворення трикутника в квадратну хвилю. Потім квадрат приводить в рух схему пандуса. Схема виробляє два одночасних виходи: квадратну хвилю, яка коливається до\(\pm\) насичення, і хвиля трикутника, яка гойдається до верхнього і нижнього порогів компаратора. Це показано на малюнку\(\PageIndex{20}\). Порогові значення можна визначити за рівняннями, представленими в главі сьомій. Для визначення вихідної частоти швидкість В/с рампи визначається з Equation\ ref {9.24}. Знаючи коливання трикутника від піку до піку\(V_{\text{upper thres}} - V_{\text{lower thres}}\), можна знайти період хвилі. Вихідна частота - зворотна періоду.
Малюнок\(\PageIndex{19}\): Трикутник/квадратний генератор.
Малюнок\(\PageIndex{20}\): Вихідні форми хвиль трикутного/квадратного генератора.
Приклад\(\PageIndex{5}\)
Визначте вихідну частоту і амплітуди для схеми на рис\(\PageIndex{21}\). Використовувати\(V_{sat} = \pm 13 V\).
Малюнок\(\PageIndex{21}\): Генератор сигналів для Приклад\(\PageIndex{5}\).
По-перше, зверніть увагу, що компаратор завжди коливається між\(+V_{sat}\) і\(-V_{sat}\). Тепер визначаємо верхній і нижній пороги для компаратора.
\[ V_{\text{upper thres}} = V_{sat} \frac{R_2}{R_3} \nonumber \]
\[ V_{\text{upper thres}} = 13 V \frac{10 k}{20 k} \nonumber \]
\[ V_{\text{upper thres}} = 6.5 V \nonumber \]
Нижній поріг становитиме -6.5 В. Тепер ми знаємо, що вихід хвилі трикутника буде 13 В пік-пік. З цього ми можемо визначити період виведення.
Оскільки генератор рампи приводиться в дію квадратною хвилею з амплітудою\(V_{sat}\), Equation\ ref {9.24} може бути перезаписано як
\[ \frac{d_v}{d_t} = \frac{V_{sat}}{RC} \nonumber \]
\[ \frac{d_v}{d_t} = \frac{13V}{33 k\times 0.01 \mu F} \nonumber \]
\[ \frac{d_v}{d_t} = 39,394V/s \nonumber \]
Час, необхідний для виробництва 13 В гойдалки від піку до піку, становить
\[ T = \frac{13 V}{39,394 V/s} \nonumber \]
\[ T = 330 \mu s \nonumber \]
Це являє собою один півперіод вихідної хвилі. Для переходу від +6,5 В до -6,5 В і назад буде потрібно 660\(\mu\) с. тому вихідна частота дорівнює
\[ f = \frac{1}{T} \nonumber \]
\[ f = \frac{1}{660 \mu s} \nonumber \]
\[ f = 1.52 kHz \nonumber \]
Отриману частоту Прикладу\(\PageIndex{5}\) можна регулювати шляхом зміни\(\Omega\) резистора 33 k або конденсатора 10 нФ. Зміна резисторів компаратора може змінити порогові значення і, таким чином, змінити частоту, але це, як правило, не рекомендується, оскільки також відбудеться зміна вихідної амплітуди. Комбінуючи етапи, вищевказаний процес може зводитися до єдиного рівняння:
\[ f = \frac{1}{\frac{2V_{pp}}{V_{sat}} RC} \label{9.26} \]
де\(V_{pp}\) різниця між\(V_{upper thres}\) і\(V_{lower thres}\). Зверніть увагу,\(R_3\) що якщо в 4 рази більше, ніж\(R_2\) у компараторі, Equation\ ref {9.26} зменшується до
\[ f = \frac{1}{RC} \nonumber \]
і пікова амплітуда хвилі трикутника становить одну четверту частину\(V_{sat}\).
Як правило, такі схеми використовуються для роботи з нижчою частотою. Для чистих квадратних хвиль потрібні дуже швидкі операційні підсилювачі. Нарешті, для нижчих навантажень імпедансу виходи повинні бути буферизовані з послідовниками напруги.
Комп'ютерне моделювання
Моделювання Multisim для генератора сигналів Приклад\(\PageIndex{5}\) показано на рис\(\PageIndex{22}\). Виходи квадрата та трикутника побудовані разом, щоб можна було побачити дію перемикання. Зверніть увагу, як кожна хвиля виводиться від іншої. Вихідний графік затримується 5 мілісекунд, щоб гарантувати графік виходу стаціонарного стану. Неможливість затримати час побудови графіка призведе до графіка початкових перехідних процесів включення. Це може зайняти багато мілісекунд, перш ніж сигнали остаточно стабілізуються, залежно від бажаної частоти коливань та початкових умов контуру. Нарешті, зверніть увагу на різкі піднімаються і спадають краю квадратної хвилі. Це пов'язано з помірно швидкою швидкістю вбивання обраного операційного підсилювача LF411. Якби використовувався більш повільний пристрій, такий як 741, якість вихідних сигналів постраждала б.
Малюнок\(\PageIndex{22a}\): Трикутник/квадратний генератор в Multisim.
Малюнок\(\PageIndex{22b}\): Вихідні сигнали з симулятора.
Якщо точна хвиля трикутника не потрібна, і потрібна лише квадратна хвиля, схема малюнка\(\PageIndex{19}\) може бути зведена до одного етапу операційного підсилювача. Це показано на малюнку\(\PageIndex{23}\). Ця схема є, по суті, компаратором. \(R_1\)Резистори\(R_2\) утворюють позитивну частину зворотного зв'язку і встановлюють ефективну точку відключення компаратора, або поріг. Сигнал вимірювання - напруга на конденсаторі. Потенціали, що представляють інтерес, показані на рис\(\PageIndex{24}\). Якщо вихід має позитивне насичення, неінвертуючий вхід побачить відсоток від цього, залежно від дільника напруги, виробленого\(R_1\) і\(R_2\). Цей потенціал є\(V_{upper thres}\). Оскільки вихід має позитивне насичення\(C\), конденсатор буде заряджатися до нього. Оскільки він заряджається через резистор\(R\), форма хвилі є експоненціальним типом. Як тільки напруга конденсатора досягне\(V_{upper thres}\), неінвертуючий вхід більше не буде більше, ніж інвертуючий вхід, і пристрій зміниться в негативний стан. У цей момент\(C\) буде зворотний свій курс і рухатися в бік негативного насичення. На нижньому порозі операційний підсилювач знову змінить стан, і процес повториться. Для того щоб визначити частоту коливань, нам потрібно знайти, скільки часу потрібно конденсатору для зарядки між двома пороговими точками. Зазвичай ланцюг буде харчуватися від джерел рівної величини, а значить\(+V_{sat} = -V_{sat}\) і\(V_{upper thres} = V_{lower thres}\). За допомогою інспекції,
\[ V_{thres} = V_{sat} \frac{R_1}{R_1+R_2} \label{9.27} \]
Малюнок\(\PageIndex{23}\): Простий генератор квадратних хвиль.
Малюнок\(\PageIndex{24}\): Форми хвиль простого генератора квадратних хвиль.
Напруга конденсатора дорівнює
\[ V_C (t) = V_k (1 −\epsilon^{\frac{−t}{RC}}) \label{9.28} \]
де\(V_k\) - сумарний потенціал, що подається на конденсатор. Оскільки конденсатор запуститься з одного порогу і намагатиметься зарядитися до протилежної межі насичення, це
\[ V_k = V_{sat} + V_{thres} \label{9.29} \]
Поєднання рівняння\ ref {9.27}, рівняння\ ref {9.28} та рівняння\ ref {9.29} дає
\[ V_C (t) = ( V_{sat} + V_{thres} )\left(1 −\epsilon^{\frac{−t}{RC}}\right) \label{9.30} \]
У точці, де компаратор змінює стан,
\[ V_C = 2 V_{thres} \label{9.31} \]
Поєднання рівняння\ ref {9.30} і рівняння\ ref {9.31} дає
\[ 2 V_{thres} = (V_{sat} + V_{thres}) \left(1−\epsilon^{−t R C} \right) \\ 1−\epsilon^{\frac{−t}{RC}} = \frac{2 V_{thres}}{V_{sat} + V_{thres}} \\ 1−\epsilon^{\frac{−t}{RC}} = \frac{2 V_{sat} \frac{R_1}{R_1+ R_2}}{V_{sat}\left( 1+ \frac{R_1}{R_1+ R_2} \right)} \\ 1−\epsilon^{\frac{−t}{RC}} = \frac{2 R_1}{2 R_1+R_2} \\ \epsilon^{\frac{−t}{RC}} = \frac{R_2}{2 R_1+R_2} \\ \frac{−t}{RC} = \ln \left( \frac{R_2}{2 R_1+R_2} \right) \\ t = RC \ln \left( \frac{2 R_1+ R_2}{R_2} \right) \nonumber \]
Це являє собою час заряду конденсатора. Один період вимагає двох таких траверс, так що ми можемо сказати
\[ T = 2 RC \ \ln \left( \frac{2 R_1+R_2}{R_2} \right) \ or, \nonumber \]
\[ f_o = \frac{1}{2 RC \ \ln \left( \frac{2 R_1+ R_2}{R_2} \right)} \label{9.32} \]
Ми можемо перетворити Equation\ ref {9.32} у «приємніші» форми, вибравши значення для\(R_1\) і\(R_2\) такі, щоб термін журналу перетворився на зручне число, наприклад 1 або 0,5. Наприклад, якщо ми встановимо\(R_1 = 0.859 R_2\), термін журналу є одиницею, а отже Equation\ ref {9.32} стає\(f_o = 1 / 2RC\)
Приклад\(\PageIndex{6}\)
Спроектуйте генератор квадратних хвиль 2 кГц, використовуючи схему Рисунок\(\PageIndex{23}\). Для зручності набір\(R_1 = 0.859 R_2\). Якщо\(R_1\) довільно встановлено 10 k\(\Omega\), то
\[ R_1 = 0.859 R_2 \nonumber \]
\[ R_2 = \frac{R_1}{0.859} \nonumber \]
\[ R_2 = \frac{10 k}{0.859} \nonumber \]
\[ R_2 = 11.64 k \nonumber \]
Для того щоб задати частоту коливань, довільно\(R\) встановлюється 10 к\(\Omega\), а потім\(C\) визначається.
\[ f_o = \frac{1}{2 RC} \nonumber \]
\[ C = \frac{1}{2 R f_o} \nonumber \]
\[ C = \frac{1}{2\times 10 k\times 2 kHz} \nonumber \]
\[ C = 25 nF \nonumber \]
Комп'ютерне моделювання
Моделювання генератора квадратних хвиль Приклад\(\PageIndex{6}\) показано на рис\(\PageIndex{25}\). Для того, щоб графічно проілюструвати важливість операційного підсилювача, що має достатню пропускну здатність та швидкість вбивання, моделювання виконується двічі, один раз використовуючи помірно швидкий LF411, а другий раз використовуючи набагато повільніший 741.
Малюнок\(\PageIndex{25a}\): Генератор квадратних хвиль в Multisim.
Як вихідна, так і конденсаторна напруга побудовані з аналізу перехідних процесів. Використовуючи LF411, вихідна форма хвилі дуже чітка з різкими піднімаються та падають краями. Напруга конденсатора з'являється саме так, як повинно. Отримана частота трохи нижче, ніж ціль 2 кГц. На відміну від цього, 741 сюжети демонструють деякі проблеми. По-перше, квадратна хвиля має помітне обмеження швидкості обертання на переходах. По-друге, через проблеми з поворотом відбувається спотворення форми хвилі напруги конденсатора (зверніть увагу на надмірне округлення піків). Ці ефекти об'єднуються, щоб виробляти частоту приблизно на 15 відсотків нижче, ніж ціль, або близько 1,7 кГц. Кінцевим результатом є тьмяна вихідна форма сигналу.
Малюнок\(\PageIndex{25b}\): Форми хвиль з використанням LF411.
Малюнок\(\PageIndex{25c}\): Форми хвиль з використанням 741.