12.4: АКТИВНІ ФІЛЬТРИ

Існують численні додатки, які вимагають реалізації тієї чи іншої функції передачі. Одне з багатьох обмежень конструкції фільтруючих мереж з використанням тільки пасивних компонентів полягає в тому, що індуктори необхідні для отримання складних місць розташування полюсів. Це обмеження знімається, якщо в конструкції включені активні елементи, а результуючі активні фільтри дозволяють реалізувати складні полюси, використовуючи крім активних елементів тільки резистори і конденсатори. Подальші переваги синтезу активного фільтра включають можливість широкого діапазону відносних вхідних і вихідних опорів, а також використання менших, менш дорогих реактивних компонентів, ніж це зазвичай можливо при пасивних конструкціях.

Існує значна кількість справжніх досліджень, присвячених вдосконаленню методів синтезу активних фільтрів, і ймовірність того, що кращі конструкції, особливо щодо чутливості (залежність передавальної функції від варіацій значень параметрів), будуть розвиватися. У цьому розділі описані дві популярні в даний час топології, які можуть бути використані для реалізації активних фільтрів.

Складання і ключ ланцюга

Р.П. Саллен і Е.Л. Кей, «Практичний метод проектування RC активних фільтрів», Інститут радіоінженерів, Угоди з теорії кіл, березень, 1955, стор. 74-85.

Малюнок 12.22 Активний фільтр нижніх частот другого порядку.

На малюнку 12.22 показана схема активного фільтра, яка використовує операційний підсилювач, підключений до одиниці посилення. Вузлові рівняння для схеми легко записуються, зазначивши, що напруга на неинвертирующем вході підсилювача дорівнює вихідній напрузі і становлять

\[\begin{array} {rcl} {G_1 V_i} & = & {(G_1 + G_2 + C_2s)V_a - (G_2 + C_2s)V_o} \\ {0} & = & {-G_2 V_a + (G_2 + C_1 s)V_o} \end{array} \nonumber \]

Розв'язування для прибутковості передавальної функції

\[\dfrac{V_o (s)}{V_i (s)} = \dfrac{1}{R_1 R_2 C_1 C_2 s^2 + (R_1 + R_2) C_1 s + 1} \nonumber \]

Це рівняння являє собою передавальну функцію другого порядку з параметрами стандартної форми

\[\omega_n = \dfrac{1}{\sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2}} \nonumber \]

і

\[\zeta = \dfrac{R_1 + R_2}{2 \sqrt{R_1R_2}} \sqrt{\dfrac{C_1}{C_2}} \nonumber \]

Оскільки для характеристики фільтра другого порядку потрібні лише дві величини, чотири ступені свободи, представлені чотирма значеннями пасивних компонентів, є надмірними. Частина цієї надмірності часто усувається шляхом вибору\(R_1 = R_2 = R\). В цьому випадку параметри стандартної форми стають

\[\omega_n = \dfrac{1}{R\sqrt{C_1 C_2}} \nonumber \]

і

\[\zeta = \sqrt{\dfrac{C_1}{C_2}} \nonumber \]

Малюнок 12.23 Активний фільтр нижніх частот третього порядку.

Додавання ще однієї секції до активного фільтру низьких частот другого порядку, як показано на малюнку 12.23, дозволяє синтезувати передавальну функцію третього порядку з одним підсилювачем. Якщо використовуються рівнозначні резистори, як показано на малюнку, передавальна функція дорівнює

\[\dfrac{V_o(s)}{V_i (s)} = \dfrac{1}{C_1 C_2 C_3 R^3 s^3 + 2(C_1 C_3 + C_2 C_3) R^2 s^2 + (C_1 + 3C_3) Rs + 1} \nonumber \]

Фільтр нижніх частот\(n\) th-го порядку часто розробляється шляхом об'єднання секцій\(n/2\) другого порядку у випадку n парних, або однієї секції третього порядку з секціями\(n/2 - 3/2\) другого порядку, коли\(n\) непарна. Таблиці (Фарук Аль-Насер, «Таблиці Швидкість проектування низьких частот активних фільтрів», EDN, 15 березня 1971 р., стор. 23-32.), що спрощують вибір значення елемента, доступні для фільтрів до десятого порядку з низкою різних моделей полюсів.

Малюнок 12.24 Активний фільтр верхніх частот другого порядку.

Взаємозамінні резистори і конденсатори, як показано на малюнку 12.24, змінює фільтр нижніх частот другого порядку на фільтр високих частот. Функція передачі для цієї конфігурації:

\[\dfrac{V_o (s)}{V_i (s)} = \dfrac{R_1 R_2 C_1 C_2 s^2}{R_1 R_2 C_1 C_2 s^2 + R_2 (C_1 + C_2) s + 1}\label{eq12.4.8} \]

Якщо в розробці, аналогічній тій, яка використовується для фільтра низьких частот, ми вибираємо\(C_1 = C_2 = C\), рівняння\(\ref{eq12.4.8}\) зводиться до

\[\dfrac{V_o (s)}{V_i (s)} = \dfrac{s^2/\omega_n^2}{(s^2/\omega_n^2) + (2\zeta s/\omega_n) + 1} \nonumber \]

де

\[\omega_n = \dfrac{1}{C\sqrt{R_1 R_2}}\nonumber \]

і

\[\zeta = \sqrt{\dfrac{R_2}{R_1}}\nonumber \]

Схема Саллена та Ключа може бути розроблена з підсилювачем, відмінним від одиниці (див. Проблема P12.8). Така модифікація дозволяє отримати більшу гнучкість, так як низько- або високочастотний коефіцієнт посилення ланцюга може бути виконаний відмінним від одного. Однак коефіцієнт загасання передавальних функцій, реалізованих таким чином, залежить від значень резисторів, які встановлюють посилення підсилювача із замкнутим контуром; таким чином полюси можуть бути дещо менш надійно розташовані. Ще однією перевагою версії Unity-gain є те, що вона може бути побудована за допомогою інтегральної схеми LM 110 (див. Розділ 10.4.4). Пропускна здатність цього підсилювача набагато перевищує пропускну здатність більшості загальнобудинкових інтегральних блоків, а кутові частоти в низькому мегагерцовому діапазоні можна отримати з його допомогою.

Загальна процедура синтезу

Конфігурація Саллена і Ключа, разом з багатьма іншими активними топологіями фільтра, дозволяє повну свободу у виборі розташування полюсів, але не дозволяє довільного розміщення нулів передавальної функції. Застосування концепцій аналого-обчислення, описаних у розділі 12.3.1, дозволяє синтезувати будь-яку реалізовану передавальну функцію, яка виражається як відношення многочленів у s, за умови, що кількість полюсів дорівнює або перевищує кількість нулів у передавальній функції.

Розглянемо функцію передачі

\[\dfrac{V_o (s)}{V_i (s)} = \dfrac{b_n s^n + b_{n - 1} s^{n - 1} + \cdots + b_1 s + b_0}{a_n s^n + a_{n - 1} s^{n - 1} + \cdots + a_1 s + a_0}\label{eq12.4.10} \]

Насамперед необхідно ввести\(V_a (s)\) таку проміжну змінну, яка\(V_a(s)/ V_i(s)\) містить тільки полюси передавальної функції, або

\[\dfrac{V_o (s)}{V_i (s)} = \dfrac{1}{a_n s^n + a_{n - 1} s^{n - 1} + \cdots + a_1 s + a_0} \nonumber \]

Проходячи таким чином точно паралельно розвитку часової області Розділу 12.3.1, пишемо

\[s^n V_a (s) = -\dfrac{a_{n - 1}}{a_n} s^{n -1} V_a (s) - \cdots - \dfrac{a_1}{a_n} s V_a (s) - \dfrac{a_0}{a_n} V_a (s) + \dfrac{V_i (s)}{a_n} \label{eq12.4.12} \]

Малюнок 12.25 Блок-схема представлення передавальної функції, яка містить лише полюси.

Блок-схема представлення Рівняння\(\ref{eq12.4.12}\) показано на малюнку 12.25. Ця блок-схема може бути легко реалізована за допомогою літніх і внутрішніх решіток. Для того, щоб завершити синтез нашої передавальної функції (Equation\(\ref{eq12.4.10}\)), ми визнаємо, що

\[V_o (s) = V_a (s) (b_n s^n + b_{n - 1} s^{n - 1} + \cdots + b_1 s + b_0)\label{eq12.4.13} \]

Суттєва особливість Рівняння\(\ref{eq12.4.13}\) полягає в тому, що він вказує\(V_o(s)\) на лінійну комбінацію\(V_a(s)\) та її перші\(n\) похідні. Оскільки всі необхідні змінні з'являються в блок-схемі, їх\(V_o (s)\) можна генерувати простим масштабуванням і підсумовуванням цих змінних, без необхідності диференціації.

Ця процедура синтезу проілюстрована для наближення до чистої затримки часу, відомої як наближений Паде. Затримка часу має функцію передачі\(e^{-s \tau}\),\(\tau\) де - довжина затримки. Величина цієї передавальної функції одна на всіх частотах, в той час як її негативний зсув фаз лінійно пропорційний частоті. Затримка часу має істотну сингулярність на початку і, отже, не може бути точно представлена у вигляді співвідношення многочленів в\(s\).

Розширення серії Тейлора\(e^{-s \tau}\) є

\[e^{-s\tau} = 1 - s \tau + \dfrac{s^2 \tau^2}{2!} - \cdots + \cdots + (-1)^m \dfrac{s^m \tau^m}{m!} + \cdots \nonumber \]

Pade наближені знайти рівну кількість полюсів і нулів так, щоб погодитися з максимально можливою кількістю членів розширення рядів Тейлора. Це наближення завжди призводить до всепрохідної мережі, яка має праві напівплощинні нулі і ліві полуплощинние полюси, розташовані симетрично щодо уявної осі. Цей тип малюнка сингулярності призводить до частотно-незалежної величини для передавальної функції.

Оскільки ми завжди можемо частоту або масштаб часу в більш пізній момент, ми вважаємо одиницю часу затримки,\(e^{-s}\) щоб спростити розробку. Пед першого порядку, наближений до цієї функції,

\[P_1 (s) = \dfrac{1 - (s/2)}{1 + (s/2)} = 1 - s + \dfrac{s^2}{2} - \dfrac{s^3}{4} + \cdots - \cdots + \nonumber \]

Розширення\(e^{-s}\) для

\[e^{-s} = 1 - s + \dfrac{s^2}{2} - \dfrac{s^3}{6} + \dfrac{s^4}{24} - \dfrac{s^5}{120} + \dfrac{s^6}{720} - \cdots + \nonumber \]

Наближення першого порядку відповідає першим двом коефіцієнтам повного розширення і є розумним узгодженням з третім коефіцієнтом.\(s\) Цей збіг - все, чого можна очікувати, так як для наближення першого порядку доступні тільки два ступені свободи (розташування полюса і розташування нуля). Pade другого порядку, наближена до затримки часу в одну секунду, дорівнює

\[P_2 (s) = \dfrac{1 - (s/2) + (s^2/12)}{1 + (s/2) + (s^2/12)} = 1 - s + \dfrac{s^2}{2} - \dfrac{s^2}{2} - \dfrac{s^3}{6} + \dfrac{s^4}{24} - \dfrac{s^5}{144} + \cdots - \cdots +\label{eq12.4.17} \]

Рисунок 12.26 Місця сингулярності для Pade другого порядку наближені до затримки часу в одну секунду.

Як і очікувалося, перші чотири коефіцієнти часової затримки\(s\) збігаються з апроксимацією. Графік\(s\) -площині для\(P_2(s)\) показаний на малюнку 12.26. Прості векторні маніпуляції підтверджують той факт, що величина цієї функції одна на всіх частотах.

Фазовий зсув апроксимуючої функції дорівнює (з Рівняння\(\ref{eq12.4.17}\))

\[\measuredangle P_2 (j \omega) = 2\measuredangle \left [1 - \dfrac{j \omega}{2} + \dfrac{(j \omega)^2}{12} \right ] = -2 \tan^{-1} \left \{\dfrac{\omega}{2[1 - (\omega^2/12)]} \right \} \nonumber \]

Малюнок 12.27 Порівняння тимчасової затримки і приблизних фазових характеристик Pad6.

Ця функція порівнюється з кутом\(-57.3^{\circ} \omega\) (значенням для часової затримки в одну секунду) на малюнку 12.27. Ми відзначаємо відмінну згоду з частотами приблизно 2 радіани в секунду, що означає, що наближення представляє фактичну функцію добре для синусоїдального збудження до цієї частоти, зі збільшенням розбіжності на більш високих частотах. Похибка відображає той факт, що максимальний негативний зсув фаз Паде наближено\(360^{\circ}\), в той час як тимчасова затримка забезпечує необмежений негативний зсув фаз на досить високій частоті.

Синтез ініціюється визначенням проміжної змінної\(V_a (s)\) відповідно до рівнянь\(\ref{eq12.4.11}\) і\(\ref{eq12.4.12}\), або

\[\dfrac{V_a(s)}{V_i (s)} = \dfrac{1}{(s^2/12) + (s/2) + 1} \nonumber \]

і

\[s^2 V_a (s) = -6s V_o (s) - 12V_a (s) + 12 V_i (s) \nonumber \]

Вихідна напруга дорівнює

\[V_o (s) = \dfrac{s^2}{12} V_a (s) - \dfrac{s}{2} V_a (s) + V_a (s) \nonumber \]

Малюнок 12.28 Синтез Pade другого порядку наближено до тимчасової затримки.

Операційно-підсилювальний синтез, показаний на малюнку 12.28, забезпечує необхідну передавальну функцію, якщо\(RC = 1\) другий. Читач повинен переконати себе в тому, що вольності, взяті з інверсіями і різними значеннями резисторів, дійсно призводять до бажаних відносин.

Передбачувані амплітуди залежать від рівня вхідного сигналу та його спектрального вмісту. Наприклад, якщо на вхід схеми застосовується крок, то величина сигналу з першого підсилювача спочатку повинна бути в 12 разів більшою, ніж амплітуда кроку, оскільки виходи інтеграторів не можуть миттєво змінюватися, щоб відняти від рівня вхідного сигналу. Зверніть увагу, однак, що функція передачі вхід-вихід ланцюга залишається незмінною для будь-яких значень\(R_1 = R_2\). Якщо, наприклад, на вході очікуються зміни кроку 10-В, вибір\(R_1 = R_2 = 120\ k\Omega\) обмежить рівень сигналу на виході першого підсилювача до 10 вольт при збереженні правильного посилення вхід-вихід.

Малюнок 12.29 Вхідні та вихідні сигнали для Pade другого порядку наближені до затримки часу 1 мс. (\(a\)) Синусоїдальне збудження. (\(b\)) Трикутно-хвильове збудження. (\(c\)) Квадратно-хвильове збудження.

Схема, показана на малюнку 12.28, була побудована з використанням\(R = 100\ k\Omega\) і\(C = 0.01\ \mu F\), значення, що призвело до наближення до 1-мс тимчасової затримки. Такий вибір шкали часу зручний для презентації осцилографа. Вхідний і вихідний сигнали для 100-Гц синусоїдального збудження показані на малюнку 12.29\(a\). Час затримки між цими двома сигналами становить 1 мс до допусків приладів. Ця продуктивність відображає прогноз малюнка 12.27, оскільки для наближення до затримки 1 мс передбачається хороша згода до 2000 рад/сек або 300 Гц.

Вхідний і вихідний сигнали для 100-Гц трикутно-хвильового збудження com pared на малюнку 12.29\(b\). Трикутна хвиля містить лише непарні гармоніки, і ці гармоніки відвалюються як квадрат їх частоти. Таким чином, амплітуда третьої гармоніки трикутної хвилі становить приблизно 11% від амплітуди фундаментальної, амплітуда п'ятої гармоніки становить 4% від фундаментальної, тоді як вищі гармоніки додатково розглядаються. Ми помічаємо, що схема робить дуже добре в наближенні 1-мс затримки часу більшу частину часу. Аберація, яка виникає відразу після зміни нахилу, відображає нездатність схеми забезпечити належний зсув фаз до більш високочастотних компонентів.

Продуктивність схеми при порушенні 100-Гц квадратною хвилею показана на малюнку 12.29\(c\). Порівняно бідніша поведінка поблизу переходу в цьому випадку є результатом більш високого гармонічного вмісту квадратної хвилі. (Нагадаємо, що квадратна хвиля містить непарні гармоніки, які відпадають лише як перша потужність частоти.)