12.3: АНАЛОГОВІ ОБЧИСЛЕННЯ

У главі 1 було згадано, що операційні підсилювачі спочатку використовувалися в основному для аналогових обчислень. Мета в аналогових обчисленнях полягає в побудові електричної мережі, використовуючи операційні підсилювачі і

Потенціометри також включені, і ці пристрої поєднуються з підсилювачами з фіксованим коефіцієнтом посилення для забезпечення довільних рівнів посилення. Таким чином, коефіцієнт посилення -3,12 може бути реалізований шляхом попереднього посилення підсилювача - 10 з потенціометром, встановленим для ослаблення 0.312. Часто включаються нелінійні елементи, такі як генератори функцій та множники. Входи і виходи різних елементів зазвичай підключаються до гнізд якогось типу. Потім з'єднувальні з'єднання, необхідні для імітації певної системи, виконуються за допомогою патч-кордів, які з'єднують різні гнізда. У багатьох випадках програмування (вставка патчкордів для встановлення належного шаблону підключення) виконується на платі, фізично видаленій з комп'ютера, тоді як інші користувачі, зі своїми власними платами, вирішують свої проблеми. Дошка робить необхідні з'єднання, коли вставляється в сполучну пластину, розташовану на верстаті.

Хоча точність рішень, отриманих за допомогою аналогових обчислень, обмежена допусками компонентів, вона, як правило, значно перевищує точність, необхідну для моделювання фізичних систем, які самі побудовані з неточними компонентами. Подальший розгляд полягає в тому, що часто можна отримати гарне фізичне відчуття для системи за допомогою аналогових обчислень, оскільки багато змінних доступні для спостереження, і оскільки ефекти варіацій параметрів можуть бути швидко досліджені.

Наше лікування тут може охоплювати лише найосновніші речі та виділити кілька допоміжних схем, які були розроблені для аналогових обчислень. Читач, зацікавлений в детальному лікуванні цієї захоплюючої і потужної методики, посилається на Корн і Корн. (Г.А.Корн і Т.М. Корн, Електронні аналогові та гібридні комп'ютери, 2-е видання, Макгроу-Хілл, Нью-Йорк, 1972.)

Підхід

Наша мета тут - показати, як електронно-аналогові методи використовуються для моделювання диференціальних рівнянь, які описують системи, що вивчаються. Спочатку припустимо, що досліджуване диференціальне рівняння є лінійним і має загальний вигляд.

\[a_n \dfrac{d^n x}{dt^n} + a_{n - 1} \dfrac{d^{n - 1} x}{dt^{n - 1}} + \cdots + a_1 \dfrac{dx}{dt} + a_0 x = f(t) \label{eq12.3.1} \]

Звичайно, не обов'язково, щоб незалежна змінна досліджуваної системи була часом, як це передбачено рівнянням\(\ref{eq12.3.1}\). Наприклад, якби ми досліджували відхилення моста під статичним навантаженням, ми могли б бути зацікавлені у вертикальних зміщеннях від рівноваги як функція відстані від одного кінця моста. Однак, оскільки наш аналог буде використовувати час як незалежну змінну, ми підставляємо час для незалежної змінної, якщо це необхідно, у вихідне рівняння. Аналогічно, ми розуміємо, що будь-які залежні змінні в нашому аналозі повинні бути напругою, незалежно від змінних, які вони насправді представляють у досліджуваній системі.

Рівняння\(\ref{eq12.3.1}\) переписується так, що найвища похідна\(x\) виражається через інші змінні у вигляді

\[\dfrac{d^n x}{dt^n} = -\dfrac{a_{n - 1}}{a_n} \dfrac{d^{n - 1} x}{dt^{n - 1}} - \cdots - \dfrac{a_1}{a_n} \dfrac{dx}{dt} - \dfrac{a_0 x}{a_n} + \dfrac{1}{a_n} f(t) \label{eq12.3.2} \]

Малюнок 12.12 Блок-схема Eqn\(\ref{eq12.3.2}\)

Рівняння\(\ref{eq12.3.2}\) можна представити у вигляді блок-схеми, показаної на малюнку 12.12. У цьому поданні змінна\(d^n x/dt^n\) з'являється як висновок точки підсумовування. Входами до точки підсумовування є масштабовані кратні функції рушійної функції та похідні нижчого порядку\(x\). Похідні нижчого порядку отримують шляхом послідовних інтеграцій\(d^nx/dt^n\), із загальною кількістю\(n\) інтеграцій, необхідних для завершення блок-схеми.

Зверніть увагу, що єдиними елементами, включеними в блок-схему, є точка підсумовування з кількома входами, інвертори, які передують деяким входам влітку, блоки посилення та інтегратори. Оскільки кожен з цих елементів може бути легко сконструйований з використанням операційних підсилювачів і пасивних компонентів, то блок-схема може бути реалізована за допомогою цих пристроїв. Коли аналогова реалізація збуджується з напругою, рівним\(f(t)\), в якості виходів інтеграторів будуть доступні напруги, рівні за значенням,\(x\) і його похідні.

Як приклад цього процесу розглянемо диференціальне рівняння

\[\dfrac{d^4 x}{dt^4} + 2.61 \dfrac{d^3 x}{dt^3} + 3.42 \dfrac{d^2 x}{dt^2} + 2.61 \dfrac{dx}{dt} + x = f(t) \nonumber \]

(Ми нагадуємо з розділу 3.3.2, що це рівняння являє собою фільтр Баттерворта четвертого порядку.) Рішення для\(d^4 x/dt^4\) врожайності

\[\dfrac{d^4 x}{dt^4} = - 2.61 \dfrac{d^3 x}{dt^3} - 3.42 \dfrac{d^2 x}{dt^2} - 2.61 \dfrac{dx}{dt} - x + f(t) \nonumber \]

Малюнок 12.13 Моделювання рівняння Баттерворта четвертого порядку.

Одне з можливих моделювань цього рівняння показано на малюнку 12.13. Напруги, очікувані на виході різних підсилювачів, вказуються шляхом запису значення змінної, яку представляє напруга на відповідних вузлах. Зверніть увагу, що на відміну від традиційних аналого-комп'ютерних методів, посилення встановлюються шляхом вибору імпедансів (Відносні рівні імпедансу, показані на малюнку 12.13, високі, якщо використовуються операційні підсилювачі загального призначення, такі як LM101A. Оскільки для встановлення передавальної функції важливі лише коефіцієнти, всі рівні імпедансу можуть бути масштабовані, щоб зменшити помилки, що виникають внаслідок вхідних струмів підсилювача.), що використовуються навколо операційних підсилювачів, а не поєднуючи потенціометри з підсилювачами та інтеграторами з фіксованим коефіцієнтом посилення. Також були об'єднані функції для того, щоб зменшити кількість необхідних підсилювачів. Використання лише інвертуючих з'єднань є традиційним для аналогових обчислень і відображає той факт, що техніка проектування операційного підсилювача, яка часто використовується для підвищення продуктивності d-c, призводить до підсилювача, який можна використовувати лише в інвертуючих з'єднаннях. (Див. Розділ 12.3.3.) Звичайно, може бути можливим використання неінвертуючих інтеграторів або підсумовуючих підсилювачів (реалізованих з резистивним сумуванням на вході до неінверторно-підсилювального з'єднання), якщо для цього моделювання використовуються операційні підсилювачі загального призначення.

Чотири інтегратори з'являються уздовж верхньої частини діаграми. Оскільки передбачається, що немає необхідності мати\(d^4 x/dt^4\) наявне напруга, операція підсумовування включається при першому підключенні інтегратора. Вихід цього інтегратора -\(- (d^3x/dt^3)\) коли вказаний струм дорівнює\((10^{-6}\ A) d^4x/dt^4\). Оскільки використовуються інвертуючі інтегратори, ознаки, пов'язані з послідовними похідними, чергуються. Масштабування та інверсії, необхідні коефіцієнтами\(x\) та його другою похідною, отримані з нижнім підсилювачем.

Кількість підсилювачів, необхідних на малюнку 12.13, вказує на загальне правило. Якщо ця топологія використовується, моделювання лінійного диференціального рівняння\(n\) порядку вимагає\(n\) інтеграторів та одного підсилювача, який інвертує відповідні сигнали, якщо це необхідно для завершення шляхів зворотного зв'язку.

Аналого-обчислювальні методи також можуть бути використані для вирішення різноманітних нелінійних диференціальних рівнянь шляхом включення апаратного забезпечення, яке реалізує нелінійність в моделюванні. Як приклад розглянемо диференціальне рівняння Ван дер Поля

\[\dfrac{d^2 x}{dt^2} + \mu (x^2 - 1) \dfrac{dx}{dt} + x = 0\label{eq12.3.5} \]

де\(\mu\) позитивна константа.

Для малих значень\(x\) коефіцієнт першого члена похідної від'ємний, і виникають коливання зі збільшенням амплітуди. Коли амплітуда коливання стає досить великою, коефіцієнт першої похідної буде позитивним протягом частини циклу, і може призвести граничний цикл. \(\ref{eq12.3.5}\)Рівняння переписується в зручну для моделювання форму, як

\[\dfrac{d^2 x}{dt^2} = -\mu x^2 \dfrac{dx}{dt} + \mu \dfrac{dx}{dt} - x\label{eq12.3.6} \]

Малюнок 12.14 Моделювання рівняння Ван дер Поля.

Множники необхідні для генерації\(x^2\) та формування\(x^2 (dx/dt)\) добутку, необхідного для моделювання Рівняння\(\ref{eq12.3.6}\). Дві методи аналогового множення були описані в розділах 11.5.5 і 12.2.2. Практичні мульти плоскогубці, засновані на цих методах, часто призначені для того, щоб мати вихідну напругу, рівну добутку двох вхідних напруг, розділених на 10 вольт для сумісності з динамічним діапазоном більшості твердотільних операційних підсилювачів. На малюнку 12.14 показано можливе моделювання рівняння,\(\ref{eq12.3.6}\) припускаючи, що використовуються множники з цим масштабним коефіцієнтом.

Рівняння Ван дер Поля є прикладом некерованого диференціального рівняння, а збудження здійснюється лише за початковими умовами. Хоча початкові умови не були згадані в нашому попередньому обговоренні моделювання лінійних диференціальних рівнянь, ми визнаємо, що ми повинні вказати\(n\) початкові умови для визначення повного (однорідного плюс керованого) розв'язку диференціального рівняння\(n\) th-го порядку. Ці початкові умови можна встановити просто встановивши напруги на інтегруючих конденсаторах в часі\(t = 0\), так як ці напруги пропорційні значенням\(x\) і першим його\(n - 1\) похідним. Схема установки початкових умов описана в розділі 12.3.3.

Малюнок 12.15 Рішення до\(d^2 x/dt^2 + 0.25 (x^2 - 1) (dx/dt) + x = 0\). (\(a\)) З початковими умовами\(x(0) = 0.5, (dx /dt)(0) = 0\). (\(b\)) З початковими умовами\(x(0) = 3, (dx /dt)(0) = 0\), (\(c\)) Частини\(a\) і\(b\) повторюються у фазово-площинній формі.

Значення\(x\) як функції часу для рівняння Ван дер Поля з\(\mu = 0.25\) показано на малюнку 12.15. Початкові умови, що використовуються для деталей\(a\) і\(b\) цієї цифри, є\(x(0) = 0.5, (dx/dt)(0) = 0\) і\(x(0) = 3, (dx/dt)(0) = 0\), відповідно. Ми бачимо, що в обох випадках амплітуда граничного циклу сходиться до пікового значення приблизно 4. Частина\(c\) цієї цифри - це сюжет\(dx/dt\) проти\(x(t)\). Це уявлення, в якому час є параметром уздовж кривої, називається графіком фазової площини. Включено відповіді для обох значень початкових умов. На цьому малюнку видно збіжність до рівноамплітудних граничних циклів для обох множин початкових умов.

Формальна процедура, описана тут, безумовно, не єдина, яка призводить до правильного аналогового подання проблеми. Хоча це призводить до компактної реалізації, інші реалізації можуть підтримувати кращу відповідність фізичній системі, яка моделюється. Один популярний альтернативний метод включає в себе просто складання блок-схеми для досліджуваної системи, а потім реалізацію блок-схеми на блоковій основі, не записуючи повне диференціальне рівняння системи. Хоча цей підхід часто вимагає більше апаратного забезпечення для завершення моделювання, це зручно тим, що напруги, пропорційні фактичним змінним, що цікавлять досліджувану проблему, доступні. Крім того, за допомогою цієї альтернативи можна пов'язати масштабні фактори з параметрами фізичних елементів у модельованих системах на основі один до одного.

Масштабування амплітуди та часу

Практичні міркування обмежують амплітудний і частотний діапазон сигналів, що виникають при аналогових обчисленнях. Зазвичай ми віддаємо перевагу максимальним рівням сигналу, які комфортно нижче рівня насичення підсилювача, але значно вище шуму та невизначеності зміщення. Аналогічно, дуже низькочастотні сигнали важко інтегрувати точно, тоді як обмежений коефіцієнт посилення операційного підсилювача на високих частотах компрометує точність у цьому діапазоні частот. Масштабування амплітуди і масштабування часу використовуються для стандартизації сигналів до зручних рівнів амплітуди і спектрального вмісту.

Масштабування амплітуди передбачає трохи більше, ніж деякі додаткові бухгалтерські зусилля. Оскільки ми використовуємо напруги для всіх залежних змінних у нашому моделюванні, повинен бути розмірний масштабний коефіцієнт, який пов'язує змінні машини з проблемними змінними, коли проблемні змінні є величинами, відмінними від напруг. Наприклад, якщо\(x\) це зміщення в метрах, а деяка напруга в моделюванні представляє цю змінну на 1 метр = 1 вольт основі, машинна змінна дійсно повинна бути позначена (1 вольт/метр),\(x\) а не просто,\(x\) як це часто робиться. Ми повинні розуміти, що число, пов'язане з масштабним коефіцієнтом, може бути легко вибрано як інше, ніж одиниця. Таким чином, ми можемо використовувати\(10x\) як мітку для деякої напруги, або, бажано (10 вольт/метр)\(x\). Якби ця напруга становила 7 вольт, відповідне зміщення було б\(x\) = (7 вольт) (1 метр/10 вольт) = 0,7 метра. Відповідні значення для масштабних коефіцієнтів можна визначити тільки при знанні приблизних проблемно-змінних рівнів, так як відповідні машинні змінні повинні мати пікові значення трохи нижче рівня насичення. Після вибору масштабних коефіцієнтів вони реалізуються шляхом зміни коефіцієнтів посилення підсилювачів та інтеграторів від їх спочатку вибраних значень.

Масштабування часу має переваги, ніж ті, що центрують сигнально-частотні компоненти в діапазоні оптимальної продуктивності операційного підсилювача. Розглянемо, наприклад, моделювання проблеми руху планет, для завершення якої можуть знадобитися роки «реального часу». Використання більш швидкої шкали «машинного часу» дозволяє нам отримати рішення в більш розумний проміжок часу. Аналогічно, використання більш повільної, ніж в реальному часі процедури масштабування дозволяє відображати накопичення заряду в базовій області транзистора зі швидкістю, зручною для перегляду на осцилографі дисплея.

Техніка, яка використовується для масштабування часу, передбачає підміну.

\[t = \sigma \tau \label{eq12.3.7} \]

де\(\tau\) - машинний час і дорівнює реальному часу, поділеному на масштабний коефіцієнт\(\sigma\). Значення a-більше одиниці означає, що машинне рішення швидше, ніж фактичне рішення, так що одна секунда реального часу представлена коротшим періодом\(\tau\) машинного часу.

Цей процес ілюструється за допомогою форми диференціального рівняння, наведеного в Рівнянні\(\ref{eq12.3.1}\) і повторюється тут для зручності.

\[a_n \dfrac{d^n x}{dt^n} + a_{n - 1} \dfrac{d^{n - 1} x}{dt^{n - 1}} + \cdots + a_1 \dfrac{dx}{dt} + a_0 x = f(t) \nonumber \]

Для того, щоб застосувати підстановку Equation\(\ref{eq12.3.7}\), ми змінюємо\(f(t)\) на\(f(\sigma \tau)\) і змінюємо\(d^m x/dt^m\) на\((1/\sigma^m)(d^m x/d\tau^m)\). Таким чином, масштабована за часом версія\(\ref{eq12.3.1}\) Equation

\[\dfrac{a_n}{\sigma^n} \dfrac{d^n x}{d\tau^n} + \dfrac{a_{n-1}}{\sigma^{n - 1}} \dfrac{d^{n - 1} x}{d\tau^{n - 1}} + \cdots + \dfrac{a_1}{\sigma} \dfrac{dx}{d\tau} + a_0 x = f(\sigma \tau) \nonumber \]

Рівняння при моделюванні матиме рішення, ідентичне за формою рівняння\(\ref{eq12.3.1}\), але працюватиме на коефіцієнт а-швидше, ніж початкове рівняння.

Другим способом реалізації масштабування часу є усвідомлення того, що динаміка моделювання реалізується за допомогою інтеграцій, і що зміна масштабного коефіцієнта кожного інтегратора в моделюванні деяким фактором повинна змінювати часову шкалу моделювання точно на той же фактор. Таким чином, проблеми можуть бути масштабовані часом, спочатку моделюючи задачу для вирішення в реальному часі, а потім діливши значення кожного конденсатора на коефіцієнт\(\sigma\). Крім того, кожен резистор, який використовується для реалізації всіх інтеграторів, може бути зменшений у значенні на коефіцієнт\(\sigma\), або зміна масштабу коефіцієнта може бути розподілена між резисторами та конденсаторами. Кінцевим результатом будь-якої з цих модифікацій буде змусити проблему на машині працювати в рази\(\sigma\) швидше, ніж рішення в реальному часі. Зрозуміло, ще необхідно збільшити швидкість руху функцій, що застосовуються до системи, в рази,\(\sigma\) якщо ці сигнали походять від джерел, які не реалізовані за допомогою масштабованих інтеграторів.

Коефіцієнти вихідного диференціального рівняння часто можуть бути використані для визначення шкали часу, відповідної конкретній задачі. Якщо коріння характеристичного рівняння мають приблизно рівні величини, то власні частоти неведеного розв'язку будуть порядком

\[\omega = \left (\dfrac{a_0}{a_n} \right )^{1/n}\label{eq12.3.9} \]

І навпаки, якщо в системі переважає один полюс, характерна частота - це порядок

\[\omega = \dfrac{a_0}{a_1}\label{eq12.3.10} \]

Характерні частоти, що задаються рівнянням\(\ref{eq12.3.9}\) або\(\ref{eq12.3.10}\) можуть бути змінені на значення, зручні для відображення та сумісні з продуктивністю операційного підсилювача шляхом відповідного вибору\(\sigma\).

Значення елементів, які виникають у моделюванні проблеми, часто дають чіткі вказівки на необхідність зміни амплітудних або часових шкал. Якщо, наприклад, ми виявимо, що високий коефіцієнт посилення необхідний на вході кожного підсилювача, який постачається з певним сигналом, коефіцієнт масштабування цього сигналу, ймовірно, занадто малий щодо інших використовуваних факторів амплітудної шкали. Аналогічно, якщо один вхідний резистор до підсумовуючого підсилювача або інтегратора набагато більше, ніж всі інші вхідні резистори, пов'язані з підсилювачем, мається на увазі, що термін, застосований до вхідного сигналу, про який йде мова, мало сприяє виходу літа або інтегратора. У разі вибору часової шкали невідповідний вибір зазвичай відображається необгрунтованими значеннями резисторів, значеннями конденсаторів або обома пов'язаними з інтеграторами.

Рівняння Ван дер Поля, змодельоване раніше (Eqn\(\ref{eq12.3.5}\)), використовується як простий приклад масштабування часу та амплітуди. Для діапазону початкових умов, використовуваних раніше і з\(\mu = 0.25\), максимальні величини\(x\) і\(dx/dt\) складають приблизно 3 і\(3\text{ sec}^{-1}\), відповідно, при цьому максимальна\(d^2 x/dt^2\) величина трохи більше\(3\text{ sec}^{-2}\). Відповідно, якщо приймаються 10-вольтові максимальні виходи підсилювача, коефіцієнти масштабування 3 вольт на одиницю для\(x\) і\(dx/dt\), в поєднанні з коефіцієнтом масштабування 2 вольта на одиницю для\(d^2x/dt^2\) є розумними. Якщо\(\ref{eq12.3.6}\) рівняння переписати з використанням цих масштабних коефіцієнтів, отримаємо

\[2 \dfrac{d^2 x}{dt^2} = -\dfrac{2}{27} \mu (3x)^2 \left (3 \dfrac{dx}{dt} \right ) + \dfrac{2}{3} \mu \left (3 \dfrac{dx}{dt} \right ) - \dfrac{2}{3} (3x) \label{eq12.3.11} \]

Малюнок 12.16 Масштабоване моделювання рівняння Ван дер Поля.

Діаграма моделювання, знову ж таки припускаючи, що використовуються множники з виходами, рівним добутку входів, поділених на 10, показана на малюнку 12.16. Також передбачалося, що при формуванні цієї діаграми потрібно напруга\(d^2x/dt^2\), пропорційна. Зверніть увагу, що вхідні сигнали, що подаються до першого підсилювача, є негативами правої сторони Рівняння\(\ref{eq12.3.11}\) через інверсію, пов'язану з цим підсилювачем. Передавальна функція першого інтегратора полягає в\(-(3/2s)\) тому, що він забезпечує вихід\(-3(dx/dt)\) при русі з\(2(d^2x/dt^2)\). Альтернативне масштабування може бути advan tageous, якщо різні значення\(\mu\) використовуються для збереження максимальних величин напруг, пропорційних\(dx/dt\) і\(d^2 x/dt^2\) на оптимальних рівнях.

Якщо використовується значення\(RC = 1\) секунди, рішення буде працювати в режимі реального часу, а частота коливань становитиме близько одного радіана в секунду. Зміна цього продукту дозволить вчасно масштабувати рішення. Наприклад, використання\(RC = 1\) мс призводить до коливань граничного циклу приблизно на 1000 радіанів в секунду.

допоміжні схеми

Існує кілька цікавих конфігурацій схем, які часто використовуються в аналогових обчисленнях і які також можуть бути використані в інших більш загальних додатках.

Однією з таких топологій є трирежимний інтегратор. Ми побачили, що необхідно застосовувати початкові умови до інтеграторів, щоб отримати повні (однорідні плюс керовані) розв'язки для модельованих диференціальних рівнянь. Інший корисний режим обчислень призводить, якщо всі інтегратори одночасно переключаються в стан, коли їх виходи стають часом у варіанті і таким чином утримують значення, які були присутні в момент перемикання. Значення проблемних змінних під час перемикання можуть бути відляковані точно за допомогою цифрового вольтметра.

Малюнок 12.17 Трирежимний інтегратор.

Трирежимний інтегратор, показаний на малюнку 12.17, дозволяє застосовувати початкові умови і дозволяє утримувати вихідну напругу на додаток до функціонування в якості інтегратора. Режими скидання (або початкового стану), роботи та утримання вибираються відповідним вибором положень перемикача. З вимикачем ① відкритим і вимикачем ② закритим, функція передачі підсилювача із замкнутим контуром є

\[\dfrac{V_o (s)}{V_a (s)} = -\dfrac{1}{R_2 Cs + 1} \nonumber \]

Якщо\(v_A\) час інваріантний в цьому режимі, конденсатор буде заряджатися так, що вихідна напруга в кінцевому підсумку стає негативним\(v_A\). Напруга конденсатора потім може забезпечити початкові умови для подальших операцій.

Якщо вимикач ① закритий, а перемикач ② відкритий, підсилювач інтегрується\(v_B\) звичайним чином.

При відкритих обох вимикачах струм конденсатора обмежується вхідним струмом операційного підсилювача та самовитоком конденсатора; таким чином, напруга конденсатора в ідеалі інваріантна в часі.

Малюнок 12.18 Схема для трирежимного інтегратора.

Необхідний час скидання з'єднання, показаний на малюнку 12.17, може бути досить тривалим, якщо для маркованих резисторів використовуються розумні значення\(R_2\). Використання другого операційного підсилювача, підключеного як послідовника напруги та живлення низького опору приводу для інвертуючого входу інтегратора, може істотно скоротити час скидання. Практична трирежимна інтеграторна схема, яка включає в себе цю функцію, показана на малюнку 12.18.

Драйвери біполярних транзисторів сумісні з\(T^2 L\) логічними сигналами і приводять потенціал затвора польових транзисторних перемикачів на землю на входах, які перевищують дві прямих напруги діода. При високому рівні для сигналу «працювати» і сигналу «скидання» на землі,\(Q_1\) включений і\(Q_2\) вимкнений. Ця комбінація переводить ланцюг в нормальний режим інтеграції. FET\(Q_1\) має стік-джерело на опорі приблизно 25 Ом, і це значення компенсується зменшенням розміру інтеграційного резистора на

відповідна сума. Діод\(D_1\) не проводить значний струм в такому стані. Діоди\(D_2\) і\(D_3\) тримати вихід послідовника в межах приблизно 0,6 вольт землі. Однією з переваг цього затиску є те, що джерело\(Q_2\) не може стати досить негативним, щоб ініціювати провідність своїм затвором на - 15 вольт, так як максимальна напруга відключення 2N4391 становить 10 вольт. Затискання вхідного рівня послідовника також зберігає рівні сигналу поблизу очікуваних під час скидання, таким чином уникаючи тривалих періодів повороту при перемиканні ланцюга для застосування початкових умов.

\(Q_1\)При затворі в - 15 вольт (що відповідає низькому рівню на «працюють» лінії управління) діод\(D_1\) запобігає потенціали джерела, які б ініціювали провідність транзистора\(Q_1\). Якщо\(Q_2\) увімкнено, вихідна напруга рухається до негативного рівня вхідного сигналу початкового стану. Деталі перехідного процесу при великій похибці залежать від характеристик діода, транзистора та підсилювача. У міру того, як сигнал помилки стає менше, шлейф скидання потрапляє в свою лінійну робочу область. Читач повинен переконати себе, що лінійна область передачі петлі скидання (припускаючи ідеальні операційні підсилювачі) є\(-1/2r_{ds} Cs\)\(r_{ds}\), де, є інкрементним стік-джерело на опорі FET. Таким чином, низький опір FET, а не\(R_2\), визначає динаміку лінійної області.

Режим утримання призводить як «працювати», так і «скидання» сигналів на землі, так що обидва FET вимкнені. У цьому стані струм, що подається на конденсатор, визначається витоком FET і вхідним струмом підсилювача.

Одним із застосувань для цього типу схеми на додаток до його використання в аналогових обчисленнях є схема вибірки та утримання. У цьому випадку спрацьовує вимикач не потрібен, і ланцюг переключається від вибірки негативу вхідної напруги утримувати з\(Q_2\).

Малюнок 12.19 Квадратурний генератор з обмеженням.

Синусоїдальні сигнали часто використовуються як тестові входи в аналого-комп'ютерних моделюваннях. Квадратурний генератор, який включає обмеження і який легко збирається за допомогою компонентів, доступних на більшості аналогових комп'ютерів, показаний на малюнку 12.19. Діаграма має на увазі змодельоване диференціальне рівняння, до обмеження,

\[-R^2 C^2 \dfrac{d^2 v_O}{dt^2} = -\dfrac{RC}{K} \dfrac{dv_O}{dt} + v_O \nonumber \]

Ми визнаємо це рівняння як лінійне диференціальне рівняння другого порядку з\(\omega_n = 1/RC\) і\(\zeta = - 1/2K\). Значення\(K\) вибирається досить малим, щоб гарантувати коливання з очікуваними втратами конденсатора та недосконалостями підсилювача, таким чином гарантуючи, що амплітуди сигналу будуть визначатися насамперед показаними діодно-резисторними мережами.

Точно відоме посилання на напругу потрібно у багатьох моделюваннях для застосування постійних вхідних сигналів, забезпечення напруги початкового стану, функції. Як рівень зміщення для нелінійностей або для інших цілей. Посилання на напругу також регулярно використовуються в безлічі додатків, не пов'язаних з аналоговим моделюванням.

Малюнок 12.20 Посилання напруги.

Схема, показана на малюнку 12.20, є простою, але дуже стабільною напругою. Операційний підсилювач підключений для неінвертирующего коефіцієнта посилення трохи більше 1,5, так що вихід 10 вольт призводить до 6,4 вольт, застосованих до входу неінвертуючого підсилювача.

З топологією, як показано, напруга на резисторі, підключеному від виходу підсилювача до його неінвертуючого входу, обмежена підсилювачем із замкнутим контуром коефіцієнта посилення 0,562,\(V_Z\) де\(V_Z\) пряма напруга стабілітрона. Струм через цей резистор - це струм зміщення, що подається на стабілітрон. Зенер-діодний струм таким чином встановлюється стабільним значенням самого стабілітрону. Вихідний опір стабілітрона не погіршує регулювання напруги, так як діод працює при постійному струмі в цьому зв'язку. Фільтр, наступний за стабілітроном, допомагає послабити шумові коливання його вихідної напруги.

Послідовник емітера включений всередину петлі операційного підсилювача для збільшення потужності вихідного струму (схема обмеження струму, як обговорюється в розділі 8.4, часто є доцільною запобіжною стороною) та зниження вихідного опору, особливо на більш високих частотах. Хоча низькочастотний вихідний опір схеми був би невеликим навіть без послідовника через зворотний зв'язок, цей імпеданс збільшився б до вихідного імпедансу підсилювача з відкритим контуром на частотах вище кросовера. Послідовник випромінювача зменшує вихідний опір відкритого контуру для підвищення продуктивності, коли очікуються імпульсні або високочастотні зміни струму навантаження. Шунтуючий конденсатор на виході також може використовуватися для зниження високочастотного вихідного опору. (Див. Розділ 5.2.2.)

Завантаження, що використовується для збудження стабілітрону, звичайно, є формою позитивного зворотного зв'язку і погіршить продуктивність, якщо величина цього зворотного зв'язку наблизилася до єдності. Низькочастотна передача петлі позитивного зворотного зв'язку

\[L = 1.562 \dfrac{r_d}{R + r_d} \label{eq12.3.14} \]

де\(r_d\) - поступовий опір стабілітрона. Цей вираз оцінюється за допомогою параметрів для 1N829A, стабілітрону з температурною компенсацією. Діод розрахований на робочий струм\(7.5\ mA\), і при цьому\(R\) буде приблизно 500\(\Omega\). Інкрементне опір діода задається як максимум 10\(\Omega\). Таким чином, передача петлі становить, від Рівняння\(\ref{eq12.3.14}\), 0.03. Це невелика кількість позитивних відгуків істотно не впливає на продуктивність.

Позитивний зворотний зв'язок може призвести до того, що схема працює з діодом в прямому провідному стані, а не нормальному режимі зворотного пробою. Цей стан, яке призводить до негативного виходу приблизно в один вольт, можна усунути за допомогою показаного пускового діода. Пусковий діод страхує, що стабілітрон примусовий в свою зворотну область, але не сприяє стабілітрону в нормальних умовах роботи.

Очікувані недоліки операційного підсилювача мають відносно невеликий вплив на загальну продуктивність еталонної схеми. Значення 30 000 для коефіцієнта відхилення напруги живлення (типове для підсилювачів інтегральної схеми) спричиняє зміну вихідної напруги приблизно 50 АВ на вольт зміни живлення. (Ця\(33\ \mu V/V\) чутливість посилюється коефіцієнтом посилення із замкнутим контуром 1,5.) Типовим дрейфом вхідної напруги для багатьох недорогих операційних підсилювачів є порядок\(5\ \mu V\) на градус Цельсія. Цей показник не є значним порівняно з температурним коефіцієнтом 5 частин на мільйон на градус Цельсія або\(32\ \mu V\) приблизно на градус Цельсія високоякісного стабілітрона, такого як 1N829A.

Дизайнери великих аналогових комп'ютерів, які еволюціонували в період з початку 1950-х до середини 1960-х років, часто присвячували майже фанатично

зусилля для досягнення високої статичної точності в їх обчислювальних елементах. З цією метою операційні підсилювачі були оточені високоточними дротяними резисторами і конденсаторами, які можна було точно обрізати до потрібних значень. Ці пасивні компоненти часто поміщалися в стійкі до температури печі, щоб усунути зміни температури навколишнього середовища.

Низькочастотні похибки (зокрема зміщення вхідної напруги), характерні для вакуумних лампових операційних підсилювачів, були значною мірою усунені за допомогою образної техніки, відомої як стабілізація подрібнювача. (Е.А. Голдберг, «Стабілізація широкодіапазонних підсилювачів постійного струму для нуля та посилення», Огляд RCA, Vol. II, № 2, червень 1950 р., с. 296-300.) Цей метод

все ще включений в деякі сучасні конструкції операційних підсилювачів, і він забезпечує спосіб зменшення дрейфу напруги та вхідного струму підсилювача до зникаючих малих рівнів. Звичайну реалізацію цієї техніки можна розглядати як крайній приклад feedforward (див. Розділ 8.2.2) і таким чином призводить до підсилювача, який можна використовувати лише в інвертуючих з'єднаннях.

Малюнок 12.21 Подрібнювач стабілізований підсилювач.

Малюнок 12.21 ілюструє поняття. Припустимо, що необов'язкова мережа усунена так, що стик\(Z_f\) і\(Z_i\) підключається безпосередньо до інвертирующего входу верхнього підсилювача. Отримане з'єднання чітко функціонує як інвертуючий підсилювач, якщо напруга\(v_C\) дорівнює нулю. Зверніть увагу, що однією необхідною умовою для посилення підсилювача із замкнутим контуром дорівнювало його ідеальному значенню, що\(v_A = 0\). Мета стабілізації подрібнювача полягає в тому,\(v_A\) щоб зменшити майже до нуля шляхом застосування відповідного сигналу на неінвертуючий вхід верхнього підсилювача.

d-c складову напруги\(v_A\) визначають за допомогою фільтра низьких частот, і цей компонент (\(v_B\)) «рубають» (перетворюють в квадратну хвилю з амплітудою пік-пік\(v_B\)) за допомогою періодично керованого перемикача. (Ранні конструкції використовували віброгерконові механічні вимикачі, тоді як більш сучасні агрегати часто використовують періодично підсвічуються фоторезистори або польові транзистори в якості перемикача.) Нарізаний сигнал a-c може бути посилений без зміщення підсилювачем a-c і демодульований для отримання сигналу,\(v_C\) пропорційного\(v_B\). Якщо коефіцієнт посилення підсилювача a-c високий, коефіцієнт посилення низької частоти\(v_C/v_A = a_{02}\) буде високим. Якщо\(a_{02}\) негативний, сигнал, що подається на позитивний вхід посилення верхнього підсилювача, буде правильної полярності, щоб\(v_A\) рухатися до нуля. Довільно малі d-c компоненти теоретично\(v_A\) можуть бути отримані, маючи досить високу величину для\(a_{02}\), хоча на практиці досяжні зміщення обмежені такими похибками, як термічно індуковані напруги в самому комутаторі. Фільтр низьких частот необхідний для запобігання помилок відбору проб, які виникають, якщо на подрібнювач подаються сигнали, що перевищують половину частоти подрібнення.

Альтернативний спосіб перегляду роботи підсилювача, стабілізованого подрібнювачем, полягає в тому, щоб помітити, що високочастотні сигнали проходять безпосередньо через верхній підсилювач, тоді як компоненти нижче частоти зрізу фільтра низьких частот посилюються як нижнім підсилювачем, так і верхнім підсилювачем в каскаді. (Цікаво спостерігати, що низькочастотні величини посилення розімкнутого контуру понад 10 були досягнуті таким чином.) Тому не потрібно застосовувати низькочастотні сигнали безпосередньо до верхнього підсилювача, а фільтр високих частот (показаний як додаткова мережа) може бути включений послідовно з інвертуючим входом верхнього підсилювача. В результаті, як зміщення напруги, так і вхідний струм на операційний підсилювач можуть бути зменшені шляхом стабілізації подрібнювача, що дає підсилювач з практично ідеальними низькочастотними характеристиками.

Кілька виробників пропонують пакети, що поєднують дискретно-компонентні подрібнювачі з вбудованими підсилювачами. Зовсім недавно виробники інтегральних схем змогли виготовити комплектні подрібнювачі стабілізовані підсилювачі або в монолотичній формі, або об'єднавши кілька монолітних чіпів для формування гібридної схеми. Ці схеми включають топологічні вдосконалення, які дозволяють справжню диференціальну роботу. Необхідні великі конденсатори підключаються зовні до упаковки. Дрейфи частки мікровольт на градус Цельсія в поєднанні з вхідними струмами в діапазоні пікоампер доступні за дивно низькою вартістю.