12.1: СИНУСОЇДАЛЬНІ ОСЦИЛЯТОРИ
- Page ID
- 30967
Однією з основних небезпек, пов'язаних із застосуванням операційних підсилювачів, є те, що користувач часто виявляє, що вони коливаються в з'єднаннях, які він бажає бути стабільними. Метою цієї книги є надання вказівок, які допоможуть обійти цей поширений підводний камінь. Однак існує багато додатків, які вимагають періодичної форми хвилі з керованою частотою, формою хвилі та амплітудою, а операційні підсилювачі часто використовуються для генерації цих сигналів.
Якщо потрібен синусоїдальний вихід, умови, які повинні бути виконані для генерації цієї форми хвилі, можна визначити з теорії лінійного зворотного зв'язку, представленої в попередніх розділах.
Віденський міст осцилятор
Конфігурація Wien-bridge (рис. 12.1) є одним із способів реалізації синусоїдального генератора. Передавальна функція мережі, яка з'єднує вихід підсилювача з його неинвертирующим входом, є (при відсутності навантаження)
\[\dfrac{V_a (s)}{V_o (s)} = \dfrac{RCs}{R^2 C^2 s^2 + 3RCs + 1} \label{eq12.1.1} \]
Операційний підсилювач підключений для неинвертирующего коефіцієнта посилення 3. Поєднання цього посилення з рівнянням\(\ref{eq12.1.1}\) дає можливість передачі петлі в цій системі позитивного зворотного зв'язку
\[L(s) = \dfrac{3RCs}{R^2 C^2 s^2 + 3RCs + 1} \nonumber \]
характеристичне рівняння
\[1 - L(s) = 1 - \dfrac{3RCs}{R^2 C^2 s^2 + 3RCs + 1} = \dfrac{R^2 C^2 s^2 + 1}{R^2 C^2 s^2 + 3RCs + 1} \label{eq12.1.3} \]
має уявні нулі при\(s = \pm (j/RC)\), і, таким чином, система може підтримувати постійну амплітуду синусоїдальних коливань на частоті\(\omega = 1/RC\).
Квадратурні осцилятори
Квадратурний генератор (рис. 12.2) поєднує в собі інвертуючий і неінвертуючий інтегратор для забезпечення двох синусоїдів фази часу,\(90^{\circ}\) зсунутих відносно один одного. Контурна передача для цього підключення є
\[L(s) = \left [-\dfrac{1}{R_1C_1s} \right ] \left [\dfrac{R_3C_3 s + 1}{(R_2C_2 s + 1) R_3C_3 s} \right ]\label{eq12.1.4} \]
У цьому виразі перший термін в дужках - це функція передачі в замкнутому контурі лівого операційного підсилювача (інвертуючого інтегратора), тоді як другий вираз в дужках - це функція передачі в замкнутому контурі правого операційного підсилювача. При правильному підборі значень компонентів правий підсилювач функціонує як неінвертуючий інтегратор. Насправді, обговорення цього загального зв'язку в розділі 11.4.1 показує, що в якості вхідного сигналу в цьому додатку використовується тільки неінвертирующий вхід диференціального з'єднання.
Якщо всі триразові константи робляться рівними так\(R_1 C_1 = R_2 C_2 = R_3C_3 = RC\), що, Рівняння\(\ref{eq12.1.4}\) зводиться до
\[L(s) = -\dfrac{1}{R^2 C^2 s^2} \nonumber \]
Відповідним характеристичним рівнянням для цієї системи негативного зворотного зв'язку є
\[1 - L(s) = 1 + \dfrac{1}{R^2 C^2 s^2} = \dfrac{R^2 C^2 s^2 + 1}{R^2 C^2 s^2}\label{eq12.1.6} \]
Знову ж таки, уявні нулі Рівняння\(\ref{eq12.1.6}\) вказують на потенціал синусоїдальних коливань з постійною амплітудою. Зверніть увагу, що, оскільки існує інтеграція між\(V_a\) і\(V_b\), ці два сигнали будуть зсунуті по\(90^{\circ}\) фазі в часі відносно один одного.
Аналогічний тип генератора (без наявного квадратурного виходу) може бути побудований за допомогою одного підсилювача, налаштованого як подвійний інтегратор (рис. 11.12) з його виходом, підключеним назад до його входу.
Стабілізація амплітуди за допомогою обмеження
Існує фундаментальний парадокс, який ускладнює конструкцію синусоїдальних осциляторів. Необхідною і достатньою умовою для генерації синусоїдальних сигналів з постійною амплітудою є те, що пара замкнутих полюсів системи зворотного зв'язку лежить на уявній осі і що в правій половині\(s\) площини немає полюсів із замкнутим контуром. Однак при точно дотриманні цієї умови (неможливість в будь-якій, крім чисто математичної системи), амплітуда виходу системи визначається початковими умовами. У будь-якій фізичній системі незначний відступ від ідеального розташування полюса призводить до коливання з експоненціально зростаючою або загасаючою амплітудою.
Необхідно включити якийсь механізм в генератор, щоб стабілізувати його вихідну амплітуду на потрібному рівні. Одна з можливостей полягає в тому, щоб спроектувати генератор таким чином, щоб його домінуюча полюсна пара лежала трохи праворуч від уявної осі для малих рівнів сигналу, а потім використовувати нелінійність для обмеження амплітуди до контрольованого рівня. Цей підхід був проілюстрований у розділі 6.3.3 як приклад описно-функціонального аналізу і коротко розглядається тут.
Розглянемо Віденський міст осцилятор, показаний на малюнку 12.1. При зміні співвідношення резисторів, що з'єднують вихід підсилювача до його інвертирующего входу, можна змінити коефіцієнт посилення підсилювача від 3 до\(3(1 + \Delta )\). В результаті Рівняння\(\ref{eq12.1.3}\) стає
\[1 - L(s) = 1 - \dfrac{3(1 + \Delta )}{R^2 C^2 s^2 + 3RCs + 1} = \dfrac{R^2C^2 s^2 - 3\Delta RCs + 1}{R^2C^2 s^2 + 3 RCs + 1} \nonumber \]
Нулі характеристичного рівняння (які ідентично розташуванню полюсів із замкнутим контуром) стають другого порядку з\(\omega_n = 1/RC\) і\(\zeta = - (3/2)\Delta\). На практиці\(\Delta\) вибирається досить великий, щоб полюси замкнутого циклу залишалися в правій половині площині для всіх передбачуваних варіацій параметрів.
Наприклад, допуски на значення компонента або поглинання діелектрика, пов'язані з конденсаторами, змінюють розташування полюсів із замкнутим контуром.
Обмеження потім може бути використано для зниження значення\(\Delta\) (у значенні функції опису), так що вихідна амплітуда контролюється. На малюнку 12.3 показана одна можлива схема, де\(\Delta = 0.01\) використовується значення значення. Частота коливань\(10^4\) рад/сек або приблизно 1,6 кГц. Вихідна амплітуда становить (допускаючи пряму напругу діода) приблизно 20 В від піку до піку. Симетричне обмеження використовується, оскільки воно не додає компонент d-c або навіть гармоніки до вихідного сигналу, якщо діоди збігаються.
Контроль амплітуди за варіацією параметрів
Використання обмежувача для зміни параметра циклу в сенсі функції опису після того, як амплітуда сигналу досягла заданого значення, є одним із способів стабілізації вихідної амплітуди генератора. Такий підхід може призвести до значних гармонійних спотворень вихідного сигналу, особливо коли генератор призначений для функціонування, незважаючи на відносно великі варіації значень елементів. Альтернативний підхід, який часто призводить до значно менших гармонічних спотворень, полягає у використанні допоміжної петлі зворотного зв'язку для регулювання деякого значення параметра таким чином, щоб розмістити полюси із замкнутим контуром точно на уявній осі, виключаючи подальші зміни амплітуди коливання, як тільки бажаний рівень досягнуто. Цю техніку часто називають автоматичним регулюванням посилення, хоча на практиці деяка кількість, відмінна від посилення, може бути різною.
Як приклад такого типу стабілізації амплітуди розглянемо вплив на продуктивність змінного резистора\(R_3\) в квадратурному осциляторі (рис. 12.2). Ми припускаємо\(C_1 = C_2 = C_3\), що, і що\(R_1 = R_2 = R\), поки\(R_3 = (1 + \Delta ) R\). У цьому випадку петльова передача системи (див. Рівняння\(\ref{eq12.1.4}\)) здійснюється з відповідним характеристичним рівнянням
\[1 - L(s) = \dfrac{R^3 C^3 (1 + \Delta) s^3 + R^2 C^2 (1 + \Delta) s^2 + RC(1 + \Delta) s + 1}{R^2 C^2 s^2 (1 + \Delta )(RCs + 1)} \nonumber \]
Якщо припустити мале значення для\(\Delta\), то нулі характеристичного рівняння можуть бути легко визначені, так як
\[\begin{array} {l} {R^3 C^3 (1 + \Delta) s^3 + R^2 C^2 (1 + \Delta) s^2 + RC (1 + \Delta ) s + 1} \\ {\left [RC \left (1 + \dfrac{\Delta}{2} \right ) s + 1 \right ] \left [R^2C^2 \left (1 + \dfrac{\Delta}{2} \right ) s^2 + RC \dfrac{\Delta}{2} s + 1 \right ] |\Delta | \ll 1} \end{array}\label{eq12.1.10} \]
У продуктивності генератора, звичайно, переважає складно-сполучена коренева пара, зазначена в Рівнянні\(\ref{eq12.1.10}\), і ця пара має власну частоту\(\omega_n \simeq 1/RC\) та коефіцієнт демпфування\(\zeta \simeq A/4\). Важливою особливістю є те, що полюси із замкнутим контуром можна зробити так, щоб лежати або в лівій половині, або в правій половині площини s за знаком\(\Delta\).
Конструкція контуру управління амплітудою для квадратурного генератора дає цікавий та повчальний приклад того, як методи зворотного зв'язку, розроблені в розділах 2 - 6, можуть бути застосовані до помірно складної схеми, і з цієї причини ми розглянемо проблему досить детально. Труднощі зосереджені насамперед на етапі моделювання аналітичних зусиль.
Наша мета полягає в тому, щоб зосередитися на управлінні амплітудою, і цей контроль повинен бути здійснений шляхом переміщення замкнутих полюсів генератора до лівої або правої половини площини відповідно до того, чи фактична вихідна амплітуда занадто велика або занадто мала, відповідно. Припустимо, що сигнал\(v_A(t)\) (див. Рис. 12.2) має вигляд
\[v_A (t) = e_A (t) \sin \omega t \nonumber \]
Це подання, яке моделює сигнал як синусоїду постійної частоти зі змінною\(e_A(t)\) оболонкою, не є точним, оскільки миттєва частота синусоїдальної складової\(v_A\) є функцією\(\Delta\). Однак якщо контур управління амплітудою має дуже низьку частоту кросовера порівняно з частотою коливань, так що зміни величини відносно повільні, ми можемо розглянути\(e_A\) лише амплітуду та ігнорувати синусоїдальну частину виразу. При цьому точна частота синусоїди неважлива.
Для того щоб знайти\(v_A\) залежність від керуючого параметра\(\Delta\), припустимо, що контур коливається з\(\Delta = 0\) таким чином, щоб замкнуті полюси генератора знаходилися саме на уявній осі. З цим обмеженням конверт є постійним з деяким значенням робочої точки,\(E_A\) так що
\[v_A (t) = E_A \sin \omega t \nonumber \]
де\(\omega = 1/RC\). Якщо\(\Delta\) відбувається поступове зміна кроку на нове значення в\(\Delta_1\) той час\(t = 0\), полюси осцилятора переміщаються в ліву половину площини (для позитивних\(\Delta_1\)), і
\[v_A (t) \simeq E_A e^{-\zeta \omega_n t} \sin \omega_n t \label{eq12.1.13} \]
Вставка значень для\(\zeta\) та\(\omega_n\) з Рівняння\(\ref{eq12.1.10}\) в рівняння\(\ref{eq12.1.13}\) дає
\[v_A (t) \simeq E_A e^{-(\Delta_1 t/4RC)} \sin \dfrac{t}{RC} \nonumber \]
Огинаюча для цього сигналу є
\[e_A (t) = E_A e^{-(\Delta_1 t/4RC)} = E_A \left [ 1 - \dfrac{\Delta_1 t}{4RC} + \dfrac{1}{2} \left (\dfrac{\Delta_1 t}{4RC} \right )^2 - \cdots + \right ] \nonumber \]
Якщо\(\Delta_1 t/4RC\) невеликий (умова, застрахована досить невеликим значенням\(\Delta_1\)), ми можемо\(e_A(t)\) розділити на операційну точку та додаткові компоненти, як
\[e_A (t) = E_A + e_a (t) \simeq E_A - \dfrac{E_A \Delta_1}{4RC} t \nonumber \]
Таким чином, позитивна інкрементна зміна кроку\(\Delta\) призводить до інкрементної зміни оболонки, яка є лінійно спадною функцією часу. Ця умова означає, що лінеаризована передавальна функція, яка пов'язує амплітуду\(\Delta\) огинаючої
\[\dfrac{E_a (s)}{\Delta (s)} = - \dfrac{E_A}{4RCs} \label{eq12.1.17} \]
Цей лінеаризований аналіз підтверджує відчуття, що контроль величини насправді\(\Delta\) є розумним способом стабілізації амплітуди коливання, оскільки інкрементна зміна огинаючої коливання пропорційна тимчасовому інтегралу\(\Delta\).
Подальше проектування амплітудно-керуючого контуру залежить від реальної топології системи. На малюнку 12.4 показано одну можливу реалізацію у вигляді змішаної схеми та функціональної блок-схеми. Огинаюча контрольованого сигналу визначається амплітудно-вимірювальної схемою. Ця схема може являти собою простий діод-резистор-конденсатор-піковий детектор в тих випадках, коли висока точність не потрібна, або це може бути активний «супердіодний» тип підключення (приклад наведено в розділі 12.5.1) більш
вимогливі додатки. І в тому і в іншому випадку конструкція даної схеми не представляє особливої складності і тут обговорюватися не буде. Огинаюча сигналу порівнюється з опорним значенням, а отриманий сигнал помилки проходить через лінійний контролер з передавальною функцією\(a(s)\). Вихід контролера використовується для приводу польового транзистора, який функціонує як змінний резистор, значення якого визначає\(\Delta\).
З'єднання FET включає локальну компенсацію для лінеаризації його характеристик, як показано в наступній розробці. Якщо перехідний транзистор зміщений в провідність з невеликою напругою, прикладеною через його канал, а його затвор зворотний зміщений по відношенню до свого каналу, струм стоку приблизно пов'язаний з термінальними напругами як
\[i_D = K \left [(v_{GS} + V_P) v_{DS} - \dfrac{v_{DS}^2}{2} \right ] \label{eq12.1.18} \]
де\(K\) постійна залежна від конструкції транзистора, і\(V_P\) величина напруги затиску від затиску до джерела.
\(i_D\)Залежність від квадрата напруги стік-джерело небажана, оскільки цей термін являє собою нелінійність в канальному опорі пристрою, і ця нелінійність внесе гармонійні спотворення на вихід генератора. Нелінійність може бути усунена шляхом додавання половини напруги зливу до джерела до напруги затвор-джерело через резистори, як показано на малюнку 12.4. Резистори досить великі, щоб вони не значно шунтували опір стоку до джерела транзистора в нормальних умовах експлуатації. З показаною топологією,
\[v_{GS} = \dfrac{1}{2} (v_C + v_{DS}) \label{eq12.1.19} \]
Заміна рівняння\(\ref{eq12.1.19}\) в рівняння\(\ref{eq12.1.18}\) показує, що
\[i_D = K\left [\left (\dfrac{v_C}{2} + \dfrac{v_{DS}}{2} + V_P \right ) v_{DS} - \dfrac{v_{DS}^2}{2} \right ] = K \left (\dfrac{v_C}{2} + V_P \right ) v_{DS} \nonumber \]
або
\[R_{DS} = \dfrac{\partial v_{DS}}{\partial i_D} = \dfrac{1}{K[(v_C/2) + V_P]}\label{eq12.1.21} \]
Це рівняння вказує на те, що інкрементний опір транзистора не залежить від напруги стік-джерело при включенні мережі.
Для цілей проектування припустимо, що для транзистора характерні\(V_P = 4\) вольт і\(K = 10^{-3}\) мхо на вольт. Нагадаємо, що коливання стабільної амплітуди вимагають, щоб всі три постійні\(R-C\) часу були однаковими; таким чином, значення робочої точки\(R_{DS}\) становить 500 Ом. Рівняння в\(\ref{eq12.1.21}\) поєднанні з параметрами FET вказує на те, що це значення призводить до значення робочої точки для керуючої напруги -4 вольт. Інкрементне зміна в\(R_{DS}\) якості функції керуючої напруги в цій робочій точці, отримане шляхом диференціювання\(\ref{eq12.1.21}\) по відношенню до\(v_C\),
\[\dfrac{\partial R_{DS}}{\partial v_C}|_{v_C = -4V} = -125 \Omega /V \label{eq12.1.22} \]
Раніше моделювання проводилося з точки зору\(\Delta\), дробового відхилення\(R_3\) опору на малюнку 12.2 від його номінального значення. Цей резистор складається з FET плюс\(9.5\ k\Omega\) резистор в реальній реалізації. Інкрементна\(\Delta\) залежність від керуючої напруги визначається\(\ref{eq12.1.22}\) діленням Рівняння на передбачувану робочу точку значення сумарного опору,\(10\ k\Omega\). Таким чином
\[\dfrac{\partial \Delta}{\partial v_C}|_{v_C = -4V} = -0.0125 V^{-1} \label{eq12.1.23} \]
Співвідношення, підсумовані в Рівняннях\(\ref{eq12.1.17}\) та\(\ref{eq12.1.23}\) поєднані з топологією системи та передбачуваним значенням робочої точки для\(E_A = 10\) вольт огинаючої, призводять до лінеаризованої блок-схеми контуру амплітуди-управління, показаної на малюнку 12.5. Негативом петлевої передачі для цієї системи є
\[\dfrac{E_a (s)}{E_e (s)} = a(s) \times \dfrac{312.5}{s} \nonumber \]
Ряд факторів регулюють вибір\(a(s)\) для цього додатка, включаючи:
(а) Фактична напруга FET від затвору до джерела, необхідна в умовах спокою, сильно залежить від параметрів FET та точних значень інших компонентів, що використовуються в схемі. Найпростіший спосіб застрахувати, що різниця між конвертом та посиланням є постійною, незважаючи на ці змінні параметри, полягає в тому, щоб включити інтеграцію,\(a(s)\) оскільки ця інтеграція змушує значення робочої точки помилки до нуля.
(б) Аналіз ґрунтується на значно меншій частоті кросовера для контуру управління амплітудою, ніж частота коливань,\(10^4\) радіани в секунду. Однак дуже низькочастотний контур управління підкреслює вплив на амплітуду швидких змін величин, таких як напруга живлення. Кілька довільним компромісом є вибір кросовера з частотою 100 радіанів в секунду.
(c) Оскільки аналіз базується на ієрархії наближень, система повинна бути розроблена таким чином, щоб мати дуже консервативний запас фази.
(d) Функція передачі контролера повинна включати фільтрацію низьких частот. Сигнал детектора, який вказує на амплітуду огинаючої, незмінно включає компоненти на частоті коливань або її гармоніки. Якщо ці компоненти не фільтруються так, що вони знаходяться на незначному рівні при застосуванні до затвора FET, результуюча модуляція опору каналу вводить спотворення у вихідний сигнал генератора.
Функція передачі контролера, яка включає ці функції, є
\[a(s) = \dfrac{3.2 (0.1s + 1)}{s(10^{-3} s + 1)^2} \nonumber \]
Негативна петля передачі при цьому значенні для\(a(s)\) дорівнює
\[\dfrac{E_a (s)}{E_e (s)} = \dfrac{}{} \nonumber \]
Частота кросовера системи становить 100 радіанів в секунду, а запас\(70^{\circ}\) фаз перевищує при цьому значення для\(a(s)\).
Можлива схема, що забезпечує негатив потрібного,\(a(s)\) показана на малюнку 12.6. У багатьох випадках, що представляють практичний інтерес, ця інверсія може бути осереднена деякою перестановкою амплітудно-вимірювальної схеми. Другий необхідний полюс фільтра виходить з пасивною мережею. Рівень імпедансу мережі фільтра досить низький, щоб мережа не порушувалася\(2-M\Omega\) підключеної до неї навантаженням.
Контрольний рівень, необхідний для встановлення амплітуди генератора, може бути застосований до контролера, додавши інший вхідний резистор до операційного підсилювача. Також можливо реалізувати частину амплітудно-вимірювальної схеми за допомогою цього підсилювача. Приклад такого типу комбінації функцій наведено в розділі 12.5.1.
Два практичних міркування, що беруть участь у проектуванні цього генератора, заслуговують окремої згадки. По-перше, сигнал\(v_B\) зазвичай має менші гармонічні спотворення, ніж це робить,\(v_A\) оскільки інтеграція першого підсилювача фільтрує будь-які гармоніки, які можуть бути введені транзистором. По-друге, можна змінювати опорну амплітуду для цієї схеми і таким чином модулювати амплітуду виходу генератора. Однак пропускна здатність управління в цьому режимі буде відносно невеликою, а продуктивність буде змінюватися в залежності від амплітуди спокою оболонки, оскільки величина передачі петлі залежить від робочих рівнів.
Продуктивність генератора такого типу може бути досить вражаючою. Контроль амплітуди в межах\(1\ mV\) піку до піку можливий, якщо в детекторі оболонки використовуються «супердіоди». Гармонічне спотворення вихідного сигналу може бути збережено на коефіцієнт\(10^4\) або більше нижче основної складової.