6.3: Опис функції
- Page ID
- 30927
Описані функції дають метод аналізу нелінійних систем, який тісно пов'язаний з лінійно-системними техніками за участками Боде або графіків фази посилення. Можна використовувати цей тип аналізу, щоб визначити, чи можливі граничні цикли (періодичні коливання з постійною амплітудою) для даної системи. Також можна використовувати описуючі функції для прогнозування відгуку певних нелінійних систем на чисто синусоїдальне збудження, хоча ця тема тут не висвітлюється (Г.Дж. Талер і М.П. Пастель, Аналіз і проектування нелінійного зворотного зв'язку Системи управління, Макгроу-Хілл, Нью-Йорк, 1962). На жаль, оскільки АЧХ та перехідний відгук нелінійних систем безпосередньо не пов'язані, визначення перехідної характеристики неможливо за допомогою опису функцій.
Виведення описуючої функції
Описана функція описує поведінку нелінійного елемента для чисто синусоїдального збудження. Таким чином, вхідний сигнал, що подається до нелінійного елементу для визначення його описуючої функції, є
\[v_I = E \sin \omega t \nonumber \]
Якщо нелінійність не випрямляє вхід (виробляє d-c вихід) і не вводить субгармоніки, вихід нелінійного елемента може бути розширений в ряді Фур'є виду
\[v_O = A_1 (E, \omega ) \cos \omega t + B_1 (E, \omega ) \sin \omega t + A_2 (E, \omega ) \cos 2 \omega t + B_2 (E, \omega ) \sin 2\omega t + \cdots + \nonumber \]
Описуюча функція для нелінійного елемента визначається як
\[G_D (E, \omega ) = \dfrac{\sqrt{A_1^2 (E, \omega ) + B_1^2 (E, \omega )}}{E} \measuredangle \tan^{-1} \dfrac{A_1 (E, \omega )}{B_1 (E, \omega )}\label{eq6.3.3} \]
Описно-функціональна характеристика нелінійного елемента паралельна характеристиці передавальної функції лінійного елемента. Якщо оцінюється передавальна функція лінійного елемента для\(s = j\omega \), величина результуючої функції комплексної змінної - відношення амплітуд вихідного і вхідного сигналів при порушенні елемента синусоїдою на частоті СО. Аналогічно, кут функції - це фазовий кут між вихідним і вхідним сигналами в синусоїдальних стаціонарних умовах. Для лінійних елементів ці величини повинні бути незалежними від амплітуди збудження.
Описуюча функція вказує на відносну амплітуду і фазовий кут фундаментальної складової виходу нелінійного елемента при порушенні елемента синусоїдою. На відміну від випадку з лінійними елементами, ці величини можуть залежати від амплітуди, а також частоти збудження.
Два приклади ілюструють виведення описуючої функції для нелінійних елементів. На малюнку 6.6 показані характеристики передачі насичуючої нелінійності разом з формами вхідних і вихідних сигналів для синусоїдального збудження. Оскільки передавальні характеристики для цього елемента не залежать від динаміки вхідного сигналу, то зрозуміло, що описуюча функція повинна бути незалежною від частоти.
Якщо вхідна\(E\) амплітуда менше\(E_M\),
\[v_O = Kv_1 \nonumber \]
У цьому випадку
\[G_D = K \measuredangle 0^{\circ} \ \ \ E < E_M \nonumber \]
Для\(E \ge E_M\), вихідний сигнал через інтервал\(0 \le \omega t \le \pi\)
\[v_O = Kv_I \ \ \ \ 0 \le \omega t < \alpha \ \ \ \ \text{ or } \ \ \ \ \pi - \alpha < \omega t \le \pi \nonumber \]
\[v_O = KE_M \ \ \ \ \alpha \le \omega t \le pi - \alpha \nonumber \]
де
\[\alpha = \sin^{-1} \dfrac{E_M}{E}\nonumber \]
Коефіцієнт\(A_1\) і\(B_1\) є в даному випадку,
\[\begin{array} {rcl} {A_1} & = & {\dfrac{2}{\pi} \int_{0}^{\alpha} KE \sin \omega t \cos \omega t \ d \omega t + \dfrac{2}{\pi} \int_{\alpha}^{\pi - \alpha} KE_M \cos \omega t \ d\omega t} \\ {} & \ & {+ \dfrac{2}{\pi} \int_{\pi - \alpha}^{\pi} KE \sin \omega t \cos \omega t \ d \omega t = 0} \end{array} \nonumber \]
\[\begin{array} {rcl} {B_1} & = & {\dfrac{2}{\pi} \int_{0}^{\alpha} KE \sin^2 \omega t \ d \omega t + \dfrac{2}{\pi} \int_{\alpha}^{\pi - \alpha} KE_M \sin \omega t \ d\omega t} \\ {} & \ & {+ \dfrac{2}{\pi} \int_{\pi - \alpha}^{\pi} KE \sin^2 \omega t \ d \omega t = 0} \\ {} & = & {\dfrac{2KE}{\pi} \left [\sin^{-1} \dfrac{E_M}{E} + \dfrac{E_M}{E} \sqrt{1 - \left (\dfrac{E_M}{E} \right )^2} \right ]} \end{array} \nonumber \]
Використовуючи Рівняння\(\ref{eq6.3.3}\), отримаємо
\[G_D (E) = K \measuredangle 0^{\circ} \ \ \ E \le E_M \nonumber \]
\[G_D (E) = \dfrac{2K}{\pi} \left (\sin^{-1} R + R \sqrt{1 - R^2} \right ) \measuredangle 0^{\circ} \ \ \ E > E_M \nonumber \]
де\(R = E_M/E\).
Передавальні характеристики елемента з гістерезисом, такого як тригер Шмітта або реле, наведені на малюнку 6.7\(a\). Пам'ять, пов'язана з цим типом елемента, виробляє зсув фаз між основною складовою виходу і прикладеної до нього вхідної синусоїдою, як показано на малюнку 6.7\(b\). Це необхідно для того, щоб пікова амплітуда вхідного сигналу перевищувала\(E_M\), щоб вихідний сигнал був відмінним від постійної.
Деякі особливості вихідного сигналу дозволяють записати описуючу функцію для цього елемента. Відповідні відносини включають наступне.
- Хоча між вхідним сигналом і основоюпсихічної складової виходу існує зсув фаз, ні величина цього фазового зсуву, ні амплітуда вихідного сигналу не залежать від частоти збудження.
- Амплітуда фундаментальної складової квадратної хвилі з піковою амплітудою\(E_N\) дорівнює\(4 E_N/\pi \).
- Відносний зсув фаз між вхідним сигналом і основною складовою виходу є\(\sin^{-1} (E_M/E)\), при цьому вихід відстає від входу.
| Нелінійність вхідних даних =\(v_I = E \sin \omega t\) |
Опис функції (Усі незалежні від частоти.) |
|---|---|
\ (v_i = Е\ син\ омега т\) "> |
\(G_D (E) = K \measuredangle 0^{\circ} \ \ E \le E_M\) \(G_D (E) = \dfrac{2K}{\pi} \left (\sin^{-1} R + R \sqrt{1 - R^2} \right ) \measuredangle 0^{\circ},\) \(E > E_M\) де\(R = \dfrac{E_M}{E}\) |
\ (v_i = Е\ син\ омега т\) "> |
\(G_D (E) = \dfrac{4E_N}{\pi E} \measuredangle 0^{\circ}\) |
\ (v_i = Е\ син\ омега т\) "> |
\(G_D (E) = 0 \measuredangle 0^{\circ} \ \ E \le E_M\) \(G_D (E) = K \left [1 - \dfrac{2}{\pi} \left (\sin^{-1} R + R \sqrt{1 - R^2} \right ) \right ] \measuredangle 0^{\circ},\) \(E > E_M\) де\(R = \dfrac{E_M}{E}\) |
\ (v_i = Е\ син\ омега т\) "> |
\(G_D (E) = 0 \measuredangle 0^{\circ} \ \ E \le E_M\) \(G_D (E) = \dfrac{4E_N}{\pi E} \sqrt{1 - R^2} \measuredangle 0^{\circ}, \ \ E > E_M\) де\(R = \dfrac{E_M}{E}\) |
\ (v_i = Е\ син\ омега т\) "> |
\(E\)повинен перевищувати\(E_M\) або d-c термін результати. \(G_D (E) = \dfrac{4E_N}{\pi E} \measuredangle -\sin^{-1} R\) де\(R = \dfrac{E_M}{E}\) |
Поєднання цих відносин показує, що
\[\begin{array} {rcl} {G_D (E)} & = & {\dfrac{4E_N}{\pi E} \measuredangle -\sin^{-1} \dfrac{E_M}{E} \ \ E \ge E_M} \\ {G_D (E)} & \ & {\text{undefined otherwise}} \end{array} \nonumber \]
У таблиці 6.1 наведено описуючі функції для декількох поширених нелінійностей. Оскільки показані характеристики передачі всі незалежні від частоти вхідного сигналу, відповідні описуючі функції залежать тільки від амплітуди вхідного сигналу. Хоча це обмеження не є необхідним для використання методів опису функцій, складність, пов'язана з описувально-функціональним аналізом систем, що включають частотно-залежні нелінійності, часто обмежує його корисність.
Лінійність ряду Фур'є може бути використана для визначення описуючої функції певних нелінійностей з відомих описуючих функцій інших елементів. Розглянемо, наприклад, характеристики м'якої насиченості, наведені на малюнку 6.8\(a\). Вхідно-вихідні характеристики цього елемента можна продублювати шляхом об'єднання двох табличних елементів, як показано на малюнку 6.8\(b\). Оскільки фундаментальною складовою виводу системи рис. 6.8\(b\) є сума фундаментальних складових з двох нелінійностей
\[G_D(E) = K_1 \measuredangle 0^{\circ} E \le E_M \nonumber \]
\[\begin{array} {rcl} {G_D (E)} & = & {\left [ \dfrac{2K_1}{\pi} \left (\sin^{-1} R + R \sqrt{1 - R^2} \right ) + K_2 - \dfrac{2K_2}{\pi} \left ( \sin^{-1} R + R \sqrt{1 - R^2} \right ) \right ] \measuredangle 0^{\circ}} \\ {} & = & {\left [ K_2 + \dfrac{2(K_1 - K_2)}{\pi} \left ( \sin^{-1} R + R \sqrt{1 - R^2} \right ) \right ] \measuredangle 0^{\circ}} \end{array} \nonumber \]
для\(E > E_M\) того, де\(R = \sin^{-1} (E_M/ E)\).
Аналіз стійкості за допомогою опису функцій
Описані функції найчастіше використовуються для визначення того, чи можливі граничні цикли (стабільно-амплітудні періодичні коливання) для даної системи, і для визначення амплітуди різних сигналів при наявності цих коливань.
Описно-функціональний аналіз спрощується, якщо систему можна розташувати в формі, подібній до показаної на малюнку 6.9. Інвертуючий блок включений для представлення інверсії, умовно зазначеної в точці підсумовування в системі негативного зворотного зв'язку. Оскільки метою аналізу є вивчення можливості сталих коливань, вхідні та вихідні точки системи не мають значення. Важливою особливістю топології, показаної на малюнку 6.9, є те, що в циклі з'являється єдиний нелінійний елемент з одним лінійним елементом. Показаний лінійний елемент може, звичайно, являти собою зведення складного взаємозв'язку лінійних елементів у вихідній системі до єдиної передавальної функції. Методи, описані в розділах 2.4.2 та 2.4.3, часто корисні для цих скорочень.
Система, показана на малюнку 6.10, ілюструє тип маніпуляції, що спрощує використання описуючих функцій в певних випадках. Обмежувач, що складається з стабілітронів, включений в схему, яка також містить підсилювач і мережу резистор-конденсатор. Передбачається, що обмежувач стабілітрону має кусково-лінійні характеристики, показані на малюнку 6.10\(b\).
Описну функцію для нелінійної мережі, що включає\(R_1, R_2, C\), і обмежувач, можна обчислити, припускаючи синусоїдальний сигнал для\(v_B\) і знаходження амплітуди і відносного фазового кута фундаментальної складової\(v_A\). Отримана описуюча функція буде залежною від частоти. Більш задовільне уявлення виходить, якщо значення стабілітрону\(i_A\) визначається як функція напруги, що подається в мережу.
\[i_A = \dfrac{v_B}{R_1} - \dfrac{v_A}{R_1 ||R_2} - C \dfrac{dv_A}{dt}\label{eq6.3.15} \]
Обмежувач стабілітрону змушує додаткові обмеження
\[v_A = + V_Z \ \ \ i_A > 0\label{eq6.3.16} \]
\[v_A = - V_Z \ \ \ i_A < 0\label{eq6.3.17} \]
Рівняння\(\ref{eq6.3.15}\),\(\ref{eq6.3.16}\) і\(\ref{eq6.3.17}\) мають на увазі, що блок-схема, показана на малюнку 6.11,\(a\) може бути використана для зв'язку змінних в нелінійній мережі. Приємною особливістю цього подання є те, що залишилася нелінійність може характеризуватися частотно-незалежною описує функцією. На малюнку 6.11\(b\) показана блок-схема, яка виходить при поєднанні мережі з підсилювачем. Два лінійні шляхи на цій діаграмі об'єднані на малюнку 6.1\(c\), який є формою, запропонованою для аналізу.
Після того, як система була зведена до форми, показаної на малюнку 6.9, її можна проаналізувати за допомогою опису функцій. Наближення описуючої функції стверджує, що коливання можуть бути можливі, якщо конкретні значення\(E_1\) і\(\omega_1\) існують такі, що
\[a(j\omega_1) G_D (E_1, \omega_1) = -1\label{eq6.3.18} \]
або
\[a(j\omega_1) = \dfrac{-1}{G_D(E_1, \omega_1)}\label{eq6.3.19} \]
Задоволення рівняння\(\ref{eq6.3.18}\) і\(\ref{eq6.3.19}\) не гарантує, що розглянута система буде коливатися. Цілком можливо, що система задовольняє рівняння\(\ref{eq6.3.18}\) і\(\ref{eq6.3.19}\) буде стабільною для діапазону рівнів сигналу і повинна бути запущена в коливання шляхом, наприклад, перевищення певного рівня сигналу на вході в нелінійний елемент. Друга можливість полягає в тому, що рівність рівняння\(\ref{eq6.3.18}\) і\(\ref{eq6.3.19}\) не описує стабільну амплітуду коливань. У цьому випадку, якщо передбачається, що система коливається зі значеннями параметрів, наведеними в Рівнянні\(\ref{eq6.3.18}\) і\(\ref{eq6.3.19}\), невелика амплітуда збурень розходиться і призводить або до збільшення, або до зменшення амплітуди. Як ми побачимо, метод може бути використаний для вирішення цих питань. Аналіз описуючої функції також прогнозує, що якщо існують стабільні амплітудні коливання, частота коливань буде\(\omega_1\) і амплітуда фундаментальної складової сигналу, застосованого до нелінійності, буде\(E_1\).
Вищенаведене обговорення показує, наскільки тісно аналіз стійкості нелінійних систем описувально-функціональний паралельний аналізу лінійних систем Nyquist або Bode-plot. Зокрема, прогнозуються коливання для лінійних систем на частотах, де петльова передача дорівнює +1, тоді як описно-функціональний аналіз вказує на можливі коливання для амплітудно-частотних комбінацій, які створюють нелінійно-системний еквівалент одноконтурної передачі.
Зараз очевидна основна апроксимація аналізу функцій опису. Передбачається, що в умовах стаціонарного коливання вхід до нелінійного елемента складається з одночастотної синусоїди. Хоча це припущення, безумовно, не зовсім задовольняється, оскільки нелінійний елемент генерує гармоніки, які поширюються навколо циклу, це часто є корисним наближенням з двох причин. По-перше, багато нелінійності генерують гармоніки з амплітудами, які невеликі порівняно з фундаментальними. По-друге, оскільки багато лінійних елементів в системах зворотного зв'язку мають низькочастотний характер, гармоніки в сигналі, повернутому до нелінійного елемента, часто ослаблені в більшій мірі, ніж основні лінійними елементами. Друга причина вказує на краще наближення для систем нижчих частот вищого порядку.
Існування співвідношення зазначено в Рівнянні\(\ref{eq6.3.18}\) і часто\(\ref{eq6.3.19}\) стримує видобуті графічно. Передавальна функція лінійного елемента побудована у формі посилення фази. \(- 1/G_D(E, \omega )\)Функція також побудована на тому ж графіку. Якщо незалежний\(G_D\) від частоти,\(- 1/G_D(E)\) то є єдиною\(E\) кривою з параметром уздовж кривої. Необхідна умова коливання виконується, якщо існує перетин двох кривих. Частоту можна визначити по\(a(j\omega )\) кривій, тоді як амплітуда фундаментальної складової сигналу в нелінійність визначається по\(- 1/G_D(E)\) кривій. Якщо нелінійність залежить від частоти, будується сімейство кривих\(- 1/G_D(E, \omega_1), -1/G_D(E, \omega_2)\),.... Умова коливання виконується, якщо\(-1/G_D(E, \omega_i)\) крива перетинає\(a(j\omega )\) криву в точці\(a(j\omega_i)\).
Задоволення рівняння\(\ref{eq6.3.18}\) і\(\ref{eq6.3.19}\) є необхідною, хоча і не достатньою умовою для існування граничного циклу. Також необхідно підстрахувати, щоб коливання, прогнозовані перетином, були стабільними по амплітуді. Для того щоб перевірити на амплітудну стабільність, передбачається, що амплітуда трохи\(E\) збільшується, і точка, що відповідає збуреному значенню,\(E\) знаходиться на\(- 1/G_D (E, \omega)\) кривій. Якщо ця точка лежить зліва від\(a(j\omega )\) кривої, геометрія має на увазі, що полюси системи (Поняття полюса строго справедливо тільки для лінійної системи. Після того, як ми застосуємо наближення функції опису (що є певним видом лінеаризації щодо робочої точки, визначеної амплітудою сигналу), ми беремо таку ж свободу з визначенням полюса, як і з системами, які були лінеаризовані іншими методами.) лежать у лівій половині площини для підвищена величина\(E\), прагнучи відновити амплітуду до початкового значення. Крім того, якщо збурена точка лежить праворуч від\(a(j\omega )\) кривої, коливання зростаючої амплітуди виникає внаслідок збурень і граничний цикл з параметрами, передбаченими перетином, неможливий. Ці зв'язки можна перевірити, застосувавши тест стабільності Найквіста до передачі петлі, який включає лінійну передавальну функцію та описуючу функцію, що цікавить.
Слід зазначити, що стійкість довільно складних нелінійних систем, що поєднують кратність нелінійних елементів в циклі з лінійними елементами, можна, принаймні теоретично, визначати за допомогою описуючих функцій. Наприклад, для визначення того, чи існує можливість нестабільності, можуть бути побудовані численні графіки Nyquist, що відповідають нелінійним передачам петлі для різних амплітуд сигналу. На жаль, зусилля, необхідні для завершення цього виду аналізу, як правило, є непомірними.
Приклади
Оскільки описно-функціональний аналіз передбачає існування граничних циклів стабільної амплітуди, він особливо корисний для дослідження осциляторів, і з цієї причини два приклади в цьому розділі включають схеми осциляторів.
Обговорення розділу 4.2.2 показало, що можна виробляти синусоїдальні коливання шляхом застосування негативного зворотного зв'язку навколо мережі фазового зсуву з трьома однаково розташованими полюсами реальної осі. Якщо величина низькочастотної контурної передачі дорівнює рівно 8, полюси системи замкнутого циклу знаходяться на уявній осі і, таким чином, результуючі коливання стабільні за амплітудою. Контролювати величину передачі петлі можна саме за допомогою допоміжного контуру зворотного зв'язку, який вимірює амплітуду коливань і регулює петльову передачу для регулювання цієї амплітуди. Такий підхід до амплітудного контролю розглядається в розділі 12.1.4.
Альтернативний і більш простий підхід, який часто використовується, проілюстрований на малюнку 6.12. Петльова передача системи для малих рівнів сигналу робиться досить великою (в даному випадку 10), щоб забезпечити зростаючі амплітудні коливання, якщо рівні сигналу такі, що обмежувач залишається лінійним. Оскільки пікова амплітуда сигналу VA збільшується за межі одиниці, обмежувач зменшує величину передачі петлі (у сенсі описуючої функції), щоб стабілізувати амплітуду коливань.
Описуюча функція для обмежувача на рис. 6.12 є (див. Таблицю 6.1)
\[G_D (E) = 1 \measuredangle 0^{\circ} \ \ \ E \le 1\label{eq6.3.20} \]
\[G_D (E) = \dfrac{2}{\pi} \left (\sin^{-1} \dfrac{1}{E} + \dfrac{1}{E} \sqrt{1 - \dfrac{1}{E^2}} \right ) \measuredangle 0^{\circ} \ \ \ E > 1\label{eq6.3.21} \]
Ця функція зменшується монотонно, оскільки\(E\) збільшується за межі одиниці. При цьому кількість монотонно\(-1/G_D(E)\) збільшується\(E\) більше одиниці і має кут\(-180^{\circ}\). Загальна поведінка\(-1/G_D(E)\) та передавальна функція лінійної частини ланцюга генератора накреслені на площині посилення фази малюнка 6.13.
Показано, що перетин являє собою коливання стабільної амплітуди, коли використовується тест, запропонований в останньому розділі. Збільшення\(E\)
від значення на перетині переміщається\(-1/G_D(E)\) точка вліво від\(a(j\omega)\) кривої. Фізичне значення правила полягає в наступному. Припустимо, що система коливається зі значенням\(E\) необхідного зробити\(G_D(E) a(j \sqrt{3}) = -1\). Інкрементне збільшення значення\(E\) зменшує величину\(G_D(E)\) і, таким чином, зменшує петлю передачі нижче значення, необхідного для підтримки постійної амплітудної коливання. Амплітуда\(E\) зменшується до тих пір, поки не відновиться до початкового значення. Аналогічно, поступове зменшення\(E\) призводить до коливання зростаючої амплітуди, поки не\(E\) досягне його рівноважного значення.
Величина в\(E\) стаціонарних умовах може бути визначена безпосередньо з Рівняння\(\ref{eq6.3.20}\) і\(\ref{eq6.3.21}\). Величина\(a(j\omega)\) на частоті, де його фазовий зсув\(-180^{\circ}\) if, (\(\omega = \sqrt{3}\)), дорівнює 1,25. При цьому коливання відбуваються с\(G_D(E) = 0.8\). Розв'язування рівняння\(\ref{eq6.3.20}\) і\(\ref{eq6.3.21}\) для необхідного значення\(E\) методом проб і помилок призводить до того\(E \simeq 1.45\), що це значення відповідає амплітуді фундаментальної складової\(v_A\).
У цьому прикладі легко продемонстровано обґрунтованість припущення описуючої функції щодо чистоти сигналу на вході нелінійного елемента. Якщо до обмежувача прикладена синусоїда, то в його вихідному сигналі присутні тільки непарні гармоніки, а амплітуди вищих гармонік монотонно зменшуються. Звичайні розрахунки серії Фур'є показують, що
відношення величини третьої гармоніки до величини фундаментальної на виході обмежувача становить 0,14 для 1,45-вольтової синусоїди пікової амплітуди в якості входу обмежувача. Лінійні елементи послаблюють третю гармоніку\(\sqrt{3}\) радіан на секунду синусоїди на 18 більше, ніж фундаментальна. Таким чином, відношення третьої гармоніки до фундаментальної становить приблизно 0,008 на вході до нелінійного елемента. Амплітуди вищих гармонік незначні, оскільки їх величини на виході обмежувача менші і оскільки вони в більшій мірі ослаблені лінійним елементом. Як питання практичного інтересу, ослаблення, що забезпечується мережею фазового зсуву до гармонік, є причиною того, що хороша практика проектування диктує використання сигналу з мережі фазового зсуву, а не від обмежувача в якості вихідного сигналу генератора.
На малюнку 6.14\(a\) показана інша конфігурація осцилятора, яка використовується як другий приклад аналізу функцій опису. Ця схема, яка поєднує тригер Шмітта та інтегратор, є спрощеним представленням того, що використовується в декількох комерційно доступних генераторах функцій. Прямою оцінкою можна показати, що сигнал на вході до нелінійного елемента являє собою двовольтову хвилю трикутника від піку до піку з чотирьохсекундним періодом і що сигнал на виході нелінійного елемента являє собою двовольтову квадратну хвилю пік-пік на тій же частоті. Нульові переходи цих двох сигналів зміщуються на одну секунду, як показано на малюнку 6.14\(b\). Відношення третьої гармоніки до фундаментальної на вході до нелінійного елементу дорівнює 1/9, значно вище значення, ніж в попередньому прикладі.
Таблиця 6.1 показує, що описуюча функція для цієї нелінійності
\[G_D (E) = \dfrac{4}{\pi E} \measuredangle -\sin^{-1} \dfrac{1}{E} \ \ E \ge 1 \nonumber \]
Величина\(-1/G_D(E)\) і передавальна функція для лінійного елемента побудовані в фазовому вигляді посилення на малюнку 6.15. Перетин відбувається для значення\(E\), яке призводить до максимального фазового відставання\(90^{\circ}\) від нелінійного елемента. Параметри, передбачені для граничного циклу стабільної амплітуди, передбаченого цим перетином, є амплітуда піку до піку для vA двох вольт і період коливань приблизно п'ять секунд. Відповідність між цими параметрами та параметрами точного рішення є чудовою, враховуючи фактичний характер сигналів, що беруть участь.
Умовна стабільність
Система, показана у вигляді блок-схеми на малюнку 6.16, поєднує насичуючу нелінійність лінійними елементами. Негативна петля передачі для цієї системи, припускаючи, що амплітуда сигналу при\(v_A\) менше\(10^{-5}\) вольт так, що нелінійність забезпечує посилення\(10^5\), визначається розривом петлі на інвертуючому блоці, поступаючись
\[-L(s) = 10^5 a(s) = \dfrac{5 \times 10^5 (0.02s + 1)^2}{(s + 1)^3 (10^{-3} s + 1)^2}\label{eq6.3.23} \]
Діаграма Найквіста для цієї функції показана на малюнку 6.17. Сюжет розкриває фазовий запас у\(40^{\circ}\) поєднанні з запасом посилення 10, що має на увазі помірно добре демпфіровану продуктивність. На графіку також видно, що якщо величина передачі низькочастотного контуру знижується в рази між 8 і\(6 \times 10^4\), система стає нестабільною. Системи, що мають властивість, що зменшення величини передачі низькочастотного контуру від його конструкторського значення перетворює їх зі стабільної в нестабільну роботу, називаються умовно стабільними системами.
Нелінійність може призвести до зменшення посилення, що призводить до нестабільності. Система, показана на малюнку 6.16, стабільна при досить малих значеннях сигналу\(v_A\). Якщо амплітуда\(v_A\) стає досить великою, можливо, через зовнішньо застосований вхід (не показаний на схемі) або через перехідний процес, який може супроводжувати включення, система може почати коливатися, оскільки коефіцієнт посилення описуючої функції зменшується.
Загальною характеристикою умовно стабільних систем є фазова крива, яка опускається нижче\(-180^{\circ}\) в деякому діапазоні частот, а потім відновлюється так, що позитивний запас фази існує на кросовері. Ці фазові характеристики можуть призвести до того, що амплітуда падає швидше,\(1/\omega^2\) ніж в діапазоні частот нижче кросовера. Відкат високого порядку використовується в деяких системах, оскільки він поєднує в собі великі петлеві передачі на помірних частотах з обмеженою частотою кросовера. Наприклад, функція перенесення
\[-L'(s) = \dfrac{5 \times 10^5}{(2.5 \times 10^3 s + 1)(10^{-3} s + 1)^2}\label{eq6.3.24} \]
має таку ж низькочастотну посилення та частоту посилення одиниці, як і Рівняння\(\ref{eq6.3.23}\). Однак дечутливість, пов'язана з рівнянням,\(\ref{eq6.3.23}\) перевищує\(\ref{eq6.3.24}\) частоту між\(4 \times 10^4\) радіанами в секунду та 50 радіанами в секунду через згортання високого порядку, пов'язаного з рівнянням\(\ref{eq6.3.23}\). Перевага посилення досягає максимуму приблизно 10 при одному радіані в секунду. Це більш високий коефіцієнт посилення призводить до значно більшої дечутливості для передачі петлі Рівняння в\(\ref{eq6.3.23}\) широкому діапазоні частот.
Кількісну інформацію про працездатність системи, наведену на малюнку 6.16, можна отримати за допомогою описно-функціонального аналізу. Функція опису для нелінійності для\(E > 10^{-5}\) є
\[G_D (E) = \dfrac{2 \times 10^5}{\pi} \left (\sin^{-1} \dfrac{10^{-5}}{E} + \dfrac{10^{-5}}{E} \sqrt{1 - \dfrac{10^{-10}}{E^2}} \right ) \measuredangle 0^{\circ} \nonumber \]
де\(E\) - амплітуда (передбачуваного синусоїдального) сигналу\(v_A\). Величини\(-1/G_D(E)\) і\(a(j\omega)\) побудовані в фазовому вигляді посилення на малюнку 6.18, і два перетину очевидні. Перетин в\(\omega \simeq 50\) радіанах в секунду,\(E \simeq 10^{-4}\) вольт не представляє стабільного граничного циклу. Якщо передбачається коливання системи з цими параметрами, то поступове зменшення амплітуди сигналу\(v_A\) призводить до подальшого зниження амплітуди і система повертається до стабільної роботи. Цей результат випливає з правила, згаданого в розділі 6.3.2. При цьому зменшення\(E\) призводить до того, що\(-1/G_D(E)\) крива лежить зліва від\(a(j\omega)\) кривої, і таким чином полюси системи рухаються від уявної осі до лівої півплощини як наслідок збурень. До такого ж висновку можна прийти, якщо розглядати сюжет Найквіста для системи, коли амплітуда\(v_A\) дорівнює\(10^{-4}\) вольт. Затухання посилення обмежувача потім зміщує криву рисунка 6.17 вниз так, щоб точка, що відповідає\(\omega = 50\) радіанам в секунду, перетинає точку - 1. Інкрементне зменшення трохи\(E\) рухає криву вгору, а отримана діаграма Найквіста - це стабільна система.
Подібні міркування показують, що невелике збільшення амплітуди на нижньому перетині призводить до подальшого збільшення амплітуди. Після цього типу збурень система врешті-решт досягає граничного циклу стабільної амплітуди, передбаченого верхнім перетином з\(\omega \simeq 1.8\) радіанами в секунду і\(E \simeq 0.73\) вольтом. (Читач повинен переконати себе, що верхнє перетин задовольняє умовам граничного циклу стабільної амплітуди.)
Слід зазначити, що концепція умовно стабільної поведінки допомагає зрозуміти великосигнальну продуктивність систем, для яких фазовий зсув наближається, але не перевищує значно нижче\(-180^{\circ}\) кросовера, а потім відновлюється до більш розумного значення при кросовері. Хоча ці системи можуть демонструвати відмінну продуктивність для рівнів сигналу, які обмежують роботу лінійної області, продуктивність, як правило, різко погіршується, коли якийсь елемент у циклі насичується. Наприклад, відновлення цього типу системи після кроку великої амплітуди може включати ряд перенапружень великого сигналу, навіть якщо реакція кроку малого сигналу системи приблизно першого порядку.
Хоча детальний аналіз такої поведінки виходить за рамки цієї книги, приклади продуктивності великих сигналів систем, які наближаються до умовної стабільності, включені в главу 13.
Нелінійна компенсація
Як ми можемо підозрювати, методи компенсації нелінійних систем з використанням лінійних або нелінійних компенсуючих мереж не особливо добре вивчені. Метод вибору часто критично залежить від точних деталей лінійних і нелінійних елементів, включених в цикл. У деяких випадках описно-функціональний аналіз корисний для вказівки компенсаційних підходів, оскільки системи з більшим поділом між\(- 1/G_D(E)\) кривими\(a(j\omega)\) і, як правило, відносно більш стабільні. У цьому розділі окреслено один конкретний метод компенсації нелінійних систем.
Як уже згадувалося раніше, швидкохідні петлі передачі використовуються через великі величини, які вони можуть давати на проміжних частотах. На жаль, якщо зсув фаз цього типу петльової передачі падає нижче\(-180^{\circ}\) на частоті, де його величина перевищує одиницю, може призвести умовна стабільність. Нелінійна компенсація може бути використана для усунення можливості коливань в певних системах з цим типом петлевої передачі.
Як один із прикладів розглянемо систему з лінійно-обласної петлевою передачею
\[-L(s) = \dfrac{200}{(s + 1)(10^{-3} s + 1)^2}\label{eq6.3.26} \]
Ця петльова передача має монотонно зменшується фазовий зсув як функцію збільшення частоти, і демонструє запас фази приблизно\(65^{\circ}\). Отже, безумовна стабільність забезпечується навіть тоді, коли якийсь елемент в циклі насичується.
У спробі покращити десенсивність системи, послідовна компенсація, що складається з посилення та двох функцій перенесення затримки, може бути додана до петльової передачі рівняння\(\ref{eq6.3.26}\), що призводить до модифікованої передачі петлі
\[-L'(s) = \left [\dfrac{200}{(s + 1)(10^{-3} s + 1)^2} \right ] \left [\dfrac{2.5 \times 10^3 (0.02s + 1)^2}{(s + 1)^2} \right ] \label{eq6.3.27} \]
Ця передача петлі, звичайно, використовується для ілюстрації можливості умовної стійкості (Equation\(\ref{eq6.3.23}\)).
Розглянемо ефект реалізації однієї або обох функцій перенесення лаг з мережею типу, показаного на малюнку 6.19. Якщо\(v_c\) величина напруги менше\(V_B\), діоди не проводять і передавальна функція мережі дорівнює
\[\dfrac{V_o (s)}{V_i (s)} = \dfrac{R_2Cs + 1}{(R_1 + R_2)Cs + 1} \nonumber \]
Значення елементів можуть бути обрані для отримання параметрів відставання, включених до Рівняння\(\ref{eq6.3.27}\).
Напруга зміщення\(V_B\) вибирається так, що коли сигнал, що подається в мережу, є тим, який існує, коли цикл коливається, діоди затискають напругу конденсатора протягом більшої частини циклу. У цих умовах коефіцієнт посилення нелінійної мережі (в описувально-функціональному сенсі) дорівнює
\[\dfrac{v_O}{v_I} \simeq \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} \nonumber \]
Зауважте, що якщо обидві функції перенесення затримки реалізуються таким чином, передача петлі може бути зроблена для автоматичного перетворення з тієї, яка задана рівнянням,\(\ref{eq6.3.27}\) до рівняння в\(\ref{eq6.3.26}\) умовах нестабільності, що насувається. Даний вид компенсації дозволяє виключити можливість умовно стабільної роботи в певних системах. Рівні сигналу, що викликають насичення, також знімають функції відставання, і, таким чином, можливість нестабільності може бути усунена.
ПРОБЛЕМИ
Вправа\(\PageIndex{1}\)
Однією з труднощів, пов'язаних з аналізом нелінійних систем, є те, що порядок нелінійних елементів на блок-схемі є важливим. Продемонструйте цей зв'язок, порівнявши характеристики передачі, які виникають при використанні двох нелінійних елементів, показаних на малюнку 6.20, у порядку\(ab\) з характеристиками передачі, які виникають при зміні порядку на\(ba\).
Вправа\(\PageIndex{2}\)
Резольвери - це, по суті, змінні трансформатори, які можуть використовуватися як механіко-кутові перетворювачі. При використанні двох цих пристроїв в сервомеханізмі напруга, отримане від пари, є синусоїдальною функцією різниці між вхідним і вихідним кутами системи. Модель сервомеханізму з використанням резольверів показана на малюнку 6.21.
(а) Напруга, що подається на комбінацію підсилювач-двигун, дорівнює нулю для\(\theta_O - \theta_I = n \pi\), де\(n\) будь-яке ціле число. Використовуйте лінеаризований аналіз, щоб визначити, які з цих точок рівноваги є стабільними.
(b) Система приводиться в рух з постійною вхідною швидкістю 7 радіанів в секунду. Що таке стаціонарна похибка між виходом і входом для цього збудження?
(c) Вхідна швидкість заряджається від 7 до 7,1 радіанів в секунду за нульовий час. Знайдіть відповідний вихідний кут перехідного процесу.
Вправа\(\PageIndex{3}\)
Аналоговий дільник був описаний в розділі 6.2.2. Припустимо, що передавальна функція операційного підсилювача, показана на малюнку 6.2, дорівнює
\[a(s) = \dfrac{3 \times 10^5}{(s + 1)(10^{-5} s + 1)^2 \nonumber \]
Чи є дільник стабільним у діапазоні входів\(-10 < v_A < + 10\),\(0 < v_B < +10\)?
Схема квадратного вкорінення за методикою, аналогічною методиці дільника, показана на малюнку 6.22. Яке ідеальне співвідношення вхід-вихід для цієї схеми? Визначте діапазон вхідних напруг, для яких квадрат-корінь стабільний, припускаючи, що\(a(s)\) це так, як зазначено вище.
Вправа\(\PageIndex{4}\)
На малюнку 6.23 визначені змінні, які можуть бути використані для опису руху перевернутого маятника. Визначити передавальну функцію, яка пов'язує кут 0 з позицією\(x_B\), яка дійсна для малих значень\(\theta\). Підказка. Ви можете виявити, що відносно простим способом отримання необхідної передавальної функції є використання двох одночасних рівнянь (або відповідної структурної схеми), які стосуються\(\theta\) і\(x_T\)\(\theta\) до\(x_B\) і\(x_T\).
Припустимо, що ви в змозі керувати автомобілем\(x_T\) як функція\(\theta\). Знайдіть передавальну функцію\(X_t(s)/\theta (s)\), таку, щоб перевернутий маятник стабілізувався.
Вправа\(\PageIndex{5}\)
Діодно-конденсаторна мережа показана на малюнку 6.24. Побудуйте вихідну напругу, яка призводить до вхідного сигналу синусоїди з піковим значенням\(E\). Можна припустити, що діоди мають ідеальний поріг 0,5 вольта (тобто відсутність провідності до досягнення напруги зміщення вперед 0,5 вольта, можливий будь-який прямий струм без збільшення напруги діода вище 0,5 вольта). Оцініть величину і кут нахилу\(G_D(1)\) для цієї мережі. (Ви, звичайно, можете працювати\(G_D (E)\) в цілому, якщо хочете, але це відносно залучений вираз.)
Вправа\(\PageIndex{6}\)
Визначте описуючу функцію для елемента з передавальними характеристиками, показаними на малюнку 6.25.
Вправа\(\PageIndex{7}\)
Проаналізуйте цикл, показаний на малюнку 6.26. Зокрема, знайти частоту коливань і оцінити рівні сигналів\(v_A\) і\(v_B\). Також обчислимо відношення третьої гармоніки до першої гармоніки на вході до нелінійної
Вправа\(\PageIndex{8}\)
Чи може система, показана на малюнку 6.27, виробляти стабільний цикл обмеження амплітуди? Поясніть.
Вправа\(\PageIndex{9}\)
Знайдіть передавальну функцію, яка в поєднанні з обмежувачем може виробляти граничні цикли стабільної амплітуди на двох різних частотах. Спроектуйте мережу операційного підсилювача, яка реалізує вашу функцію передачі.
Вправа\(\PageIndex{10}\)
Характеристики передачі для тристанального контролера релейного типу проілюстровані на малюнку 6.28.
(a) Показати, що описуюча функція для цього елемента
\[G_D (E) = \dfrac{2}{\pi E} \sqrt{2 + 2\sqrt{1 - \dfrac{1}{E^2}}} \measuredangle -\tan^{-1} \dfrac{1}{E \left (1 + \sqrt{1 - \dfrac{1}{E^2}} \right )}\nonumber \]
(б) Контролер об'єднаний в контур негативного зворотного зв'язку з лінійними елементами з передавальною функцією
\[a(s) = \dfrac{a_0}{(s + 1)(0.1s + 1)}\nonumber \]
Який діапазон значень\(a_0\) для стабільної роботи?
(c) Для\(a_0\) цього вдвічі більше критичного значення, знайдіть амплітуду основної складової сигналу, що подається до контролера.
Вправа\(\PageIndex{11}\)
Одна з можливих конфігурацій для синусоїдального генератора поєднує тригер Шмітта зі\(R-L-C\) схемою, як показано на малюнку 6.29. Знайдіть зв'язок між\(E_M\)\(E_N\), і коефіцієнтом загасання мережі, що гарантує, що коливання можуть бути збережені. (Ви можете припустити незначне навантаження на вході та виході тригера Шмітта.)
Вправа\(\PageIndex{12}\)
Три значення петлі-передачі, задані рівняннями\(\ref{eq6.3.23}\)\(\ref{eq6.3.24}\), і\(\ref{eq6.3.26}\) розглядалися як частина обговорення умовно стійких систем. Припустимо, що три системи негативного зворотного зв'язку побудовані з\(f(s) = 1\) і петлевими передачами, заданими виразами, згаданими вище. Порівняйте продуктивність, розрахувавши перші три коефіцієнти похибки для кожної з трьох систем.