4.4: СТАБІЛЬНІСТЬ НА ОСНОВІ АЧХ

Методи критерію Рута та кореневого локусу дають інформацію про стійкість системи зворотного зв'язку, починаючи з характеристичного рівняння або контурно-передавальних особливостей системи. Таким чином, обидва ці методи вимагають, щоб передача петлі системи була вираженою як співвідношення поліномів в\(s\). Можливі дві труднощі. Система може включати елементи з передавальними функціями, які не можуть бути виражені у співвідношенні скінченних многочленів. Знайомим прикладом цього типу елементів є чиста тимчасова затримка\(\tau\) секунд з передавальною функцією\(e^{-s\tau}\). Друга можливість полягає в тому, що наявна інформація про систему складається з експериментально визначеної частотної характеристики. Апроксимування вимірюваних даних у формі, придатній для аналізу Routh або root-locus, може бути непрактичним.

Методи, описані в цьому розділі, оцінюють стабільність системи зворотного зв'язку, починаючи з її контурної передачі в залежності від частоти. Єдині необхідні дані - це величина і кут цієї передачі, і не обов'язково, щоб ці дані представлялися у вигляді аналітичних виразів. В результаті стабільність може бути визначена безпосередньо з експериментальних результатів.

Критерій Найквіста

Необхідно розробити метод визначення абсолютної та відносної стабільності інформації для систем зворотного зв'язку на основі варіації їх петльових передач з частотою. Припускається топологія рисунка 4.1. Якщо є якась частота,\(\omega\) при якій

\[a(j \omega) f(j \omega) = -1 \nonumber \]

петля передачі складає+1 на цій частоті. Очевидно, що система може потім коливатися на частоті СО, оскільки вона може фактично подавати власний сигнал руху без зовнішнього введення. Такий інтуїтивний аргумент зазнає невдачі у багатьох випадках, що представляють практичний інтерес. Наприклад, система з петлевою передачею +10 на якійсь частоті може бути, а може і не бути

стабільна в залежності від значень петлі-передачі на інших частотах. Критерій Найквіста може бути використаний для вирішення цього та інших питань стабільності. Тест визначає, чи є якісь значення s з позитивними дійсними частинами, для яких\(a(s)f(s) = -1\). Якщо ця умова виконується, характеристичне рівняння системи має правий напівплощинний нуль, що має на увазі нестабільність. Для використання критерію Найквіста функція\(a(s)f(s)\) оцінюється як s приймає значення по контуру, показаному на графіку\(s\) -площині малюнка 4.16. Контур включає в себе відрізок уявної осі і замкнутий великим півколом радіуса\(R\), що лежить в правій половині\(s\) площини. Значення\(a(s)f(s)\) as\(s\) змінюється по вказаному контуру побудовані в фазовій формі посилення в площині автофокусування. Можливий\(af\) -плоский графік показаний на малюнку 4.17. Симетрія щодо\(0^{\circ}\) лінії в\(af\) площині характерна для всіх таких ділянок з тих пір\(\text{Im} [a(j\omega )f(j\omega )] = - \text{Im} [a(-j\omega )f(-j\omega)]\).

Малюнок 4.16 Контур Використовується для оцінки\(a(s) f(s)\).

Малюнок 4.17 Ділянка\(a(s) f(s)\) як\(s\) змінюється по контуру малюнка 4.16.

Наша мета полягає в тому, щоб визначити, чи є якісь значення\(s\), що лежать у затіненій області малюнка 4.16, для якого\(a(s)f(s) = - 1\). Це визначення спрощується шляхом визнання того, що в перетворенні беруть участь карти замкнутих контурів в\(s\) площині в замкнуті контури в\(af\) площині. Крім того,

всі значення\(s\), що лежать на одній стороні контуру в\(s\) площині, повинні відображатися з значеннями\(af\), які лежать на одній стороні відповідного контуру в\(af\) площині. Точки - 1 чітко позначені на графіку\(af\) -площині. Таким чином, єдине завдання, що залишилося - визначити, чи відображається затінена область на малюнку 4.16 на внутрішню або зовнішню сторону контуру на малюнку 4.17. Якщо вона відображає внутрішню частину, є два значення\(s\) в правій половині площини для яких\(a(s)f(s) = -1\), і система нестабільна.

Форма графіка\(af\) -plane та відповідні області двох ділянок легко визначаються з того,\(a(s)f(s)\) як показано на наступних прикладах. На малюнку 4.18 вказана загальна форма ділянок\(s\) -площини та\(af\) -площини для

\[a(s) f(s) = \dfrac{10^3}{(s + 1)(0.1s + 1)(0.01s + 1)} \nonumber \]

Малюнок 4.18 Тест Найквіста для\(a(s) f(s) = 10^3/[(s + 1)(0.1 s + 1)(0.01s + 1)]\). (\(a\))\(s\) -площинний сюжет. (\(b\))\(af\) -площинний сюжет.

Зверніть увагу, що величина\(af\) в даному\(10^3\) прикладі дорівнює нулю, а кут дорівнює нулю\(s = 0\). У\(s\) міру наближення значень до +\(jR\) кут\(af\) змінюється від 0' в бік\(-270^{\circ}\), і його величина зменшується. Ці відносини легко отримують від звичайних векторних маніпуляцій в\(s\) площині. При досить великому\(R\) значенні величина af довільно мала, а кут його майже\(-270^{\circ}\). Оскільки s приймає значення в правій половині площини по півколу радіуса\(R\), величина\(af\) залишається постійною (\(R\)набагато більшою, ніж відстань будь-яких особливостей af від початку), а його кут змінюється від\(-270^{\circ}\) до\(0^{\circ}\) як\(s\) йде від + \(jR\)до +\(R\). Залишок ділянки\(af\) -plane повинен бути симетричним щодо\(0^{\circ}\) лінії.

Для того щоб показати, що дві затінені області відповідають один одному, невеликий обхід від контуру в\(s\) площині роблять за\(s = 0\) вказаним на малюнку 4.18\(a\). Оскільки s передбачає реальні позитивні значення, величина\(a(s)f(s)\) зменшується, так як відстань від точки на тестовому об'їзді до кожного з полюсів збільшується. Таким чином, об'їзд створює значення в\(af\) площині, які лежать в затіненій області. Хоча ми зазвичай використовуємо тестовий об'їзд для визначення відповідних областей у двох площинях, кутові відносини, зазначені в цьому прикладі, є загальними. Через те, як осі вибираються в двох площинях, правосторонні повороти в одній площині відображаються ліві повороти в іншій. Наслідок цього розвороту проілюстрований на малюнку 4.18. Зверніть увагу, що якщо слідувати контуру в\(s\) площині в напрямку стрілок, затінена область знаходиться праворуч від нас. Зворот кута розміщує відповідну область в площині автофокусування вліво, коли її межа слідує у напрямку стрілок.

Оскільки дві - 1 точки лежать в затіненій області площини автофокусування, є два значення\(s\) в правій половині площини, для яких\(a(s)f(s) = - 1\) і система нестабільна. Відзначимо,\(a_0f_0\) що при зменшенні контур в площині аф ковзає вниз і при досить малих\(a_0f_0\) значеннях система стійка. Геометричний розвиток або критерій Раута показує, що система стабільна для позитивних значень\(a_0f_0\) менше 122,21.

Контури із загальною формою, показаною на малюнку 4.19, виходять, якщо нуль додається при початковому значенні, що змінюється\(a(s)f(s)\) на

\[a(s) f(s) = \dfrac{10^3 s}{(s + 1)(0.1s + 1)(0.01s + 1)} \nonumber \]

Щоб уникнути невизначеності кута та величини, які виникають, якщо контур s-площини проходить через сингулярність, використовується кругова дуга малого радіуса, щоб уникнути нуля. Показано два тестових об'їзду на контурі s-площини. Коли слідує перше, величина af збільшується, оскільки домінуючим ефектом є вихід з нуля. Коли слідує другий тестовий об'їзд, величина\(af\) збільшується, оскільки цей об'їзд наближається до трьох полюсів і лише одного нуля. Розташування затіненої області в\(af\) площині вказує на те, що точки - 1 залишаються поза цією областю при всіх позитивних значеннях\(a_0\) і, отже, система стабільна для будь-якої кількості негативного зворотного зв'язку.

Малюнок 4.19 Тест Найквіста для\(a(s) f(s) = 10^3 s/[(s + 1)(0.1s + 1)(0.01s + 1)]\). (\(a\))\(s\) -площинний сюжет. (\(b\))\(af\) -площинний сюжет.

Тест Nyquist також може бути використаний для систем, які мають один або кілька полюсів передачі петлі в правій половині площини і, таким чином, нестабільні без зворотного зв'язку. Приклад такого типу системних результатів для

\[a(s) f(s) = \dfrac{a_0}{s - 1} \nonumber \]

з\(s\) -plane і\(af\) -plane графіки показані на рис. 4.20\(a\) і 4.20\(b\). Лінія, позначена позначками + на\(af\) графіку -plane, є спробою показати, що для цієї системи кут повинен бути безперервним у міру\(s\) зміни від\(j0^-\) до\(j0^+\). Для того, щоб зберегти цю необхідну безперервність, ми повинні усвідомити, що\(+180^{\circ}\) і\(-180^{\circ}\) є однаковими кутами, і уявити площину автофокусування як циліндр, з'єднаний на\(\pm 180^{\circ}\) лініях. Ця концепція робиться дещо менш тривожною, використовуючи полярні координати для графіка\(af\) -plane, як показано на малюнку 4.20\(c\). Тут -1 точка з'являється тільки один раз. Використання тестового обходу показує, що значення\(s\) в правій половині площини карти за межами кола, яке простягається від 0 до\(-a_0\) як показано на малюнку\(c\) 4.20. Розташування точки - 1 в будь-якому з площин аф показує, що система стабільна тільки для\(a_0 > 1\).

Зверніть увагу, що точки - 1 в\(af\) площині, що відповідають кутам\(\pm 180^{\circ}\) згортання, до однієї точки, коли формується циліндр af, необхідний для конструкції Nyquist для цього прикладу. Ця особливість і характер контуру af показують,\(a_0\) що коли менше одиниці, є тільки одне значення\(s\) для якого\(a(s)f(s) = - 1\). Таким чином, ця система має єдиний замкнутий полюс на позитивній дійсній осі для значень\(a_0\), які призводять до нестабільності.

Ця система вказує на інший тип труднощів, з якими можна зіткнутися з системами, які мають особливості передачі петлі правої півплощини. Кут нахилу\(a(j\omega )f(j\omega )\) знаходиться\(180^{\circ}\) на низьких частотах, маючи на увазі, що система фактично має позитивний зворотний зв'язок на цих частотах. (Згадайте додаткову інверсію, включену в точку підсумовування в нашому стандартному поданні.) Подання s-площини (рис. 4.20\(a\)) є послідовним, оскільки вказує кут\(180^{\circ}\) for\(s = 0\). Таким чином, ніякої процедурної модифікації типу де описано в розділі 4.3.3 в цьому випадку не потрібно.

Тлумачення сюжетів Боде

Ділянка Боде не містить інформації стосовно значень af, оскільки контур у\(s\) площині замкнутий, що необхідно для застосування тесту Найквіста. Досвід показує, що найпростіше визначити стійкість

з ділянки Боде довільної передачі петлі полягає в тому, щоб приблизно намалювати повний графік\(af\) -plane і застосувати тест Nyquist, як описано в розділі 4.4.1. Однак для багатьох систем, що представляють практичний інтерес, можна обійти цей крок і використовувати інформацію Боде безпосередньо.

Наступні два правила розвиваються з тесту Nyquist для систем, які мають негативний зворотний зв'язок на низьких або середніх частотах і які не мають особливостей правої півплощини в їх передачі петлі.

Малюнок 4.20 Тест Найквіста для\(a(s) f(s) = a_0/(s - 1)\). (\(a\))\(s\) -площинний сюжет. (\(b\))\(af\) -площинний сюжет. (\(c\))\(af\) -плоский сюжет (полярні координати).

1. Якщо величина af дорівнює 1 тільки на одній частоті, система стабільна, якщо кут\(af\) знаходиться між\(+180^{\circ}\) і\(-180^{\circ}\) на одиничній частоті посилення.
2. Якщо кут автофокусування проходить через\(+180^{\circ}\) або тільки\(-180^{\circ}\) на одній частоті, система стабільна, якщо величина автофокусу менше 1 на цій частоті.

Інформація щодо відносної стабільності системи зворотного зв'язку також може бути визначена за графіком Боде з наступної причини. Значення\(s\) для яких\(af = - 1\) є замкнутими полюсами розташування системи зворотного зв'язку. Тест Найквіста використовує цей зв'язок для того, щоб визначити абсолютну стабільність системи. Якщо система стабільна, але пара -1 з\(af\) відбувається для значень s, близьких до уявної осі, система повинна мати пару замкнутих полюсів з малим коефіцієнтом демпфування.

Малюнок 4.21 Циклічно-передавальні величини.

Величини, показані на малюнку 4.21, дають корисну оцінку близькості -1\(af\) до уявної осі і, таким чином, вказують на відносну стійкість. Запас фази - це різниця між кутом автофокусування і\(-180^{\circ}\) на частоті, де величина af дорівнює 1. Фазовий запас\(0^{\circ}\) вказує на замкнуті полюси на осі зображення, і тому запас фази є мірою додаткового негативного зсуву фази на одиничній величині частоти, що призведе до нестабільності. Аналогічно, запас посилення - це сума збільшення посилення, необхідна для того, щоб зробити величину одиниці на частоті, де кут\(af\) є\(-180^{\circ}\), і являє собою\(af\)

величина збільшення\(a_0f_0\) необхідного, щоб викликати нестабільність. Частота, на якій величина\(af\) дорівнює одиниці, називається одиницькою частотою посилення або частотою кросовера. Цей параметр характеризує відносну частотну характеристику або швидкість часового відгуку системи.

Особливо цінною особливістю аналізу, заснованого на характеристиках петлі-передачі системи, є те, що запас посилення та запас фази, величини, які швидко і легко визначаються за допомогою методів Боде, дають напрочуд хороші вказівки на відносну стабільність системи зворотного зв'язку. Як правило, встановлено, що запаси посилення трьох або більше в поєднанні з фазовими маржами між 30 і\(60^{\circ}\) призводять до бажаних компромісів між смугою пропускання або часом зростання і відносною стабільністю. Менші значення коефіцієнта посилення та запасу фази відповідають меншій відносній стабільності і уникаються, якщо необхідно невелике перенапруження у відповідь на крок або невеликий пік частотної реакції або якщо є можливість серйозних змін значень параметрів.

Смуга пропускання замкнутого циклу та час підйому майже безпосередньо пов'язані з частотою посилення одиниці для систем з рівним коефіцієнтом посилення та фазового поля. Таким чином, будь-які зміни, які збільшують частоту посилення одиниці при збереженні постійних значень коефіцієнта посилення та фазового поля, як правило, збільшують пропускну здатність із замкнутим циклом та зменшують час зростання замкнутого циклу.

Певні зв'язки між цими трьома величинами та відповідною продуктивністю замкнутого циклу наведені в наступному розділі. Перш ніж представити ці зв'язки, підкреслюється, що простота та досконалість результатів, пов'язаних з аналізом частотної реакції, робить цей метод часто використовуваним, особливо на початковому етапі проектування. Після визначення орієнтовної конструкції, заснованої на цих концепціях, може бути досліджена більш детальна інформація, така як точне розташування сингулярностей із замкнутим циклом або перехідна реакція системи, часто за допомогою машинних обчислень.

Продуктивність замкнутого циклу з точки зору параметрів петлі-передачі

Кількість, як правило,\(a(j\omega )f(j\omega )\) можна швидко та точно отримати у формі Боде-сюжету. Також легко визначається вплив змін системних параметрів на передачу петлі. Таким чином, приблизні співвідношення між передачею циклу та продуктивністю замкнутого циклу забезпечують корисну та потужну основу для проектування системи зворотного зв'язку.

Співвідношення «вхід-вихід» для системи типу, проілюстрованого на малюнку 4.10\(a\),

\[A(s) = \dfrac{V_o (s)}{V_i (s)} = \dfrac{a(s)}{1 + a(s) f(s)} \nonumber \]

Якщо система стабільна, функція передачі замкнутого циклу системи може бути апроксимована для граничних значень петльової передачі як

\[A(j \omega ) \simeq \dfrac{1}{f(j \omega )} \ \ \ |a (j \omega ) f (j \omega ) | \gg 1\label{eq4.4.6} \]

\[A(j \omega ) \simeq a(j \omega ) \ \ \ |a (j \omega ) f (j \omega ) | \ll 1 \label{eq4.4.7} \]

Однією з цілей проектування систем зворотного зв'язку є забезпечення того, щоб наближення\(\ref{eq4.4.6}\) рівняння дійсне на всіх частотах, що цікавлять, так що посилення системи із замкнутим контуром контролюється елементом зворотного зв'язку. Наближення Рівняння\(\ref{eq4.4.7}\) відносно неважливо, оскільки система ефективна, що працює без зворотного зв'язку в даному випадку. Хоча ми зазвичай не очікуємо, що система забезпечує точно кероване посилення із замкнутим контуром на частотах, де величина передачі петлі близька до одиниці, обговорення розділу 4.4.2 показує, що відносна стабільність системи значною мірою визначається її продуктивністю на цій частоті діапазон.

Малюнок 4.22 Діаграма Ніколса.

Діаграма Ніколса, показана на малюнку 4.22, забезпечує зручний метод оцінки коефіцієнта посилення замкнутого циклу системи зворотного зв'язку від її петлевої передачі, і особливо цінна, коли жодне з граничних наближень Рівняння\(\ref{eq4.4.6}\) і не\(\ref{eq4.4.7}\) є дійсним. Ця діаграма стосується\(G/(1 + G)\) того\(G\), де\(G\) знаходиться будь-яке комплексне число. Для того, щоб використовувати діаграму, значення значень\(G\) знаходиться на прямокутних координатах посилення фази. Кут і величина\(G/(1 + G)\) зчитуються безпосередньо з кривих координат, які перетинають значення\(G\) вибраного.

Координати фази посилення, показані на малюнку 4.22, охоплюють повний\(0^{\circ}\)\(-360^{\circ}\) діапазон за кутом і відношення величини.\(10^6\) Цей діапазон величин є непотрібним, оскільки наближення Рівняння\(\ref{eq4.4.6}\) і зазвичай\(\ref{eq4.4.7}\) дійсні, коли величина петлі-передачі перевищує 10 або менше 0,1. Аналогічно, діапазон кутів, що представляють найбільший інтерес, - це той, який оточує\(-180^{\circ}\) значення і який включає очікувані межі фази. Діаграма Ніколса, показана на малюнку 4.23, розширена, щоб забезпечити більшу роздільну здатність у регіоні, де вона зазвичай буде використовуватися.

Одним з ефективних способів перегляду діаграми Ніколса є тривимірна поверхня, з висотою поверхні пропорційною величині функції передачі замкнутого циклу, що відповідає параметрам петлі-передачі, що визначають точку інтересу. Ця візуалізація показує «гору» (з піком нескінченної висоти), де передача петлі дорівнює +1.

Діаграма Ніколса може бути використана безпосередньо для будь-якої системи зворотного зв'язку з єдністю. Перетворення, зазначене на малюнку 4.10,\(b\) показує, що діаграма може бути використана для довільних одноконтурних систем, спостерігаючи, що

\[A(j \omega) = \dfrac{a(j\omega)}{1 + a(j\omega) f(j \omega)} = \left [\dfrac{a(j\omega) f(j \omega)}{1 + a(j\omega) f(j \omega)} \right ]\left [\dfrac{1}{f(j \omega)} \right ] \nonumber \]

Частотна характеристика замкнутого циклу визначається множенням коефіцієнта,\(a(j\omega) f(j \omega)/[1 + a(j\omega) f(j \omega)]\) отриманого за допомогою діаграми Ніколса за\(1/f(j\omega)\) допомогою методик Боде.

Однією з величин, що представляють інтерес для систем зворотного зв'язку з частотно-незалежними шляхами зворотного зв'язку, є пікова величина, що\(M_p\) дорівнює відношенню величини максі мами\(A(j\omega)\) до її низькочастотної величини (див. Розділ 3.5). Велике значення для\(M_p\) вказує на відносно менш стабільну систему, оскільки вона показує, що існує певна частота, для якої характеристичне рівняння наближається до нуля, і, таким чином, є пара полюсів із замкнутим контуром поблизу уявної осі приблизно на піковій частоті. Підсилювачі зворотного зв'язку часто розроблені\(M_p\) так, щоб вони мали від 1.1 до 1.5. Більш низькі значення для\(M_p\) означають більшу відносну стабільність, тоді як більш високі значення вказують на те, що стабільність була порушена для отримання більшої низькочастотної передачі петлі та більш високої частоти кросовера.

Малюнок 4.23 Розширені діаграми Ніколса.

Значення\(M_p\) для конкретної системи можна легко визначити з діаграми Ніколса. Крім того, діаграма може бути використана для оцінки впливу варіацій передачі петлі на\(M_p\). Одна часто використовувана маніпуляція визначає взаємозв'язок між системою\(M_p\) та\(a_0f_0\) для системи з фіксованими особливостями передачі петлі. Кількість спочатку\(a(j\omega )f(j\omega )/a_0f_0\) наноситься на координати фази посилення, використовуючи ту саму шкалу, що і діаграма Ніколса. Якщо цей сюжет зроблений на кальці, його можна вирівняти з діаграмою Ніколса і ковзати вгору або вниз, щоб проілюструвати ефекти різних значень\(a_0f_0\). Функція передачі замкнутого циклу отримується безпосередньо з діаграми Ніколса шляхом оцінки на різних частотах,\(A(j\omega )\) в той час як найвища крива величини діаграми Ніколса, до якої торкнулася\(a(j\omega )f(j\omega )\) для конкретного значення,\(a_0f_0\) вказує на відповідне\(M_p\).

На малюнку 4.24 показана ця конструкція для системи з\(f = 1\) і

\[a(s) = \dfrac{a_0}{(s + 1)(0.1s + 1)} \nonumber \]

Значення\(a_0\) для трьох петлевих передач становлять 8,5, 22 і 50. Відповідними\(M_p\) є 1, 1.4 та 2 відповідно.

Хоча діаграма Ніколса зазвичай використовується для визначення функції замкнутого циклу від передачі циклу, можна використовувати її для того, щоб піти іншим шляхом; тобто визначити\(a(j\omega )f(j\omega )\) від\(A(j\omega )\). Це перетворення іноді корисно для аналізу систем, для яких практичні лише вимірювання із замкнутим циклом. Перетворення дає хороші результати, коли величина\(a(j\omega )f(j\omega )\) близька до одиниці. Крім того, наближення Рівняння\(\ref{eq4.4.7}\) показує, що\(A(j\omega ) \simeq a(j\omega )\) коли величина передачі петлі невелика. Однак рівняння\(\ref{eq4.4.6}\) вказує на те,\(A(j\omega )\) що по суті не залежить від передачі петлі, коли величина передачі петлі велика. Дослідження діаграми Ніколса підтверджує цей результат, оскільки він показує, що дуже малі зміни величини або кута замкнутого циклу призводять до дуже великих змін передачі петлі для великих величин передачі петлі. Таким чином, навіть невеликі похибки при\(A(j\omega )\) вимірюванні виключають оцінку великих значень\(a(j\omega )f(j\omega )\) при будь-якій точності.

Відносна стійкість системи зворотного зв'язку та багато інших важливих характеристик її відгуку в замкнутому контурі багато в чому визначаються поведінкою її контурної передачі на частотах, де величина цієї величини близька до одиниці. Наближення, представлені нижче, пов'язують величини замкнутого циклу, визначені в розділі 3.5, до властивостей передачі петлі, визначених у розділі 4.4.2. Ці наближення корисні для прогнозування реакції із замкнутим циклом, порівняння продуктивності різних систем та оцінки впливу змін у передачі петлі на продуктивність замкнутого циклу.

Малюнок 4.24 Визначення функції передачі замкнутого циклу для\(a(s) = a_0/[(s + 1)(0.1s + 1)]\),\(f = 1\).

Тут передбачаються припущення, використані в розділі 3.5, зокрема, що\(f\)\(a_0\) є одним на всіх частотах, що є великим, і що найнижча частота сингулярності\(a(s)\) є полюсом. За цих умов

\[M_p \simeq \dfrac{1}{\sin \phi_m}\label{eq4.4.10} \]

Малюнок 4.25\(M_p\) для декількох систем з\(45^{\circ}\) запасом фази.

де\(\phi_m\) - запас фази. Міркування, що призводять до такого наближення, проілюстровані на малюнку 4.25. Цей малюнок показує кілька кривих величини замкнутого циклу поблизу\(M_p = 1.4\) і передбачає, що запас фази системи є\(45^{\circ}\). Оскільки точка\(|G| = 1, \measuredangle G = -135^{\circ}\) повинна існувати для системи з запасом\(45^{\circ}\) фази, немає можливого способу, який\(M_p\) може бути менше приблизно 1,3, і крива посилення фази петлі-передачі повинна бути цілком конкретно обмежена для того, щоб\(M_p\) просто дорівнювати цьому значенню. Якщо передбачається, що величина та кут лінійно пов'язані,\(G\) лінійні конструкції, включені на рис. 4.25, показують, що вони\(M_p\) не можуть перевищувати приблизно 1,5, якщо запас посилення не дуже малий. Добре поводяться системи насправді, швидше за все, мають криву посилення фази, яка забезпечує розширену область наближеного дотику до\(M_p = 1.4\) кривої для фазового запасу\(45^{\circ}\). Подібні аргументи дотримуються і для інших значень фазового запасу, і наближення\(\ref{eq4.4.10}\) Рівняння добре підходить до співвідношення між фазовим запасом і відповідним\(M_p\).

Два інших наближення пов'язують перехідну характеристику системи з її частотою кросовера\(\omega_c\).

\[\dfrac{0.6}{\omega_c} < t_r < \dfrac{2.2}{\omega_c} \nonumber \]

Більш короткі значення часу підйому відповідають меншим значенням фазового запасу.

\[t_s > \dfrac{4}{\omega_c} \nonumber \]

Межа наближається тільки для систем з великими запасами фаз.

Побачимо, що передавальна функція розімкнутого контуру багатьох операційних підсилювачів включає в себе один полюс на низьких частотах і другий полюс поблизу одиничної частоти посилення підсилювача. Якщо в динаміці системи переважають ці два полюси, коефіцієнт загасання і власна частота системи другого порядку, яка наближає фактичну замкнуту систему, можна отримати з параметрів Бод-графіка системи з частотно-незалежним шляхом зворотного зв'язку за допомогою кривих, показаних на малюнку 4.26 \(a\). Криві, показані на малюнку 4.26,\(b\) стосуються перевищення\(M_p\) піків і для системи другого порядку

до коефіцієнта демпфування і виведені за допомогою рівнянь 4.3.24 і 4.3.28. Хоча співвідношення рис. 4.26 суворо\(a\) справедливі лише для системи з двома широко розставленими полюсами в її петлі передачі, вони забезпечують точне наближення, забезпечуючи виконання двох умов.

1. Величина передачі петлі системи падає як\(1/\omega\) на частотах між одним десятиліттям нижче кросовера і наступною більш високою частотною сингулярністю.
2. Додатковий негативний зсув фаз забезпечується в безпосередній близькості від частоти кросовера іншими складовими контурної передачі.

Малюнок 4.26 Величини\(a\) замкнутого циклу від параметрів петлі-передачі для системи з двома широко розташованими полюсами. Коефіцієнт демпфування та власна частота як функція запасу фази та частоти кросовера.

Значення цих кривих полягає в тому, що вони забезпечують спосіб визначення апроксимуючої системи другого порядку або з фазового запасу\(M_p\), або пікового перевищення складної системи. Обґрунтованість такого підходу випливає з того, що більшість систем повинні переважати один або два полюси поблизу частоти кросовера, щоб отримати прийнятну продуктивність. Приклади, що ілюструють використання цих наближень, включені в наступні розділи. Ми побачимо, що перехідні відповіді, засновані на наближенні, практично не відрізняються від реакцій фактичної системи у багатьох випадках, що представляють інтерес.

Малюнок 4.26\(b\)\(P_0\) і\(M_p\) проти коефіцієнта демпфування для системи другого порядку.

Перший значний коефіцієнт похибки для системи з одиничним зворотним зв'язком також можна визначити безпосередньо з її графіка Боде. Якщо петльова передача включає широкий діапазон частот нижче частоти кросовера, де її величина дорівнює\(k/\omega^n\), коефіцієнти похибки\(e_0\) через\(e_{n - 1}\) мізерно малі і\(e_n\) рівні\(1/k\).

ПРОБЛЕМИ

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Знайти кількість нулів правої півплощини многочлена

\[P(s) = s^5 + s^4 + 3s^3 + 4s^2 + s + 2\nonumber \]

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Генератор фазового зсуву будується з петлевою передачею

\[L(s) = -\dfrac{a_0}{(\tau s + 1)^4} \nonumber \]

Використовуйте умову Routh, щоб визначити значення ao, яке розміщує пару полюсів із замкнутим контуром на уявній осі. Також визначте розташування стовпів. Використовуйте цю інформацію для фактора характеристичного рівняння системи, таким чином знаходячи розташування всіх чотирьох замкнутих полюсів для критичного значення\(a_0\).

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Опишіть, як тест Раута може бути модифікований для визначення дійсних частин усіх сингулярностей у поліномі. Також поясніть, чому ця модифікація зазвичай має мало значення як обчислювальний посібник для факторингу полінома.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Доведіть правило побудови кореневого локусу, яке встановлює кут і перетин асимптотів гілки з дійсною віссю.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Ескіз діаграм коріння-локуса для малюнка сингулярності петлі-передачі показаний на малюнку 4.27. Оцініть частину\(c\) для помірних значень\(a_0f_0\), і частина\(d\) для як помірних, так і дуже великих значень\(a_0f_0\).

Малюнок 4.27 Схеми сингулярності петлі передачі.

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Розглянемо дві системи, обидві з\(f = 1\). Одна з таких систем має функцію передачі вперед

\[a(s) = \dfrac{a_0 (0.5s + 1)}{(s + 1)(0.01s + 1)(0.51 s + 1)} \nonumber \]

тоді як друга система має

\[a'(s) = \dfrac{a_0 (0.51s + 1)}{(s + 1)(0.01s + 1)(0.5 s + 1)} \nonumber \]

Здоровий глузд диктує, що функції передачі цих систем із замкнутим циклом повинні бути дуже майже однаковими і, крім того, що обидві повинні бути схожими на систему з

\[a''(s) = \dfrac{a_0}{(s + 1)(0.01s + 1)} \nonumber \]

[Близько розташовані полюс-нульові дублети в\(a(s)\) і\(a'(s)\) повинні ефективно скасувати.] Використовуйте діаграми кореневих локусів, щоб показати, що відповіді із замкнутим циклом насправді схожі.

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Операційний підсилювач має функцію передачі з відкритим контуром

\[a(s) = \dfrac{10^6}{(0.1s + 1)(10^{-6} s + 1)^2}\nonumber \]

Цей підсилювач поєднується з двома резисторами в конфігурації неінверторного підсилювача. Нехтуючи навантаженням, визначте значення посилення замкнутого циклу, яке виникає, коли коефіцієнт демпфування складної полюсної пари із замкнутим контуром дорівнює 0,5.

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Операційний підсилювач має функцію передачі з відкритим контуром

\[a(s) = \dfrac{10^5}{(\tau s + 1)(10^{-6} s + 1)}\nonumber \]

Кількість\(\tau\) можна регулювати, змінюючи компенсацію підсилювача. Використовуйте методи кореневого контуру для визначення значення\(\tau\), яке призводить до коефіцієнта загасання замкнутого циклу 0,707, коли підсилювач підключений як інвертор одиниці посилення.

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Система зворотного зв'язку, що включає тимчасову затримку, має петлю передачі.

\[L(s) = -\dfrac{a_0 e^{-0.01 s}}{(s + 1)}\nonumber \]

Використовуйте тест Найквіста, щоб визначити максимальне значення\(a_0\) для стабільної роботи. Яке значення\(a_0\) слід вибрати,\(M_p\) щоб обмежитися коефіцієнтом 1,4? (Ви можете припустити, що шлях зворотного зв'язку системи є незалежним від частоти.)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Ми досліджували стабільність систем зворотного зв'язку, які, як правило, мають низькочастотний характер, оскільки передавальні функції більшості з'єднань операційно-підсилювача потрапляють до цієї категорії. Однак проблеми зі стабільністю виникають і в системах високих частот. Наприклад, підсилювачі зворотного зв'язку a-c, призначені для використання на звукових частотах, іноді демонструють низькочастотну нестабільність під назвою «мотор-човни». Використовуйте тест Найквіста, щоб продемонструвати можливість такого типу нестабільності для підсилювача з петлевою передачею

\[L(s) = -\dfrac{a_0 s^3}{(s + 1)(0.1s + 1)^2}\nonumber \]

Також показати потенційно нестабільну поведінку за допомогою методів root-locus. Для якого діапазону значень\(a_0\) підсилювача стабільний?

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Розробити модифікацію тесту Найквіста, яка дозволяє визначити, чи має система зворотного зв'язку полюси із замкнутим контуром із коефіцієнтом демпфування менше 0,707. Проілюструйте свій тест, сформувавши модифіковану діаграму Найквіста для системи з\(a(s) = a_0/(s + 1)^2\),\(f(s) = 1\). При якому значенні\(a_0\) коефіцієнт загасання полюсної пари із замкнутим контуром дорівнює 0,707? Перевірте свою відповідь, враховуючи характеристичне рівняння для цього значення\(a_0\).

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Функція передачі з розімкнутим контуром операційного підсилювача є

\[a(s) = \dfrac{10^5}{(0.1s + 1)(10^{-6} s + 1)^2}\nonumber \]

Визначте запас посилення, запас фази, частоту кросовера, а\(M_p\) для цього підсилювача при використанні в зворотному зв'язку с\(f = 1\). Також знайдіть значення off, що призводить\(M_p\) до 1.1. Для чого потрібні значення запасу фази та посилення та частоти кросовера з цим значенням\(f\)?

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Система зворотного зв'язку побудована з

\[a(s) = \dfrac{10^6 (0.01s + 1)^2}{(s+1)^3}\nonumber \]

і регульоване, незалежне від частоти значення для\(f\). При\(f\) збільшенні з нуля спостерігається, що система стабільна при дуже малих значеннях вимкнена, потім стає нестабільною, і з часом повертається до стабільної поведінки при досить високих значеннях\(f\). Поясніть цю продуктивність за допомогою аналізу Nyquist та root-locus. Використовуйте критерій Routh для визначення двох прикордонних значень для\(f\).

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Операційний підсилювач із частотно-незалежним шляхом зворотного зв'язку демонструє 40% перенапруження та час підйому від 10 до 90% від 0,5 пс у відповідь на кроковий вхід. Оцініть запас фази і частоту кросовера зворотного зв'язку, припускаючи, що в його продуктивності переважають два широко розділених полюса петлі-передачі.

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Розглянемо систему зворотного зв'язку з

\[a(s) = \dfrac{a_0}{s[(s^2/2) + s +1]}\nonumber \]

і\(f(s) = 1\).

Покажіть, що при відповідному виборі ao полюси замкнутого циклу системи можуть бути розміщені за шаблоном Баттерворта третього порядку. Знайти частоту кросовера і фазовий запас петлі передачі\(a_0\) при виборі для закритого циклу відгуку Баттерворта. Використовуйте ці величини спільно з малюнком 4.26, щоб знайти коефіцієнт загасання та власну частоту системи другого порядку, яка може бути використана для наближення перехідного відгуку фільтра Баттерворта третього порядку. Порівняйте пікове перенапруження та час підйому апроксимуючої системи у відповідь на крок з тими, що мають відповідь Баттерворта (рис. 3.10). Зауважте, що, незважаючи на те, що ця система значно відрізняється від тієї, яка використовується для розробки малюнка 4.26, наближення прогнозує параметри часової області з справедливою точністю.