1.2: Коефіцієнт посилення із замкнутим контуром операційного підсилювача

Як згадувалося у вступі, більшість операційних підсилювачів connec включають зворотний зв'язок. Тому користувач зазвичай зацікавлений у стримуванні видобутку із замкнутим контуром посилення або функції передачі із замкнутим контуром підсилювача, що призводить до включення зворотного зв'язку. Як ми побачимо, ця величина може бути в першу чергу залежна від характеристик зворотного зв'язку ele ments у багатьох випадках, що цікавлять.

Обов'язковою умовою матеріалу, представленого в іншій частині цієї книги, є можливість визначення коефіцієнта посилення підсилювача зворотного зв'язку мережі com bination в простих з'єднаннях. Методи, що використовуються для оцінки посилення із замкнутим контуром, викладені в цьому розділі.

Малюнок 1.1 Символ операційного підсилювача.

Розрахунок коефіцієнта посилення із замкнутим циклом

Символ, який використовується для позначення операційного підсилювача, показаний на малюнку 1.1. Показаний підсилювач має диференціальний вхід і один вихід. Вхідні клеми, позначені - і +, називаються інвертуючими і неінвертирующими вхідними клемами відповідно. Мається на увазі зв'язок лінійної області між вхідними та вихідними змінними (*)

* Позначення, що використовується для позначення системних змінних, складається з символу та індексу. Ця комбінація служить не тільки міткою, але і для ідентифікації характеру величини наступним чином:
Всього миттєвих змінних: символи
нижнього регістру з верхніми індексами.
Змінні спокою або з операційною точкою: символи
верхнього регістру з верхніми індексами.
Інкрементні миттєві змінні: символи
нижнього регістру з нижніми індексами.
Складні амплітуди або перетворення Лапласа інкрементних змінних: символи
верхнього регістру з нижніми індексами.
Використовуючи це позначення, ми б написали\(v1 = V_1 + v_i\), вказуючи, що миттєве значення vi складається з спокою плюс інкрементного компонента. Перетворення vi є Vi. Позначення часто\(V_i (s)\) використовується для посилення того факту, що\(V_i\) є функцією комплексної змінної\(s\).

\[V_o = a(V_a - V_b) \nonumber \]

Величина a в цьому рівнянні - це коефіцієнт посилення розімкнутого контуру або функція передачі з розімкнутим контуром підсилювача. (Зверніть увагу, що коефіцієнт посилення a передбачається, навіть якщо він явно не вказаний всередині символу підсилювача.) Динаміка, зазвичай пов'язана з цією передавальною функцією, часто підкреслюється письмовим записом\(a(s)\).

Також необхідно забезпечити робоче живлення оперативного вогню підсилювача через клеми живлення. Багато операційні підсилювачі використовують збалансовані (рівні позитивні і негативні) напруги живлення. Різні сигнали зазвичай посилаються на загальне заземлення цих джерел живлення. Підключення живлення, як правило, не включаються в діаграми, як правило, лише вказують відносини між змінними сигналу, оскільки усунення цих з'єднань спрощує діаграму.

Хоча операційні підсилювачі використовуються в безлічі конфігурацій, багато додатків є варіаціями або інвертуючого з'єднання (рис. 1.2a), або неінвертуючого з'єднання (рис. 1.2b). Ці з'єднання com bine підсилювач з імпедансами, які забезпечують зворотний зв'язок.

Функція передачі із замкнутим контуром розраховується наступним чином для інвертного з'єднання. Через еталонну полярність, обрану для міжпосередницької змінної\(V_a\),

\[V_o = -aV_a \nonumber \]

Малюнок 1.2 Підключення операційно-підсилювача. (а) Інвертування. (б) Неінвертування.

де передбачалося, що вихідна напруга підсилювача не модифікується навантаженням\(Z_1-Z_2\) мережі. Якщо вхідний опір самого підсилювача досить високий, щоб\(Z_1 - Z_2\) мережа не навантажувалася значно,\(V_a\) напруга

\[V_a = \left ( \dfrac{Z_2}{Z_1 + Z_2} \right ) V_i + \left ( \dfrac{Z_1}{Z_1 + Z_2} \right ) V_o \nonumber \]

Поєднання рівнянь 1.2 та 1.3 дає

\[V_o = -\left ( \dfrac{a Z_2}{Z_1 + Z_2} \right ) V_i - \left ( \dfrac{a Z_1}{Z_1 + Z_2} \right ) V_o \nonumber \]

або, вирішуючи для посилення замкнутого циклу,

\[\dfrac{V_o}{V_i} = \dfrac{-aZ_2/(Z_1 + Z_2)}{1 + [aZ_1/(Z_1 + Z_2)]} \nonumber \]

Умова, яка необхідна для того, щоб коефіцієнт посилення в замкнутому контурі залежить перш за все від характеристик\(Z_i-Z_2\) мережі, а не від продуктивності самого підсилювача, легко визначається з Рівняння 1.5. На будь-якій частоті\(\omega\), де\(|a(j\omega) Z_1 (j\omega)/[Z_1(j\omega) + Z_2 (j\omega)]| \gg 1\) задовольняється нерівність, Рівняння 1.5 зводиться до

\[\dfrac{V_o (j\omega)}{V_i (j\omega)} \simeq -\dfrac{Z_2 (j\omega)}{Z_1 (j\omega)} \nonumber \]

Розрахунок коефіцієнта посилення із замкнутим контуром для неінвертуючого з'єднання аналогічний. Якщо припустити незначне навантаження на вході і виході підсилювача,

\[V_o = a(V_i - V_a) = aV_i - \left ( \dfrac{aZ_1}{Z_1 + Z_2} \right ) V_o \nonumber \]

або

\[\dfrac{V_o}{V_i} = \dfrac{a}{1+[aZ_1/(Z_1 + Z_2)]} \nonumber \]

Цей вислів зводиться до

\[\dfrac{V_o (j\omega)}{V_i (j\omega)} \simeq \dfrac{Z_1 (j\omega) + Z_2 (j\omega)}{Z_1 (j\omega)} \nonumber \]

коли\(|a(j \omega) Z_1 (j \omega)/[Z_1 (j \omega) + Z_2 (j \omega)]| \gg 1\).

Кількість

\[L = \dfrac{-aZ_1}{Z_1 + Z_2} \nonumber \]

є петлевою передачею для будь-якого з з'єднань рис. 1.2. Контурна передача має принципове значення в будь-якій системі зворотного зв'язку, оскільки вона впливає практично на всі параметри замкнутого циклу системи. Наприклад, попереднє обговорення показує, що якщо величина петлі транс-місії велика, посилення замкнутого циклу або інвертуючого або неінвертуючого підсилювача з'єднання стає практично незалежним від a Це співвідношення є цінним, оскільки пасивні компоненти зворотного зв'язку, які стримувати посилення шахти із замкнутим контуром для великої величини передачі петлі, як правило, значно стабільніші з часом та змінами навколишнього середовища, ніж посилення відкритого контуру a.

Передача петлі може бути визначена, встановивши входи системи зворотного зв'язку на нуль і розірвавши шлях сигналу в будь-якій точці всередині контуру зворотного зв'язку. (Існують практичні труднощі, такі як страхування того, що різні елементи в петлі залишаються в своїх лінійних робочих областях і що навантаження підтримується. Ці труднощі ускладнюють визначення контурної передачі в фізичних системах. Тому описану тут методику слід вважати концептуальним експериментом. Методи, які корисні для фактичного обладнання, представлені в наступних розділах.) Передача петлі - це відношення сигналу, що повертається петлею, до тесту, застосованого в точці, де петля розмикається. На малюнку 1.3 вказано один із способів визначення контурної передачі для з'єднань рис. 1.2. Зверніть увагу, що показана топологія є спільною як для інвертуючого, так і для неінвертуючого з'єднання, коли вхідні точки заземлені.

Важливо підкреслити різницю між контурною передачею, яка залежить від властивостей як елементів зворотного зв'язку, так і операційного підсилювача, і коефіцієнтом посилення розімкнутого контуру самого операційного підсилювача.

Ідеальний коефіцієнт посилення із замкнутим циклом

Детальні розрахунки посилення, аналогічні розрахункам останнього розділу, завжди можливі для операційно-підсилювальних з'єднань. Однак експлуатаційні підсилювачі часто використовуються в з'єднаннях зворотного зв'язку, де характеристики петлі такі, що посилення замкнутого контуру визначається в першу чергу елементами зворотного зв'язку. Тому наближення, які вказують на ідеальне посилення замкнутого циклу або посилення, яке призводить до ідеальних характеристик підсилювача, спрощують аналіз або проектування багатьох практичних з'єднань.

Можна обчислити ідеальне посилення із замкнутим контуром, припускаючи лише дві умови (крім мається на увазі умови, що комбінація мережі підсилювач-зворотний зв'язок стабільна (Стабільність детально розглядається в розділі 4.))

1. Незначно мала диференціальна напруга, що подається між двома вхідними клемами підсилювача, достатня для отримання будь-якого бажаного вихідної напруги.

Малюнок 1.3 Петля передачі для з'єднань на малюнку 1.2. Петля передачі є\(V_r/V_t = -a Z_1/(Z_1 + Z_2)\).

2. Струм, необхідний на будь-якому терміналі підсилювача, мізерно малий.

Використання цих припущень для обчислення ідеального посилення із замкнутим контуром спочатку проілюстровано для підключення інвертуючого підсилювача (рис. 1.2a). Оскільки вхідний термінал неинвертирующего підсилювача заземлений в цьому з'єднанні, умова 1 має на увазі, що

\[V_a \simeq 0 \nonumber \]

Чинний закон Кірхгофа в поєднанні з умовою 2 показує, що

\[I_a + I_b \simeq 0 \nonumber \]

При рівнянні 1.11 задовольняється, струми\(I_a\) і легко\(I_b\) визначаються через вхідні і вихідні напруги.

\[I_a \simeq \dfrac{V_i}{Z_1} \nonumber \]

\[I_b \simeq \dfrac{V_o}{Z_2} \nonumber \]

Поєднання рівнянь 1.12, 1.13 і 1.14 і рішення для співвідношення\(V_o\) до\(V_i\) дає ідеальний коефіцієнт посилення замкнутого циклу

\[\dfrac{V_o}{V_i} = -\dfrac{Z_2}{Z_1} \nonumber \]

Методика, яка використовується для визначення ідеального посилення із замкнутим контуром, називається методом віртуального заземлення при застосуванні до інвертуючого з'єднання, оскільки в цьому випадку інвертуюча вхідна клема операційного підсилювача вважається на потенціалі заземлення.

Неінвертуючий підсилювач (рис. 1.2b) надає другий приклад визначення ідеального посилення. Умова 2 гарантує, що на напругу\(V_a\) не впливає струм на інвертуючому вході. Таким чином,

\[V_a \simeq \dfrac{Z_1}{Z_1 +Z_2} V_o \nonumber \]

Оскільки умова 1 вимагає рівності між\(V_a\), і\(V_i\), ідеальним коефіцієнтом посилення із замкнутим циклом є

\[\dfrac{V_o}{V_i} = \dfrac{Z_1 + Z_2}{Z_1} \nonumber \]

Умови можуть бути використані для визначення ідеальних значень для характеристик, відмінних від посилення. Розглянемо, наприклад, вхідний опір двох з'єднань підсилювачів, показаних на малюнку 1.2. На малюнку 1.2a інвертуючий вхідний термінал і, отже, правий кінець імпедансу\(Z_1\), знаходиться на потенціалі землі, якщо характеристики підсилювача ідеальні. Таким чином, вхідний опір, який бачить джерело водіння, просто\(Z_1\). Вхідний джерело підключається безпосередньо до неинвертирующего входу операційного підсилювача в топології рис. 1.2 б. Якщо підсилювач задовольняє умові 2 і має незначний вхідний струм, необхідний на цьому терміналі, імпеданс навантаження джерела сигналу буде дуже високим. Неінвертирующий з'єднання часто використовується в якості буферного підсилювача з цієї причини.

Дві умови, що використовуються для визначення ідеального посилення із замкнутим контуром, оманливо прості в тому, що для забезпечення задоволення цих умов потрібна складна комбінація символів підсилювача. Розглянемо першу умову. Високий коефіцієнт посилення напруги в розімкнутому контурі при очікуваних робочих частотах є необхідним, але недостатнім, щоб гарантувати цю умову. Зверніть увагу, що посилення на частоті, що цікавить, необхідний, тоді як високий коефіцієнт посилення розімкнутого контуру, вказаний виробником, зазвичай вимірюється при d-c. Ця специфіка дещо вводить в оману, оскільки коефіцієнт посилення може почати зменшуватися з частотою близько одного герца або менше.

На додаток до високого коефіцієнта посилення розімкнутого контуру, підсилювач повинен мати зміщення низької напруги (Offset та інші проблеми з підсилювачами d-c обговорюються в главі 7. ) посилається на вхід, щоб задовольнити першу умову. Ця величина, визначена як напруга, яка повинна бути застосована між вхідними клемами підсилювача, щоб зробити вихідну напругу нульовим, зазвичай виникає через неправильні збіги між різними компонентами підсилювача.

Дивно, але інкрементний вхідний опір оперативного волокна ampli часто має відносно невеликий вплив на його вхідний струм, оскільки напруга, яка з'являється через цей імпеданс, дуже низька, якщо умова 1 задовольняється. Більш важливий внесок у вхідний струм часто є результатом струму зміщення, який повинен подаватися на вхідні транзистори підсилювача.

Багато методів проектування, які використовуються в спробі об'єднати дві умови, необхідні для наближення до ідеального посилення, описані в підпослідовних розділах.

Причина того, що задоволення двох умов, запроваджених раніше, гарантує, що фактичне посилення підсилювача із замкнутим контуром наближається до ідеального значення, полягає в негативному зворотному зв'язку, пов'язаному з підключеннями операційного підсилювача. Припустимо, наприклад, що фактична напруга з підключення інвертуючого підсилювача, показаного на малюнку 1.2a, є більш позитивним, ніж значення, передбачене співвідношенням ідеального посилення для певного рівня вхідного сигналу. У цьому випадку напруга\(V_a\) буде позитивним, і це позитивна напруга, прикладена до інвертуючої вхідної клеми підсилювача, призводить вихідну напругу негативне до досягнення рівноваги. Це міркування показує, що насправді негативний зворотний зв'язок змушує напругу між двома вхідними клемами бути дуже малим.

Малюнок 1.4 Підсумовування підсилювача

Як варіант, розглянемо ситуацію, яка виникає, якщо позитивний зворотний зв'язок використовується шляхом зміни з'єднань з двома вхідними клемами підсилювача. У цьому випадку напруга знову\(V_a\) дорівнює нулю, коли\(V_o\) і\(V_i\) пов'язані ідеальним виразом посилення із замкнутим контуром. Однак отримана рівновага нестабільна, і невелике збудження від ідеальної вихідної напруги призводить до того, що ця напруга рухається далі від ідеального значення, поки підсилювач не насичується. Ідеальний коефіцієнт посилення в цьому випадку не досягається, незважаючи на ідеальні характеристики підсилювача, оскільки з'єднання нестабільне. Як ми побачимо, негативні зв'язки зворотного зв'язку також можуть бути нестабільними. Ідеальне посилення цих нестабільних систем безглуздо, оскільки вони коливаються, виробляючи вихідний сигнал, який часто майже не залежить від вхідного сигналу.

Приклади

Методика, представлена в останньому розділі, може бути використана для визначення ідеальної функції передачі із замкнутим контуром будь-якого підключення операційно-підсилювача. Підсумовуючий підсилювач, показаний на малюнку 1.4, ілюструє використання цієї техніки для з'єднання трохи складніше, ніж два основні підсилювачі, розглянуті раніше.

Оскільки інвертуюча вхідна клема підсилювача є віртуальною землею, струми можна визначити як

\[\begin{array} {rcl} {I_{i1}} & = & {\dfrac{V_{i1}}{Z_{i1}}} \\ {I_{i2}} & = & {\dfrac{V_{i2}}{Z_{i2}}} \\ {} & \cdot & {} \\ {} & \cdot & {} \\ {} & \cdot & {} \\ {I_{iN}} & = & {\dfrac{V_{iN}}{Z_{iN}}} \\ {I_f} & = & {\dfrac{V_o}{Z_f}} \end{array} \nonumber \]

Ці струми повинні дорівнювати нулю при відсутності значного струму на інвертуючій вхідній клемі підсилювача. Таким чином

\[I_{i1} + I_{i2} + \cdots + I_{iN} + I_f = 0 \nonumber \]

Поєднання рівнянь 1.18 та 1.19 показує, що

\[V_o = -\dfrac{Z_f}{Z_{i1}} V_{i1} - \dfrac{Z_f}{Z_{i2}} V_{i2} - \cdots - \dfrac{Z_f}{Z_{iN}} V_{iN} \nonumber \]

Ми бачимо, що цей підсилювач, який є продовженням основного підключення інвертуючого підсилювача, забезпечує вихід, який є зваженою сумою декількох вхідних напруг.

Підсумовування є однією з «операцій», що операційні підсилювачі за формою в аналогових обчисленнях. Подальша розробка (Розділ 12.3)

показати, що якщо операції посилення, підсумовування та інтеграції com bined, може бути побудована електрична мережа, яка задовольняє будь-якому лінійному звичайному диференціальному рівнянню. Ця методика є основою для аналогового com putation.

Інтегратори, необхідні для аналогових обчислень або для будь-якого іншого застосування, можуть бути побудовані за допомогою операційного підсилювача в інвертуючою кон-некції (рис. 1.2a) і роблячи імпеданс\(Z_2\) конденсатор\(C\) і\(Z_1\) імпеданс резистор\(R\). У цьому випадку рівняння 1.15 показує, що ідеальною передавальною функцією замкнутого циклу є

\[\dfrac{V_o (s)}{V_i (s)} = -\dfrac{Z_2 (s)}{Z_1 (s)} = -\dfrac{1}{RCs} \nonumber \]

так що з'єднання функціонує як інвертуючий інтегратор.

Також можна побудувати неінвертуючі інтегратори за допомогою підключеного операційного підсилювача, як показано на малюнку 1.5. Ця топологія передує неінвертуючий підсилювач з фільтром низьких частот. Ідеальною передавальною функцією з неинвертирующего входу підсилювача на його вихід є (див. Рівняння 1.17)

\[\dfrac{V_o (s)}{V_a (s)} = \dfrac{RVs + 1}{RCs} \nonumber \]

Малюнок 1.5 Неінвертуючий інтегратор.

Малюнок 1.6 Ланцюг журналу.

Так як умови ідеального операційного підсилювача виключають вхідний струм, то передавальну функцію від\(V_i\) до\(V_a\) можна розраховувати без навантаження, і в цьому випадку

\[\dfrac{V_a (s)}{V_i (s)} = \dfrac{1}{R_1 C_1 s + 1} \nonumber \]

Поєднання рівнянь 1.22 і 1.23 показує, що ідеальним коефіцієнтом посилення із замкнутим контуром є

\[\dfrac{V_o (s)}{V_i (s)} = \left [\dfrac{1}{R_1 C_1s + 1} \right ] \left [\dfrac{RCs + 1}{RCs} \right ] \nonumber \]

Якщо дві часові константи в рівнянні 1.24 робляться рівними, неінвертуючі результати грації.

Порівняння між двома інтеграторними зв'язками натякає на можливість реалізації більшості функцій за допомогою інвертуючого або неінвертуючого з'єднання. Практичні міркування часто рекомендують один підхід ap в перевазі до іншого. Наприклад, неінвертирующий інтегратор вимагає більше зовнішніх компонентів, ніж інвертуюча версія. Ця різниця важлива, оскільки високоякісні конденсатори, необхідні для точної інтеграції, часто більші та дорожчі, ніж використовуваний оперний підсилювач.

Розглянуті до сих пір приклади задіяні лише лінійні елементи, принаймні, якщо передбачається, що операційний підсилювач залишається в своєму лінійному

операційний регіон. Операційні підсилювачі також часто використовуються в навмисно нелінійних з'єднаннях. Однією з можливостей є схема, показана на малюнку 1.6. (Зауважте, що позначення змінних, що використовуються в даному випадку, поєднують в собі нижні регістри змінні з верхніми індексами, вказуючи загальні миттєві сигнали, необхідні для опису очікуваних нелінійних зв'язків.) Передбачається, що залежність діодний струм-напруга дорівнює

\[i_D = I_S (e^{qv_D/kT} - 1) \nonumber \]

де\(I_s\) постійна залежна від конструкції діода,\(q\) - заряд електрона,\(k\) є постійною Больцмана, і\(T\) абсолютна температура. Якщо напруга на інвертуючому вході підсилювача мізерно мало, напруга діода дорівнює вихідній напрузі. Якщо вхідний струм мізерно малий, діодний струм і струм\(i_R\) сума дорівнює нулю. Таким чином, якщо ці дві умови будуть виконані,

\[-\dfrac{v_I}{R} = I_S (e^{qv_O/kT} - 1) \nonumber \]

Розглянемо роботу з позитивним вхідною напругою. Максимальне негативне значення струму діода обмежується\(-I_s\). Якщо\(v_I/R > I_S\) струм через зворотний зміщений діод не може врівноважити струм\(I_R\). Відповідно, вихідна напруга підсилювача наводиться негативним, поки підсилювач не насичується. У цьому випадку контур зворотного зв'язку не може утримувати напругу на вході інвертуючого підсилювача поблизу землі через обмежений струм, який діод може проводити в зворотному напрямку. Проблема явно не з підсилювачем, оскільки не існує рішення рівняння 1.26 для достатньо позитивних значень\(v_I\).

Ця проблема не існує з від'ємними значеннями для\(v_I\). Якщо величина iR значно більша за Is (типові значення для Is менше\(10^{-9}\) A), рівняння 1.26 зменшується до

\[-\dfrac{v_I}{R} \simeq I_S e^{qv_O/kT} \nonumber \]

або

\[v_O \simeq \dfrac{kT}{q} \ln \left (\dfrac{-v_I}{RI_S} \right ) \nonumber \]

Таким чином схема забезпечує вихідну напругу, пропорційне журналу величини вхідної напруги для негативних входів.