2.2: Показники радіосигналу

Радіосигнали розроблені для компромісу ефективного використання спектру ЕМ із складністю та продуктивністю необхідного радіочастотного обладнання. Зрештою, мета полягає в тому, щоб ефективно використовувати спектр через максимальну упаковку інформації, наприклад, цифрові біти, в заданій смузі пропускання, в той час як, особливо для мобільних радіостанцій, використовуючи якомога менше основної потужності. Вибір типу модуляції для використання лежить в основі компромісу проектування системи зв'язку.

Існує два сімейства методів модуляції: аналогова і цифрова модуляція. У аналоговій модуляції радіочастотний сигнал має безперервний діапазон значень; при цифровій модуляції вихід має ряд дискретних станів у певний час, які називаються тактовими кліщами, скажімо, кожну мікросекунду. Існує лише кілька схем модуляції, всі з яких є цифровими, які досягають оптимальних компромісів спектральної ефективності та простоти використання з прийнятною апаратною складністю. Якщо апаратна складність не викликає занепокоєння, яка схема модуляції використовується, залежить від шуму та перешкод, а також потужності, необхідної для передачі сигналу, та потужності, необхідної для обробки прийнятого сигналу.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Визначення коефіцієнта гребеня: (а) довільна форма сигналу; і (b) напруга на резисторі.

У цьому розділі представлено кілька метрик, які характеризують мінливість амплітуди модульованого сигналу, і ця мінливість безпосередньо впливає на те, як розробляються аналогові апаратні засоби та наскільки ефективно може використовуватися апаратне забезпечення.

2.2.1 Коефіцієнт гребеня та співвідношення потужності від піку до середнього

Вступ

У радіотехнічному коефіцієнті гребеня (CF) є метрикою, яка описує, як напруга модульованого сигналу несучої змінюється з часом, а відношення піку до середньої потужності (PAPR) описує, як миттєва потужність несучого сигналу змінюється з часом. Майте на увазі, що існує одна метрика, відношення піку до середнього (PAR), яке визначається по-різному в потужності, теорії зв'язку та мікрохвильових спільнотах. У деяких громадах КФ також називають співвідношенням пік до середнього (PAR). Це може призвести до проблем. Розглянемо, наприклад, спільноту, яка працює над розумним вимірюванням електроенергії, яка поєднує вимірювання потужності, теорію зв'язку та дизайн мікрохвильової печі. Рішення цієї неминучої плутанини полягає в тому, щоб пропустити використання PAR і використовувати однозначні метрики.

Примітка

У стандартах PAR визначається як відношення миттєвого пікового значення параметра сигналу до його усередненого за часом значенню. PAR використовується з багатьма параметрами сигналу, наприклад напругою, струмом, потужністю та частотою [1].

Гребінь фактор

CF - відношення максимального сигналу, такого як напруга, до його середньоквадратного значення (середньоквадратичне значення). Посилаючись на довільну форму хвилі, показану на малюнку\(\PageIndex{1}\) (а),\(x_{p}\) є абсолютним піковим значенням форми хвилі\(x(t)\), якщо\(x_{\text{rms}}\) його середньоквадратичне значення, то коефіцієнт гребеня дорівнює [2]

\[\label{eq:1} \text{CF}=x_{p}/x_{\text{rems}} \]

Більш формально,

\[\label{eq:2}\text{CF}=\frac{\| x \|_{\infty}}{\| x\|_{2}} \]

де\(\|x\|_{∞}\) норма нескінченності, а тут максимальне значення\(x(t)\)\(\|x\|_{∞} = \text{max}[x(t)] = x_{p}\), і\(\|x\|_{2}\) це якраз середньоквадратичне значення\(x(t)\):

\[\label{eq:3}x_{\text{rms}}=\|x\|_{2}=\lim_{T\to\infty}\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)\cdot dt} \]

Зверніть увагу, що CF - це коефіцієнт напруги (або струму), а не коефіцієнт потужності. CFs декількох сигналів наведені в табл\(\PageIndex{1}\).

Пік до середнього коефіцієнта потужності (PAPR)

Співвідношення піку до середньої потужності (PAPR) аналогічно CF, але для потужності. Якщо\(x(t)\) напруга на резисторі, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\) (б), то

Форма хвилі	\(x(t)\)	Макс. значення	rms\((x_{\text{rms}})\)	CF	ПАПІР
ПОСТІЙНОГО СТРУМУ	\ (x (t)\) ">	\(x_{\text{dc}}\)	\ (x_ {\ текст {rms}})\) ">\(x_{\text{dc}}\)	\(1\)	\(0\text{ dB}\)
Синусоїда	\ (x (t)\) ">	\(x_{p}\)	\ (x_ {\ текст {rms}})\) ">\(\frac{x_{p}}{\sqrt{2}}\)	\(1.414\)	\(3.01\text{ dB}\)
Повнохвильова випрямлена синусоїда	\ (x (t)\) ">	\(x_{p}\)	\ (x_ {\ текст {rms}})\) ">\(\frac{x_{p}}{\sqrt{2}}=0.717x_{p}\)	\(1.414\)	\(3.01\text{ dB}\)
Напівхвильова випрямлена синусоїда	\ (x (t)\) ">	\(x_{p}\)	\ (x_ {\ текст {rms}})\) ">\(\frac{x_{p}}{2}\)	\(2\)	\(6.02\text{ dB}\)
Трикутник хвиля	\ (x (t)\) ">	\(x_{p}\)	\ (x_ {\ текст {rms}})\) ">\(\frac{x_{p}}{\sqrt{3}}=0.577x_{p}\)	\(1.732\)	\(4.77\text{ dB}\)
Квадратна хвиля	\ (x (t)\) ">	\(x_{p}\)	\ (x_ {\ текст {rms}})\) ">\(x_{p}\)	\(1\)	\(0\text{ dB}\)

Таблиця\(\PageIndex{1}\)

миттєва пікова потужність в резисторі дорівнює

\[\label{eq:4}P_{p}=|x_{p}|^{2}/R \]

де знову\(x_{p}\) - пікове абсолютне значення форми хвилі. \(P_{p}\)це потужність піку форми хвилі, що розглядає його так, ніби це сигнал постійного струму. Це підходить для повільно мінливого сигналу, такого як сигнал частоти потужності, оскільки саме ця миттєва потужність визначає теплове порушення енергосистеми. Це не відповідна потужність для використання з радіосигналами, і більш підходяща метрика мікрохвильового сигналу описана в розділі 2.2.2. Середня потужність, що розсіюється в резисторі, дорівнює

\[\label{eq:5}P_{\text{avg}}=|x_{\text{rms}}|^{2}/R \]

Тоді

\[\label{eq:6}\text{PAPR}=\frac{P_{p}}{P_{\text{avg}}}=\text{CF}^{2}=(x_{p}/x_{\text{rms}})^{2} \]

У децибелах

\[\begin{align}\text{PAPR}|_{\text{dB}}&=10\log (\text{PAPR})\nonumber \\ \label{eq:7}&=20\log (\text{CF})=20\log (x_{p}/x_{\text{rms}})\end{align} \]

Визначення PAPR вище може використовуватися з будь-якою формою хвилі і може використовуватися у всіх галузях електротехніки. PAPR декількох сигналів наведені в табл\(\PageIndex{1}\).

Приклад\(\PageIndex{1}\): Crest Factor and PAPR of an Offset Sinusoid

Що таке коефіцієнт гребеня (CF) та відношення піку до середньої потужності (PAPR) сигналу\(x(t) = 0.1+0.5 \sin(\omega t)\)?

Рішення

Сигнал являє собою синусоїду, зміщену терміном постійного струму. Пікове значення\(x(t)\) є\(x_{p} = 0.6\), а середньоквадратичне значення сигналу буде квадратним коренем середньоквадратичних значень у квадраті окремих постійних та синусоїдальних компонентів. Це стосується будь-якого складеного сигналу за умови, що компоненти не співвідносяться. Отже\(x_{\text{rms}} = \sqrt{ 0.12 + (0.5/\sqrt{2})^{2}} = 0.3674\). Загальним рішенням для сигналу\(x(t) = a + b \sin(\omega t)\) є, використовуючи Equation\(\eqref{eq:3}\),

\[\begin{align}x_{\text{rms}}&=\sqrt{\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\left[x(t)\right]^{2} dt}=\sqrt{\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\left[a+b\sin (\omega t)\right]^{2} dt}\nonumber \\ &=\sqrt{\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\left[a^{2}+ab\sin (\omega t)+b^{2}\sin^{2}(\omega t)\right]dt}\nonumber \\ &=\sqrt{\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\left\{\int_{0}^{T}a^{2} dt +\int_{0}^{T}ab\sin (\omega t)dt+\int_{0}^{T}b^{2}\frac{1}{2}\left[1+\cos (2\omega t)\right] dt\right\}}\nonumber \\ \label{eq:8} &=\sqrt{\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\left\{a^{2}T dt+0+\frac{1}{2}b^{2}T\right\}}\end{align} \]

оскільки інтеграл\(\sin\) і\(\cos\) протягом періоду дорівнює нулю. Таким чином

\[\label{eq:9}x_{\text{rms}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}/2}=\sqrt{0.1^{2}+\frac{1}{2}0.5^{2}}=0.3674 \]

коефіцієнт гребеня

\[\label{eq:10}\text{CF}=\frac{x_{p}}{x_{\text{rms}}}=\frac{0.6}{0.3674}=1.6311 \]

і PAPR є

\[\label{eq:11}\text{PAPR}=20\log (1.6311)=4.260\text{ dB} \]

Існує більш швидкий спосіб розрахунку PAPR, маючи справу з повноваженнями безпосередньо. Пікова потужність форми хвилі - це те\(P_{p} = x_{p}^{2}/R = 0.6^{2}/R = 0.36/R\), де\(x\) розглядається як напруга на резисторі\(R\). Дві частини\(x(t)\), тобто компонент постійного струму та синусоїда, не співвідносяться, тому середня потужність комбінованого сигналу - це сума потужностей некорельованих компонентів, тому

\[\label{eq:12}P_{\text{avg}}=\frac{1}{R}\left[0.1^{2}+\frac{1}{2}0.5^{2}\right]\frac{1}{R}=\frac{0.1350}{R} \]

Таким чином, в децибелах

\[\label{eq:13}\text{PAPR}|_{\text{dB}}=10\log\left(\frac{P_{p}}{P_{\text{avg}}}\right)=\frac{x_{p}^{2}}{x_{\text{rms}}^{2}}=10\log\left(\frac{0.36}{0.135}\right)=10\log (2.667)=4.260\text{ dB} \]

2.2.2 Співвідношення потужності конвертів від піку до середнього

Ще однією метрикою для характеристики сигналів є коефіцієнт потужності огинача від піку до середнього (PMEPR), і це особливо корисно для модульованих сигналів. Кількість інформації, що надсилається сигналом зв'язку, пропорційна його середній потужності, однак радіочастотне обладнання повинно бути розроблено з достатнім запасом, щоб мати можливість обробляти піки сигналу, не створюючи помітних спотворень. Форма хвилі вузькосмугового модульованого сигналу з'являється як носій, який повільно змінюється в амплітуді та фазі. Одна синусоїда цього модульованого сигналу називається псевдонесучої і потужність одного циклу псевдонесучої, коли амплітуда модульованого сигналу знаходиться на максимумі (тобто на піку огинаючої) називається піковою потужністю огинаючої (PEP) [1] (\(\text{PEP} = P_{\text{PEP}}\)). Ставлення ПЕП до середньої потужності сигналу (потужність, усереднена за весь час) називається ПМЕПР.

Тоді якщо середня потужність модульованого сигналу дорівнює\(P_{\text{avg}}\)

\[\label{eq:14}\text{PMEPR}=\frac{\text{PEP}}{P_{\text{avg}}}=\frac{P_{\text{PEP}}}{P_{\text{avg}}} \]

PMEPR є хорошим показником того, наскільки чутливим є формат модуляції до спотворень, введеного нелінійністю радіочастотного обладнання [3].

Складно визначити PMEPR для загального модульованого сигналу. Нижче математика представлена для AM сигналу з синусоїдальним модулюючим сигналом. Визначення PMEPR в іншому випадку вимагає числового інтеграції відповідно до процедури, описаної нижче.

PMEPR сигналу AM

Хорошу оцінку PMEPR сигналу AM можна отримати, розглянувши синусоїдальний модулюючий сигнал (а не фактичний сигнал основної смуги). \(y(t) = \cos (2πf_{m}t)\)Дозволяти бути косинусоїдальний модулюючий сигнал з частотою\(f_{m}\). Тоді для AM модульований сигнал несучої

\[\label{eq:15}x(t)=A_{c}\left[1+m\cos (2\pi f_{m}t)\right]\cos (2\pi f_{c}t) \]

де\(m\) індекс модуляції (наприклад,\(100\%\) AM має\(m = 1\)). Таким чином, якщо розглядається потужність всього одного квазіперіоду\(x(t)\), тобто одного циклу псевдоносія, то\(x(t)\) має силу, яка змінюється з часом.

Розглянемо\(v(t)\) напругу на резисторі провідності\(G\). Потужність сигналу визначається шляхом інтеграції за весь час, який є роботою, і діленням на часовий проміжок. Це дає середню потужність:

\[\label{eq:16}P_{\text{avg}}=\lim_{\tau\to\infty}\int_{-\tau}^{\tau}\frac{1}{2\tau}Gv^{2}(t)dt \]

Тепер, якщо\(v(t)\) синусоїдальний\(v(t) = A \cos\omega t\), то

\[\begin{align}P_{\text{avg}}&=\lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}A_{c}^{2}G\cos^{2}(\omega t)dt\nonumber \\ &=\lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}A_{c}^{2}G\frac{1}{2}\left[1+\cos (2\omega t)\right] dt \nonumber \\ \label{eq:17}&=\frac{1}{2}A_{c}^{2}G\left\{\lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}1 dt+\lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}\cos (2\omega t)dt\right\}=\frac{1}{2}A_{c}^{2}G\end{align} \]

У наведеному вище рівнянні корисна еквівалентність була використана, спостерігаючи, що нескінченний інтеграл косинусоїди може бути спрощений до просто інтеграції протягом одного періоду\(T = 2π/\omega\):

\[\label{eq:18}\lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}\cos^{n}(\omega t)dt=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\cos^{n}(\omega t) dt \]

де\(n\) - натуральне число. У розрахунках потужності є ряд інших корисних спрощувальних методик, заснованих на тригонометричних ідентичностях. Деякі з тих, які будуть використовуватися тут, такі:

\[\begin{align} \cos A\cos B&=\frac{1}{2}\left[\cos (A-B)+\cos (A+B)\right]\nonumber \\ \label{eq:19} \cos^{2}A&=\frac{1}{2}\left[1+\cos (2A)\right] \\ \label{eq:20}\lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}\cos\omega t dt&=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\cos (\omega t)dt=0 \\ \label{eq:21}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\cos^{2}(\omega t)dt&=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\frac{1}{2}\left[\cos (2\omega t)+\cos (0)\right] \\ &=\frac{1}{2T}\left[\int_{-T/2}^{T/2}\cos (2\omega t)dt+\int_{-T/2}^{T/2}1 dt\right] \\ \label{eq:22} &=\frac{1}{2T}(0+T)=\frac{1}{2}\end{align} \]

Більше тригонометричних тотожностей наведено в Додатку 1.A.2 [4]. Також, коли косинусоїди\(\cos\omega_{A}t\) і\(\cos\omega_{B}t\), мають різні частоти (\(\omega_{A}\neq\omega_{B}\)), множаться разом, для великих\(\tau\),

\[\int_{-\tau}^{\tau}\cos\omega_{A}t\cos\omega_{B}t dt=\int_{-\tau}^{\tau}\frac{1}{2}\left[\cos (\omega_{A}+\omega_{B})t+\cos (\omega_{A}-\omega_{B})t\right] dt=0\nonumber \]

і якщо\(\omega_{A}\neq\omega_{B}\neq 0\)

\[\label{eq:23}\int_{-\infty}^{\infty}\cos\omega_{A}t\cos^{n}\omega_{B}tdt=0 \]

Тепер дискусія повертається до характеристики сигналу AM, враховуючи довгострокову середню потужність та максимальну короткочасну потужність сигналу. Псевдо-носій на його піковій амплітуді, з Рівняння\(\eqref{eq:15}\),

\[\label{eq:24}x_{p}(t)=A_{c}[1+m]\cos (2\pi f_{c}t) \]

Тоді потужність (\(P_{\text{PEP}}\)) пікового псевдоносія отримують шляхом інтеграції протягом одного періоду псевдоносія:

\[\begin{align} P_{\text{PEP}}&=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}Gx^{2}(t)dt=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}A_{c}^{2}G(1+m)^{2}\cos^{2}(\omega_{c}t)dt\nonumber \\ \label{eq:25} &=A_{c}^{2}G(1+m)^{2}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\cos^{2}(\omega_{c}t)dt=\frac{1}{2}A_{c}^{2}G(1+m)^{2}\end{align} \]

Середня потужність (\(P_{\text{avg}}\)) модульованого сигналу отримується шляхом інтеграції протягом усього часу, тому

\[\begin{align} P_{\text{avg}}&=\lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}Gx^{2}(t)dt\nonumber \\ &=A_{c}^{2}G\lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}\{[1+m\cos (\omega_{m}t)]\cos (\omega_{c}t\}^{2}dt\nonumber \\&=A_{c}^{2}G\lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}\{[1+2m\cos (\omega_{m}t)+m^{2}\cos^{2}(\omega_{m}t)]\cos^{2}(\omega_{c}t)\}dt\nonumber \\&=A_{c}^{2}G\left[\lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}\cos^{2}(\omega_{c}t)dt+\lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}2m\cos (\omega_{m}t)\cos^{2}(\omega_{c}t)dt \right.\nonumber \\ &\quad \left. +\lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}m^{2}\cos^{2}(\omega_{m}t)\cos^{2}(\omega_{c}t)dt\right]\nonumber \\ &=A_{c}^{2}G\left\{\frac{1}{2}+0+m^{2}\lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}\frac{1}{4}\left[1+\cos (2\omega_{m}t)\right]\left[1+\cos (2\omega_{c}t)\right] dt\right\}\nonumber \\ &=A_{c}^{2}G\left\{\frac{1}{2}+\frac{m^{2}}{4}\left[\lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}1 dt+\lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}\cos (2\omega_{m}t) dt\right.\right.\nonumber \\ &\quad\left.\left. +\lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}\cos (2\omega_{c}t)dt+\lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}\cos (2\omega_{m}t)\cos (2\omega_{c}t)dt\right]\right\} \nonumber \\ \label{eq:26} &=A_{c}^{2}G\left[\frac{1}{2}+m^{2}\left(\frac{1}{4}+0+0+0\right)\right] =\frac{1}{2}A_{c}^{2}G(1+m^{2}/2)\end{align} \]

Таким чином, середньоквадратичне напруга\(x_{\text{rms}}\), можна визначити як\(P_{\text{avg}} = x_{\text{rms}}^{2}G\). Таким чином, PMEPR сигналу AM (тобто\(\text{PMEPR}_{\text{AM}}\)) є

\[\text{PMEPR}_{\text{AM}}=\frac{P_{\text{PEP}}}{P_{\text{avg}}}=\frac{\frac{1}{2}A_{c}^{2}G(1+m)^{2}}{\frac{1}{2}A_{c}^{2}G(1+m^{2}/2)}=\frac{(1+m)^{2}}{1+m^{2}/2}\nonumber \]

Для\(100\%\) АМ, описаних\(m = 1\), PMEPR є

\[\label{eq:27}\text{PMEPR}_{100\%\text{AM}}=\frac{(1+1)^{2}}{1+1^{2}/2}=\frac{4}{1.5}=2.667=4.26\text{ dB} \]

При вираженні PMEPR в децибелах формула\(\text{PMEPR}_{\text{dB}} = 10 \log (\text{PMEPR})\) використовується як PMEPR - це коефіцієнт потужності. Як приклад, для\(50\%\) АМ, описаного\(m = 0.5\), ПМЕПР є

\[\label{eq:28}\text{PMEPR}_{50\%\text{AM}}=\frac{(1+0.5)^{2}}{1+0.5^{2}/2}=\frac{2.25}{1.125}=2=3\text{ dB} \]

2.2.3 Двоколірний сигнал

При оцінці, або за допомогою лабораторних вимірювань або моделювання, часто і часто необхідно використовувати дуже прості уявлення сигналу базової смуги або навіть модульованого сигналу. Це значно спрощує справи, і існує виправдане очікування, що продуктивність з тестовим сигналом є хорошим показником продуктивності з фактичною базовою смугою або модульованим сигналом. При моделюванні на рівні схеми зазвичай неможливо розглянути реальні сигнали базової смуги, оскільки моделювання може бути навіть неможливим, або моделювання може зайняти неприйнятні часи. Замість цього прийнято використовувати однотональні, тобто одиночні синусоїди, або двоколірні сигнали. Двоколірний сигнал - це сигнал, який є сумою двох косинусоїдів:

\[\label{eq:29}y(t)=X_{A}\cos (\omega_{A}t)+X_{B}\cos (\omega_{B}t) \]

Як правило, частоти двох тонів близькі\((|\omega_{A} −\omega_{B}| ≪ \omega_{A})\), при цьому концепція полягає в тому, що обидва тони вписуються в смугу пропускання смугових фільтрів передавача або приймача. Двоколірний сигнал не є формою модуляції, але зазвичай використовується для характеристики нелінійної продуктивності радіочастотних систем і має оболонку, подібну до оболонки багатьох модульованих сигналів. Композитний\(y(t)\) сигнал виглядає як псевдо-носій з повільно мінливою амплітудою, не на відміну від сигналу AM. Тони не співвідносяться так, що середня потужність композитного сигналу\(y(t)\), є сумою потужностей кожного з окремих тонів. Пікова потужність складеного сигналу - це пікова псевдо-несуча, тому\(y(t)\) має пікову амплітуду\(X_{A} + X_{B}\). Піковим псевдоносієм є одна РФ синусоїда, де синусоїда кожної синусоїди вирівнюється якомога більше. Подібні поняття стосуються тритональних і\(n\) -тональних сигналів.

Приклад\(\PageIndex{2}\): PMEPR of a Two-Tone Signal

Що таке PMEPR двоколірного сигналу з тонами, що мають однакову амплітуду?

Рішення

Нехай амплітуди двох тонів будуть\(X_{A}\) і\(X_{B}\). Тепер\(X_{A} = X_{B} = X\), і так піковий псевдо-носій має амплітуду\(2X\), а потужність пікового радіочастотного носія пропорційна\(\frac{1}{2}(2X)^{2} = 2X^{2}\). Середня потужність пропорційна\(\frac{1}{2}(X_{A}^{2}+X_{B}^{2}) =\frac{1}{2}(X_{2} + X+{2}) = X_{2}\), оскільки кожен тон не залежить від іншого, і тому повноваження можуть бути додані.

\[\label{eq:30}\text{PMEPR}=\frac{P_{\text{PEP}}}{P_{\text{avg}}}=\frac{2X^{2}}{X^{2}}=2=3\text{ dB} \]

Приклад\(\PageIndex{3}\): PMEPR of Uncorrelated Signals

Розглянемо комбінацію двох некорельованих аналогових сигналів, наприклад двоколірного сигналу. Один сигнал позначається,\(x(t)\) а інший\(y(t)\), де\(x(t)=0.1 \sin (10^{9}t)\) і\(y(t) = 0.05 \sin (1.01 · 10^{9}t)\). Що таке PMEPR цього комбінованого сигналу?

Рішення

Ці два сигнали є некорельованими і це є ключовим при визначенні середньої потужності\(P_{\text{avg}}\), так як сума ступенів кожного окремого сигналу (\(k\)є постійною пропорційності):

\[P_{\text{avg}}=\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}(t)\cdot dt+\int_{-\infty}^{\infty}y^{2}(t)\cdot dt=\frac{k}{2}(0.1)^{2}+\frac{k}{2}(0.5)^{2}=\frac{k}{2}[0.01+0.0025]=0.00625k\nonumber \]

Два носії близькі за частотою, так що сума сигналу\(z(t) = x(t) + y(t)\) виглядає як повільно змінюється сигнал з радіановою частотою близько\(10^{9}\) радіанів в секунду. Пікова амплітуда одного псевдоциклу\(z(t) is 0.1+0.05 = 0.15\). Таким чином, потужність найбільшого циклу

\[P_{\text{PEP}}=\frac{1}{2}k(0.15)^{2}=0.01125k\nonumber \]

і так

\[\label{eq:31}\text{PMEPR}=\frac{P_{\text{PEP}}}{P_{\text{avg}}}=\frac{0.01125}{0.00625}=1.8=2.55\text{ dB} \]

Резюме

PMEPR є важливим атрибутом формату модуляції та впливає на типи схем, які можна використовувати. Набагато складніше розробити енергоефективне обладнання, що впроваджує лише низький рівень спотворень, коли PMEPR високий.

Заманливо розглянути, чи можна обійти тривалі інтеграції. Повноваження можуть бути додані, якщо компоненти сигналу (тони, що складають сигнал) не співвідносяться. Якщо вони співвідносяться, то потрібні повні інтеграції. Розглянемо дві некорельовані синусоїди (середньої) потужності\(P_{1}\) і\(P_{2}\), відповідно, тоді середня потужність складеного сигналу дорівнює\(P_{\text{avg}} = P_{1} + P_{2}\). Однак при визначенні пікової синусоїдальної потужності розглядається радіочастотний цикл, де вирівнюються дві найбільші синусоїди псевдонесучих, і тут напруги додають для отримання одного циклу синусоїди з більшою амплітудою. Тож пікова потужність застосовується лише до одного псевдоциклу РФ. Як правило, буде додана амплітуда напруги двох синусоїд, а потім обчислюється потужність. Якщо некорельовані носії модулюються, а модулюючі сигнали (сигнали базової смуги) некорельовані, то середню потужність можна визначити таким же чином, але розрахунок пікової потужності набагато складніше. Інтеграції є єдиними розрахунками, на які завжди можна покластися і можуть бути використані з усіма модульованими сигналами.

Примітка

Сигнали\(x(t)\) і\(y(t)\) не співвідносяться, якщо інтеграл за весь час і час зсувів їх добутку дорівнює нулю:\(C =\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)y(t+\tau ) dt = 0\) для всіх\(\tau\).

Переважне використання PAR, PAPR або PMEPR в радіочастотній та мікрохвильовій техніці в даний час знаходиться в перехідній фазі. Найбільш поширене використання PAR та PAPR в електротехніці відноситься до піку сигналу як миттєвого пікового значення, а у випадку PAPR миттєва потужність сигналу розраховується так, ніби пік є значенням постійного струму. У минулому багато радіочастотних та мікрохвильових публікацій взяли пік як пікову потужність синусоїди, що має амплітуду, рівну піковій напрузі сигналу, і використовували її для обчислення PAR. Це використання не відповідає переважному використанню в електротехніці і є особливою проблемою при використанні бездротових технологій в інших дисциплін. PMEPR є кращим використанням того, на що інженери РФ та мікрохвильової печі мають намір посилатися при використанні терміна PAR. Читач літератури РФ, що стикається з PAR, повинен визначити, як цей термін використовується. Немає плутанини, якщо використовується PMEPR.

Приклад\(\PageIndex{4}\): PAPR and PMEPR of an AM Signal

Що таке PAPR і PMEPR сигналу\(100\%\) AM?

Рішення

Сигнал є\(x(t) = A_{c} [1 + \cos 2πf_{m}t] \cos 2πf_{c}t\) і PMEPR цього сигналу, від Рівняння\(\eqref{eq:27}\), є\(4.26\text{ dB}\). Тепер PAPR використовує абсолютне максимальне значення сигналу, а не максимальну короткочасну потужність огинаючої. Пікове значення\(x(t)\) полягає в\(2A_{c}\) тому, що пікова потужність (якщо сигнал є напругою на провідності\(G\))

\[\label{eq:32} P_{\text{peak, PAPR}}=(2A_{c})^{2}G \]

\(P_{\text{avg}}\)однаковий для PAPR та PMEPR для сигналу AM, див. Рівняння\(\eqref{eq:26}\), так що

\[\label{eq:33}\text{PAPR}=\frac{P_{\text{peak, PAPR}}}{P_{\text{avg}}}=\frac{(2A_{c})^{2}G}{\frac{1}{2}A_{c}^{2}(1+\frac{1}{2})}=\frac{4}{3/4}=\frac{16}{3}=5.333=7.27\text{ dB} \]

Таким чином, PAPR\(3\text{ dB}\) вище, ніж PMEPR для\(100\%\) модульованого сигналу AM, див\(\eqref{eq:27}\). Рівняння. Це не завжди стосується інших схем модуляції.