7.2: Обмеження Фано-Боде

Last updated
Save as PDF

Page ID: 28632

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Межі Фано-Боде для ланцюгів з реактивними навантаженнями.

Рисунок\(\PageIndex{2}\): Відповідь шукає відповідну мережу, яка використовується при визначенні неінтегральних критеріїв Фано-Боде. Пропускна здатність смуги пропускання (низька\(\Gamma\), дорівнює BW).

Складне навантаження, що має елементи накопичення енергії, обмежує пропускну здатність матчу, досягнуту відповідною мережею. Теоретичні межі, що стосуються пропускної здатності та якості матчу, були розроблені Фано [1, 2] на основі попередньої роботи Боде [3]. Ці теоретичні межі відомі як критерії FanoBode або межі Фано-Боде. Межі для простих навантажень наведені на малюнку\(\PageIndex{1}\). Більш загальні навантаження лікує Фано [1]. Критерії Фано-Боде використовуються для обґрунтування широкого твердження, що чим більше реактивної енергії зберігається в навантаженні, тим вужча пропускна здатність матчу.

Критерії Фано-Боде включають термін\(1/ |\Gamma (\omega )|\), який є оберненою величиною коефіцієнта відбиття, що дивиться у відповідну мережу, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\). Відповідна мережа забезпечує узгодження через радіанову смугу пропускання BW, а за межами відповідної смуги частот наближається величина коефіцієнта відбиття\(1\). Представляючи\(\Gamma_{\text{avg}}\) як середнє абсолютне значення\(\Gamma (\omega )\) в межах смуги пропускання, так і з\(f_{0} = \omega_{0}/(2\pi )\) як центральну частоту матчу (див. Рис.\(\PageIndex{2}\)), то чотири критерії Фано-Боде, показані на малюнку,\(\PageIndex{1}\) можуть бути записані як

Паралельне RC навантаження:

\[\label{eq:1}\frac{\text{BW}}{\omega_{0}}\ln\left(\frac{1}{\Gamma_{\text{avg}}}\right)\leq\frac{\pi}{R(\omega_{0}C)} \]

Паралельне навантаження RL:

\[\label{eq:2}\frac{\text{BW}}{\omega_{0}}\ln\left(\frac{1}{\Gamma_{\text{avg}}}\right)\leq\frac{\pi(\omega_{0}L)}{R} \]

Навантаження серії RL:

\[\label{eq:3}\frac{\text{BW}}{\omega_{0}}\ln\left(\frac{1}{\Gamma_{\text{avg}}}\right)\leq\frac{\pi R}{(\omega_{0} L)} \]

Серія RC навантаження:

\[\label{eq:4}\frac{\text{BW}}{\omega_{0}}\ln\left(\frac{1}{\Gamma_{\text{avg}}}\right)\leq\pi R(\omega_{0}C) \]

З точки зору реактивного опору та сприйнятливості їх можна записати як

Паралельне навантаження:

\[\label{eq:5}\frac{\text{BW}}{\omega_{0}}\ln\left(\frac{1}{\Gamma_{\text{avg}}}\right)\leq\frac{\pi G}{|B|} \]

Серійне навантаження:

\[\label{eq:6}\frac{\text{BW}}{\omega_{0}}\ln\left(\frac{1}{\Gamma_{\text{avg}}}\right)\leq\frac{\pi R}{|X|} \]

де\(G = 1/R\) провідність навантаження,\(B\) - сприйнятливість до навантаження та\(X\) реактивний опір навантаження. \(\text{BW}/\omega_{0}\)є дробовою пропускною здатністю відповідної мережі. Рівняння\(\eqref{eq:5}\) і\(\eqref{eq:6}\) вказують на те, що чим більша частка енергії, що зберігається реактивно в навантаженні, порівняно з потужністю, розсіюється в навантаженні, тим менша дробова смуга пропускання\((\text{BW}/\omega_{0})\) для того ж середнього коефіцієнта відбиття в діапазоні\(\Gamma_{\text{avg}}\).

Рівняння\(\eqref{eq:5}\) і\(\eqref{eq:6}\) можна спростити ще на крок далі:

\[\label{eq:7}\frac{\text{BW}}{\omega_{0}}\ln\left(\frac{1}{\Gamma_{\text{avg}}}\right)\leq\frac{\pi}{Q} \]

де\(Q\) - це навантаження. Кілька загальних результатів можна отримати з Рівняння\(\eqref{eq:7}\) наступним чином:

Якщо навантаження зберігає будь-яку реактивну енергію, так що навантаження не дорівнює нулю, коефіцієнт відбиття в смузі, що дивиться в відповідну мережу, не може бути нульовим по всій смузі пропускання.\(Q\)
Чим\(Q\) вище навантаження, тим вужча пропускна здатність матчу для того ж середнього коефіцієнта відбиття всередині смуги.
Чим\(Q\) вище навантаження, тим складніше буде спроектувати відповідну мережу для досягнення заданої відповідної пропускної здатності.
Збіг по всіх частотах можливий тільки в\(Q\) тому випадку, якщо навантаження дорівнює нулю; тобто якщо навантаження резистивна. У цьому випадку резистивне навантаження може бути узгоджено з резистивним джерелом за допомогою магнітного трансформатора. Використання відповідної мережі з об'ємними\(L\) та\(C\) компонентами призведе до збігу через кінцеву пропускну здатність. Однак з більш ніж двома\(C\) елементами\(L\) і пропускну здатність матчу може бути збільшена.
Багатоелементні узгоджуючі мережі необхідні для максимального узгодження пропускної здатності мережі та мінімізації коефіцієнта відбиття в діапазоні. Відповідна конструкція мережі стає складнішою\(Q\) з збільшенням навантаження.