3.5: Лінії електропередачі та графіки Сміта

Локус лінії електропередачі на діаграмі Сміта - це коло. Коли характеристичний імпеданс лінії дорівнює опорному опорному опорному опору системи, це коло зосереджується на початку діаграми Сміта. Основна мета цього розділу - розглянути ситуацію, коли характерний імпеданс і опорний опір системи відрізняються.

3.5.1 Білінійне перетворення

Математично вхідний коефіцієнт відбиття кінцевої лінії передачі характеристичного імпедансу\(Z_{02}\) посилається на системний імпеданс\(Z_{01}\). Математика, що описує це, заснована на білінійному перетворенні. Узагальнене білінійне перетворення двох комплексних чисел\(z\) і\(w\) є

\[\label{eq:1}w=\frac{Az+B}{Cz+D} \]

де\(A,\: B,\: C,\) і\(D\) є константами\(^{1}\), які самі можуть бути складними. Це цікавить у роботі з коефіцієнтами відбиття, де\(w\) і\(z\) є коефіцієнтами відбиття,\(A,\: B,\: C,\) і\(D\) описує двопортову мережу, підключену до навантаження зі складним коефіцієнтом відбиття\(z\), і\(w\) є коефіцієнтом відбиття, дивлячись на мережі. Особлива властивість білілінійного перетворення полягає в тому, що коло в комплексній площині (тут локус\(z\)) відображається на іншому колі (тут локус\(w\)) в комплексній площині. (Це показано в розділі 1.A.14 [11].)

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Розширена діаграма Сміта, яка використовується для побудови параметрів розсіювання з величиною більше\(1\). Параметр передачі вперед транзистора показаний стрілками у напрямку збільшення частоти.\(S_{21}\) Показано одиничне коло звичайної діаграми Сміта.

3.5.2 Зміна опорного імпедансу як білінійне перетворення

На малюнку\(\PageIndex{2}\) фіксоване навантаження закінчує лінію передачі характеристичного імпедансу\(Z_{01}\) і вхідний коефіцієнт відбиття становить\(\Gamma_{\text{in}}\). Як буде показано, локус\(\Gamma_{\text{in}}\), нормований до будь-якого системного імпедансу, являє собою коло на складній площині у міру збільшення електричної довжини лінії. Електрична довжина лінії збільшується зі збільшенням частоти при постійній фізичній довжині лінії, або як фізична довжина лінії збільшується з постійною частотою.

З Рівняння ((2.3.4)) з [11] коефіцієнт відбиття навантаження, на який\(Z_{L}\)\(Z_{01}\) посилається, дорівнює

\[\label{eq:2}\Gamma_{L, Z01}=\frac{Z_{L}-Z_{01}}{Z_{L}+Z_{01}} \]

і вхідний коефіцієнт відбиття, на який посилається\(Z_{01}\), є

\[\label{eq:3}\Gamma_{\text{in }, Z01}=\Gamma_{L, Z01}\text{e}^{-\jmath 2\theta} \]

\(\theta = \beta\ell\)де - електрична довжина лінії. \(\theta\)Зі збільшенням від нуля,\(\Gamma_{\text{in, }Z01}\) побудована на полярній діаграмі, простежує коло, що обертається за годинниковою стрілкою. Важливим результатом, який буде розроблений в цьому розділі, є те, що коли вхідний коефіцієнт відбиття посилається на інший імпеданс, новий коефіцієнт відбиття також простежує коло. Розробка\(\Gamma_{\text{in, }Z02}\) (згаданий коефіцієнт відбиття на вході\(Z_{02}\)) починається з розрахунку вхідного опору лінії (на малюнку\(\PageIndex{2}\)):

\[\label{eq:4}Z_{\text{in}}=Z_{01}\frac{1+\Gamma_{\text{in, }Z01}}{1-\Gamma_{\text{in },Z01}} \]

так що коефіцієнт відбиття, на який посилається\(Z_{02}\), є

\[\begin{align}\Gamma_{\text{in, }Z02}&=\frac{Z_{\text{in}}-Z_{02}}{Z_{\text{in}}+Z_{02}}=\frac{(Z_{\text{in}}-Z_{02})(1-\Gamma_{\text{in, }Z01})}{(Z_{\text{in}}+Z_{02})(1-\Gamma_{\text{in, }Z01})} \nonumber \\ &=\frac{(Z_{01}+Z_{02})\Gamma_{\text{in, }Z01}+(Z_{01}-Z_{02})}{(Z_{01}-Z_{02})\Gamma_{\text{in, }Z01}+(Z_{01}+Z_{02})} \nonumber \\ \label{eq:5}&=\frac{\Gamma_{\text{in, }Z01}+B}{B\Gamma_{\text{in, }Z01}+1}=\frac{A\Gamma_{\text{in, }Z01}+B}{C\Gamma_{\text{in, }Z01}+D} \end{align} \]

Це відображення має форму білінійного перетворення (Equation\(\eqref{eq:1}\)) з

\[\label{eq:6}A=1=D,\quad B=\frac{Z_{01}-Z_{02}}{Z_{01}+Z_{02}}=C \]

Оскільки Рівняння\(\eqref{eq:5}\) є загальним білілінійним перетворенням, якщо локусом\(\Gamma_{\text{in, }Z01}\) є коло, то локус\(\Gamma_{\text{in, }Z02}\) - це також коло.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Лінія передачі характеристичного імпедансу\(Z_{01}\) закінчується в навантаженні з коефіцієнтом відбиття\(\Gamma_{L}\).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Діаграма Сміта, нормована до\(50\:\Omega\) з локусом вхідного коефіцієнта відбиття лінії\(50\:\Omega\) електропередачі з навантаженням\(25\:\Omega\).

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Діаграма Сміта, нормована до\(75\:\Omega\) з локусом вхідного коефіцієнта відбиття лінії\(50\:\Omega\) електропередачі з навантаженням\(25\:\Omega\).

Приклад\(\PageIndex{1}\): Reflection Coefficient, Reference Impedance Change

У ланцюзі праворуч лінія\(50-\Omega\) без втрат закінчується в\(25-\Omega\) навантаженні. Побудуйте локус, щодо довжини лінії, коефіцієнта відбиття, дивлячись у лінію, посилаючись спочатку на\(50-\Omega\) опорний імпеданс, а потім на опорний імпеданс.\(75-\Omega\)

Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Рішення

Нехай вхідний коефіцієнт відбиття посилається на\(50-\Omega\) систему бути\(\Gamma_{\text{in, }50}\), і коли він посилається на\(75-\Omega\) нього є\(\Gamma_{\text{in, }75}\). У\(50-\Omega\) системі коефіцієнт відбиття навантаження дорівнює

\[\label{eq:7}\Gamma_{L, 50}=\frac{Z_{L}-50}{Z_{L}+50}=\frac{25-50}{25+50}=-0.3333 \]

і

\[\label{eq:8}\Gamma_{\text{in, }50}=\Gamma_{L, 50}\text{e}^{-\jmath 2\theta} \]

\(\theta = (\beta\ell)\)де - електрична довжина лінії. Локус, по відношенню до електричної довжини,\(\Gamma_{\text{in, }50}\) побудована на малюнку,\(\PageIndex{3}\) оскільки довжина\(\ell\) коливається від\(0\)\(\lambda /8\) до\(\lambda /2\), і завершує коло в\(\lambda /2\). Зараз

\[\label{eq:9}Z_{\text{in}}=50\frac{1+\Gamma_{\text{in, }50}}{1-\Gamma_{\text{in, }50}} \]

щоб коефіцієнт\(75-\Omega\) відбиття був

\[\label{eq:10}\Gamma_{\text{in, }75}=\frac{Z_{\text{in}}, 75}{Z_{\text{in}}+75} \]

Локус цього коефіцієнта відбиття побудовано на полярному графіку на рис\(\PageIndex{4}\). Цей локус є сюжетом,\(\Gamma_{\text{in, }75}\) як електрична довжина лінії\(\theta\), змінюється від\(0\) до\(π\). Центр кола на малюнку\(\PageIndex{4}\) береться з діаграми і визначається бути\(−0.177\).

Коло визначається його центром і його радіусом, а Рівняння (((1.239)) і ((1.240)) з [11], дозволяють кола для\(\Gamma_{\text{in, }Z02}\) локусу\(\Gamma_{\text{in, }Z01}\) і бути пов'язаними. \(\Gamma_{\text{in, }Z01}\)має центр\(C_{Z01}\) і радіус\(R_{Z01}\):

\[\label{eq:11}C_{Z01}=0\quad\text{and}\quad R_{Z01}=|\Gamma_{L, Z01}| \]

У Рівнянні ((1.239)) з [11]\(C_{Z01}\) замінює центр\(C_{z}\) і\(|\Gamma_{L,Z01}|\) займає місце радіуса\(R_{z}\). Аналогічно центр\(\Gamma_{Z02}\) кола\(C_{Z02}\), замінює\(C_{w}\) і радіус\(\Gamma_{Z02}\) кола\(R_{Z02}\), замінює\(R_{w}\). Отже, локус коефіцієнта відбиття, на який\(Z_{02}\) посилається, описується колом з центром та радіусом.

\[\label{eq:12}C_{Z02}=\frac{B-A/C}{1-|C\text{T}_{L, Z01}|^{2}}+\frac{A}{C} \]

\[\label{eq:13}R_{Z02}=\left|\frac{(BC-A)\Gamma_{L, Z01}}{1-|C\text{T}_{L, Z01}|^{2}}\right| \]

Оскільки, з Equation\(\eqref{eq:6}\),\(A = 1\) і\(B = C\) (\(B\)наведено в Рівнянні\(\eqref{eq:6}\)), це ще більше спрощує

\[\label{eq:14}C_{Z02}=\frac{B-1/B}{1-|B\Gamma_{L, Z01}|^{2}}+\frac{1}{B} \]

\[\label{eq:15}R_{Z02}=\left|\frac{(B^{2}-1)\Gamma_{L, Z01}}{1-|B\Gamma_{L, Z01}|^{2}}\right| \]

Таким чином, локус (по відношенню до частоти) вхідного коефіцієнта відбиття кінцевої лінії передачі (характеристичного імпедансу\(Z_{01}\)) - це коло незалежно від того, який імпеданс нормалізації використовується, і центр кола буде на реальній осі, горизонтальна вісь діаграми Сміта.

Приклад\(\PageIndex{2}\): Center of Reflection Coefficient Locus

У\(\PageIndex{1}\) прикладі місце вхідного коефіцієнта відбиття, на який посилається,\(75\:\Omega\) було побудовано для\(50-\Omega\) лінії, що закінчується навантаженням з коефіцієнтом відбиття (у\(50-\Omega\) системі)\(−1/3\). Обчисліть центр вхідного коефіцієнта відбиття, коли він посилається на\(75\:\Omega\).

Рішення

Центр нормованого до коефіцієнта відбиття\(Z_{01}\) дорівнює нулю, тобто\(C_{50} = 0\). З\(\eqref{eq:14}\) Рівняння центр коефіцієнта відбиття, нормований до\(Z_{02} = 75\:\Omega\) дорівнює

\[\label{eq:16}C_{75}=\frac{B-1/B}{1-|B\Gamma_{L, 50}|^{2}}+\frac{1}{B} \]

де

\[\label{eq:17}B=\frac{Z_{01}-Z_{02}}{Z_{01}+Z_{02}}=\frac{50-75}{50+75}=-0.2 \]

Так

\[\label{eq:18}C_{75}=\frac{-0.2+5}{1-(0.2/3)^{2}}-5=-0.17857 \]

який вигідно відрізняється від центру,\(−0.177\) визначеного вручну від полярної ділянки в попередньому прикладі.

3.5.3 Локус коефіцієнта відбиття

Напрямок локусу вхідного коефіцієнта відбиття кінцевої лінії передачі завжди за годинниковою стрілкою зі збільшенням частоти, навіть якщо діаграма Сміта використовує опорний або нормалізаційний імпеданс, відмінний від характеристичного імпедансу лінії. На малюнку\(\PageIndex{6}\)\(Z_{01}\) - це характеристичний імпеданс лінії і\(Z_{02}\) є нормалізаційним імпедансом. Центр кола коефіцієнта відбиття, нормованого до,\(Z_{02}\) знаходиться ліворуч від початку координат if\(Z_{02} > Z_{01}\), і праворуч від початку, якщо нормований до\(Z_{02} < Z_{01}\), але завжди на дійсній осі.

Рисунок\(\PageIndex{6}\): Локус вхідного коефіцієнта відбиття,\(Z_{02}\) нормованого до кінцевої лінії характеристичного імпедансу\(Z_{01}\). Локус - щодо електричної довжини лінії, а стрілки показують напрямок обертання коефіцієнта відбиття. (Зверніть увагу, що для того ж кінцевого імпедансу радіуси також змінюватимуться, але це не показано тут.)

3.5.4 Резюме

Графіки Сміта є незамінними інструментами для радіочастотних та мікрохвильових інженерів. Навіть при наявності готової програми САПР. Діаграми Сміта, як правило, є кращими для зображення виміряних та розрахункових даних через легку інтерпретацію\(S\) параметрів. З досвідом можна зробити висновок про властивості схем. Крім того, маючи досвід, вони є безцінним інструментом проектування, що дозволяє дизайнеру бачити початкові та кінцеві точки дизайну та зробити висновок про тип схеми, необхідної для переходу від початку до кінця.

Виноски

[1] Це не каскадні\(ABCD\) параметри, а просто коефіцієнти, які зазвичай використовуються при білінійних перетвореннях.