3.2: Графік потоку сигналу

СФГ - зручні способи графічного представлення систем одночасних лінійних рівнянь [1, 2]. СФГ використовуються в багатьох дисциплін, але вони особливо корисні для радіочастотних та мікрохвильових схем.

SFG представляє лінійну операцію на вході. Розглянемо індуктор, показаний на малюнку\(\PageIndex{1}\) (а), де величини ланцюга\(v\) і\(i\), і вони пов'язані імпедансом індуктора\(sL\). Представлення цього відношення SFG наведено на малюнку\(\PageIndex{1}\) (b), причому операція виконана поруч із спрямованим краєм. Операція тут проста, множення вхідної величини на коефіцієнт масштабування. Край спрямований від вузла збудження до вузла реагування. Алгебраїчний зв'язок між\(v\) і\(i\) є, в області Лапласа,

\[\label{eq:1}v=sLi \]

і саме так інтерпретується СФГ малюнка\(\PageIndex{1}\) (b). Кілька лінійних рівнянь представлені у вигляді SFG в табл\(\PageIndex{1}\).

3.2.1 СФГ представлення математичних відносин

У цьому розділі наведено основні правила маніпулювання SFG. Згадайте, коли ви вперше почали працювати з схемами. Велика абстракція виникла, коли фізичний світ був представлений графічно як з'єднання елементів схеми. За умови дотримання кількох простих правил графічне представлення дозволило розпізнавати топології ланцюга та вибрати відповідні стратегії рішення (наприклад, застосовуючи правило дільника напруги). Що стосується роботи з\(S\) параметрами та взаємозв'язками багатопортових мереж, SFG служать майже одній меті. Крім того, аналіз SFG дозволяє розробляти символічні вирази. Тут розглядається лише частина теорії SFG - аспекти, що стосуються маніпулювання описами параметрів розсіювання. Балабанян [3], Авраам і Покриття [4] та Ді Стефано та ін. [5] забезпечують більш детальне та загальне лікування.

3.2.2 SFG представлення параметрів розсіювання

Параметри розсіювання стосуються падаючих і відбитих хвиль:

\[\label{eq:2}\mathbf{b}=\mathbf{Sa} \]

де\(\mathbf{a}\) і\(\mathbf{b}\) є вектори і їх\(i\) ті елементи відносяться до падаючих і відбитих хвиль відповідно. Ці відносини можуть бути представлені СФГ. Розглянемо два порти на малюнку\(\PageIndex{2}\) (а), описані рівняннями

\[\label{eq:3}b_{1}=S_{11}a_{1}+S_{12}a_{2} \]

\[\label{eq:4}b_{2}=S_{21}a_{1}+S_{22}a_{2} \]

які представлені у вигляді SFG на малюнку\(\PageIndex{2}\) (б).

3.2.3 Спрощення та скорочення СФГ

Сила SFG-аналізу полягає в тому, що SFG можна сформулювати шляхом побудови набору рівнянь, що описують мережу, шляхом з'єднання між собою SFG секцій. Розпізнавання образів може бути використано для ідентифікації шаблонів, які можуть бути

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Індуктор, представлений у вигляді: (а) двокінцевий елемент; і (б) графік потоку сигналу.

(а)		\(y=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}\)
(б)		\(\begin{aligned}y_{1}&=ax_{1}\\y_{2}&=ax_{1}\end{aligned}\nonumber\)
(c)		\(\begin{aligned}y_{1}&=a_{3}(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}) \\ y_{2}&=a_{4}(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})\end{aligned}\nonumber\)

Таблиця\(\PageIndex{1}\): Математичні відносини у вигляді графіків потоку сигналу з ребрами, що з'єднують вузли. Ребра та вузли використовуються в теорії графів, надмножині теорії SFG. Край ще називають гілкою.

Рисунок\(\PageIndex{2}\): Два порти представлені як (а) двопортова мережа з падаючими та відбитими хвилями; і (b) його подання SFG.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Графік потоку сигналу зображення додавання.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Каскадне зменшення SFG: (а) три каскадні блоки; і (б) зменшена форма.

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Спрощення графіка потоку сигналу усуває змінну.

зменшено та спрощено, щоб досягти простої залежності між входом та виходом системи. Люди надзвичайно добре вміють розпізнавати образи.

Додавання

\(\PageIndex{3}\)На малюнку зображено додавання СФГ. Цифри\(\PageIndex{3}\) (а і б) позначають

\[\label{eq:5}x_{2}=G_{1}x_{1}+G_{2}x_{1} \]

множення

Розглянемо три каскадні блоки, представлені СФГ малюнка\(\PageIndex{4}\) (а). Тут висновок першого блоку,\(x_{2}\), описується\(x_{2} = G_{1}x_{1}\). Тепер\(x_{2}\) це вхід в другий блок з виходом\(x_{3} = G_{2}x_{2}\) і так далі. Загальна відповідь є добутком окремих відповідей (див. Рис.\(\PageIndex{4}\) (b)):

\[\label{eq:6}x_{4}=G_{1}G_{2}G_{3}x_{1} \]

Комутація

Правила, що регулюють спрощення СФГ, використовують той факт, що кожен граф являє собою набір одночасних рівнянь. Розглянемо видалення внутрішнього вузла\(b_{3}\), на малюнку\(\PageIndex{5}\) (а). Тут

\[\label{eq:7}b_{3}=S_{31}a_{1}+S_{32}a_{2}\quad\text{and}\quad b_{4}=S_{43}b_{3} \]

Вузол\(b_{3}\) називається змішаним вузлом (будучи як вхідним, так і вихідним) і може бути усунений, тому

\[\label{eq:8}b_{4}=S_{31}S_{43}a_{1}+S_{32}S_{43}a_{2} \]

який має СФГ малюнка\(\PageIndex{5}\) (b). На малюнку\(\PageIndex{5}\) (b) вузол, що представляє змінну,\(b_{3}\) був усунений. При цьому ліквідація вузла відповідає

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Графіки потоку сигналів, що мають самоконтур: (а) оригінальний SFG; і (b) після усунення\(a_{2}\).

Малюнок\(\PageIndex{7}\): Графік потоку сигналу (а) самоконтуру; і (б) з виключеною петлею.

Малюнок\(\PageIndex{8}\): Графік потоку сигналу з петлею.

усунення змінної в одночасному. Достатньо розпізнати модель SFG, показану на малюнку\(\PageIndex{5}\) (а), і замінити її SFG на малюнку\(\PageIndex{5}\) (b), щоб досягти зменшення SFG.

Самостійна петля

Розпізнавання самоциклу та його усунення є найкращим прикладом ідентифікації шаблонів та прямого застосування стратегій скорочення SFG. Розглянемо СФГ малюнка\(\PageIndex{6}\) (а), який має самоцикл, який описує Рівняння для цього графіка є

\[\label{eq:9}b_{3} = S_{32}a_{2},\quad S_{23}a_{2} = b_{2},\quad b_{2} = S_{21}a_{1} + S_{23}a_{3},\quad a_{3} = b_{3} \]

Таким чином

\[\label{eq:10}b_{3} = S_{32}S_{21}a_{1} + S_{32}S_{23}b_{3}\quad\text{ and }\quad (1 − S_{32}) b_{3} = S_{32}S_{21}a_{1} \]

де змінна\(b_{2}\) була усунена. Графік рівняння\(\eqref{eq:10}\) показаний на малюнку\(\PageIndex{7}\) (а). Петля, прикріплена до вузла,\(b_{3}\) називається самоконтуром. Такі петлі не особливо зручні і їх можна зняти, написавши Equation\(\eqref{eq:10}\) у вигляді

\[\label{eq:11}b_{3}=\frac{S_{21}S_{32}}{1-S_{23}S_{32}}a_{1} \]

і SFG для цього рівняння показаний на малюнку\(\PageIndex{7}\) (б). Правило зняття самопетель випливає з способу, яким малюнок\(\PageIndex{7}\) (а) трансформувався в рис.\(\PageIndex{7}\) (b). Як приклад, Рисунок\(\PageIndex{8}\) (а) стає малюнком\(\PageIndex{8}\) (b), і це може бути зведено до SFG малюнка\(\PageIndex{8}\) (c).

В якості подальшого прикладу розглянемо більш складний випадок з декількома петлями, показаний на малюнку\(\PageIndex{9}\) (а). Це може бути перемальовано як малюнок\(\PageIndex{9}\) (b). Два самоцикли додаються, а потім графік зменшується до графіка на малюнку\(\PageIndex{9}\) (c).

Малюнок\(\PageIndex{9}\): Графік потоку сигналу з декількома петлями.

Рисунок\(\PageIndex{10}\): Послідовність графічних маніпуляцій\(\PageIndex{1}\) у прикладі зведення завершеного двох портів лише до відображення.

Приклад\(\PageIndex{1}\): Signal Flow Graph

Намалюйте SFG з двох портів з навантаженням (в порту\(\mathsf{2}\)), що має коефіцієнт відбиття напруги\(\Gamma_{L}\), а в порту джерело\(\mathsf{1}\) має коефіцієнт відбиття\(\Gamma_{S}\). Використовуючи аналіз SFG, вивести вираз для вхідного коефіцієнта відбиття, дивлячись у два порту порту\(\mathsf{1}\).

Рішення

Двопортовий зображений праворуч із прикріпленим вантажем. Вхідний коефіцієнт відбиття є\(\Gamma_{\text{in}} = b_{1}/a_{1}\) і властивості джерела тут не мають ніякого впливу.

Малюнок\(\PageIndex{11}\)

Послідовність маніпуляцій SFG показана на малюнку, що\(\PageIndex{10}\) починається з SFG у верхньому лівому куті. Отже, вхідний коефіцієнт відбиття

\[\label{eq:12}\Gamma_{\text{in}}=\frac{b_{1}}{a_{1}}=S_{11}+\frac{S_{21}S_{12}\Gamma_{L}}{1-S_{22}\Gamma_{L}} \]

Рисунок\(\PageIndex{12}\): Розробка моделі графіка потоку сигналу джерела. Модель в (а) призначений для реального опорного імпедансу\(Z_{0}\).

3.2.4 Модель SFG джерела

Модель SFG, посилається на можливо складний імпеданс\(Z_{0}\), джерела з еквівалентною напругою\(E\) та імпедансом Тевеніна\(Z_{S}\) показана на малюнку\(\PageIndex{12}\) (а). При розробці цієї моделі використовується схема, показана на малюнку\(\PageIndex{12}\) (b), де лінія електропередачі нескінченно малої довжини розділяє хвилі напруги вперед і назад,\(V_{1}^{+}\) а\(V_{1}^{−}\) для опорного опорного опорного опорного опорного опорного опору\(Z_{0}\), характерний імпеданс передачі лінія. Модель SFG, що використовується з джерелом, доповненим лінією передачі, показана на малюнку\(\PageIndex{12}\) (c). Модель SFG на малюнку\(\PageIndex{12}\) (c) описує

\[\label{eq:13}a_{1}=b_{s}+\Gamma_{S}b_{1} \]

де коефіцієнт відбиття джерела\(\Gamma_{S} = (Z_{S} − Z_{0})/(Z_{S} + Z_{0})\). Схемові рівняння для малюнка\(\PageIndex{12}\) (b)

\[\label{eq:14}V_{1}=E-I_{S}Z_{S}=V_{1}^{+}+V_{1}^{-}\quad\text{and}\quad I_{S}=\frac{V_{1}^{+}}{Z_{0}}-\frac{V_{1}^{-}}{Z_{0}} \]

Тепер напруги біжучої хвилі пов'язані з коренями хвилі a та b як (див. Рівняння\(\eqref{eq:15}\))

\[\label{eq:15}a_{1}=\frac{V_{1}^{+}}{\sqrt{\Re\{Z_{0}\}}}\quad\text{and}\quad b_{1}=\frac{V_{1}^{-}}{\sqrt{\Re\{Z_{0}\}}} \]

Потім комбінування рівнянь\(\eqref{eq:14}\) і\(\eqref{eq:15}\) прибутковості

\[\begin{align}E&=V_{1}^{+}\frac{Z_{S}+Z_{0}}{Z_{0}}-V_{1}^{-}\frac{Z_{S}-Z_{0}}{Z_{0}}\nonumber \\ \frac{Z_{0}}{\sqrt{\Re\{Z_{0}\}}}\frac{1}{Z_{S}+Z_{0}}E&=\frac{V_{1}^{+}}{\sqrt{\Re\{Z_{0}\}}}\left(\frac{Z_{S}+Z_{0}}{Z_{S}+Z_{0}}\right)-\frac{V_{1}^{-}}{\sqrt{\Re\{Z_{0}\}}}\left(\frac{Z_{S}-Z_{0}}{Z_{S}+Z_{0}}\right)\nonumber \\ \label{eq:16}\frac{Z_{0}}{\sqrt{\Re\{Z_{0}\}}}\frac{1}{Z_{S}+Z_{0}}E&=a_{1}-b_{1}\Gamma_{S}\end{align} \]

Порівнюючи рівняння\(\eqref{eq:16}\),\(\eqref{eq:13}\) і видно, що

\[\label{eq:17}b_{s}=\frac{Z_{0}}{\sqrt{\Re\{Z_{0}\}}}\frac{1}{Z_{S}+Z_{0}}E \]

Таким чином, модель SFG джерела, як показано на малюнку\(\PageIndex{12}\) (а), де модель показана для реального\(Z_{0}\).

Приклад\(\PageIndex{2}\): Power Delivered to a Load and Substitution Loss

Цей приклад ілюструє метод визначення потужностей за допомогою аналізу графіка потоку сигналів з узагальненими\(S\) параметрами, що мають опорні опорні\(Z_{01}\) опорні опорні\(\mathsf{1}\) опори\(Z_{02}\) в порту\(\mathsf{2}\). Потім це використовується для визначення втрати заміщення. Втрата заміщення - це відношення потужності, що подається на навантаження з початковим двопортовим, до потужності, що подається з заміщеною кінцевою двопортовою мережею. Елементи SFG зображені праворуч із\(\Gamma_{S}\) згаданим\(Z_{01}\) та\(\Gamma_{L}\) посиланим\(Z_{02}\).

Малюнок\(\PageIndex{13}\)

Рішення

Маніпуляції СФГ, що визначають потужність, що подається на навантаження, показані на малюнку\(\PageIndex{14}\), де

\[\label{eq:18}\alpha=\frac{S_{21}}{1-S_{22}\Gamma_{L}},\quad\beta=\frac{1}{1-\Gamma_{S}(S_{11}+S_{12}\Gamma_{L}\alpha)} \]

і

\[\begin{align}b_{2}&=b_{S}\alpha\beta =b_{S}\frac{S_{21}}{(1-S_{22}\Gamma_{L})}\frac{1}{\{1 − \Gamma_{S} [S_{11} + S_{12}S_{21}\Gamma_{L}/(1 − S_{22}\Gamma_{L})]\}}\nonumber \\ &=b_{S}\frac{S_{21}}{(1-S_{22}\Gamma_{L})}\frac{(1-S_{22}\Gamma_{L})}{[(1 − S_{22}\Gamma_{L}) − S_{11}\Gamma_{S}(1 − S_{22}\Gamma_{L}) + S_{12}S_{21}\Gamma_{S}\Gamma_{L}]}\nonumber \\ &=b_{S}\frac{S_{21}}{1 − S_{22}\Gamma_{L} − S_{11}\Gamma_{S} + S_{11}S_{22}\Gamma_{S}\Gamma_{L} + S_{12}S_{21}\Gamma_{S}\Gamma_{L}}\nonumber \\ \label{eq:19}&=b_{S}\frac{S_{21}}{(1 − S_{11}\Gamma_{S})(1 − S_{22}\Gamma_{L}) − S_{12}S_{21}\Gamma_{S}\Gamma_{L}}\end{align} \]

Тоді потужність, що подається на навантаження, становить (за допомогою Рівняння (2.4.9))

\[\label{eq:20}P_{L}=\frac{1}{2}|b_{2}|^{2}(1-|\Gamma_{L}|^{2})=\frac{\frac{1}{2}|b_{S}S_{21}|^{2}(1-|\Gamma_{L}|^{2})}{|(1-S_{11}\Gamma_{S})(1-S_{22}\Gamma_{L})-S_{12}S_{21}\Gamma_{S}\Gamma_{L}|^{2}} \]

Втрата заміщення - це відношення потужності\(L_{S}\), що передається навантаженню початковим двома портами, ідентифікованими провідним верхнім індексом '\(i\)', і потужність, що подається навантаженню з остаточними двома портами, ідентифікованими провідним верхнім індексом '\(f\)'. У децибелах

\[\label{eq:21}L_{S}|_{\text{dB}}=10\log\left|\frac{^{i}P_{L}}{^{f}P_{L}}\right|=10\log\left|\frac{[(1 −\:^{f}S_{11}\Gamma_{S})(1 −\:^{f}S_{22}\Gamma_{L}) −\:^{f}S_{12}\:^{f}S_{21}\Gamma_{S}\Gamma_{L}]}{[(1 −\:^{i}S_{11}\Gamma_{S})(1 −\:^{i}S_{22}\Gamma_{L}) −\:^{i}S_{12}\:^{i}S_{21}\Gamma_{S}\Gamma_{L}]}\right|^{2} \]

Втрати заміщення використовуються при отриманні формул для втрат при вставці, див. Розділ 2.8.2.

Малюнок\(\PageIndex{14}\): SFG маніпуляції при розробці потужності, що подається на навантаження з двопортовою мережею між джерелом і навантаженням.

3.2.5 Правило Мейсона

Правило Мейсона є загальною процедурою скорочення СФГ з множинними петлями і є систематичною процедурою скорочення СФГ до однієї гілки. Мейсон [6] вивів формулу з метою розробки загального методу комп'ютерного аналізу електричних ланцюгів. По-перше, необхідно ввести ряд визначень топології.

Шляхи починаються з одного вузла і проходять ряд послідовних країв у напрямку стрілок, щоб прийти до кінцевого вузла або раковини. У аналізі SFG шлях - це шлях вперед, оскільки послідовні ребра проходять у напрямку стрілок. Відкритий шлях зустрічається з одним і тим же вузлом лише один раз, а замкнутий шлях (або цикл) закінчується на тому самому вузлі, на якому він запускається. Твір пропускання всіх країв в петлі називається коефіцієнтом пропускання петлі. Кажуть, що два шляхи, відкриті або закриті, не торкаються, якщо вони не мають спільних вузлів. Аналогічно нероз'ємні петлі - це петлі, які не мають спільних вузлів.

Правило Мейсона:

Якщо\(T\) представляє загальну функцію передачі графіка і\(T_{k}\) представляє функцію передачі\(k\) го прямого шляху від джерела до раковини, то

\[\label{eq:22}T=\frac{1}{\lambda}\sum_{k}T_{k}\lambda_{k} \]

де\(\lambda\) - визначник матриці коефіцієнтів рівнянь, представлених СФГ (зазвичай називають визначником графа) і\(\lambda_{k}\) є визначником тієї частини графіка (подграфа), яка не стосується\(k\) го прямого шляху. Детермінант задається

\[\label{eq:23}\lambda=1-\sum_{k}P_{j1}+\sum_{j}P_{j2}-\sum_{j}P_{j3}+\ldots \]

де перше підсумовування в Рівнянні\(\eqref{eq:23}\) - це сума передавальних функцій циклу всіх петель у графі. У другому підсумовуванні додаються добутки передавальних функцій всіх пар не торкаються петель. При третьому підсумовуванні додаються добутки передавальних функцій нероз'ємних петель, взятих по три за раз, і так далі. Правило Мейсона може бути досить складним у застосуванні, але будь-яка проблема, яку може вирішити правило Мейсона, також може бути вирішена за допомогою декількох застосувань маніпуляцій SFG, описаних раніше.

Приклад\(\PageIndex{3}\): Application of Mason's Rule

Використовуйте правило Мейсона, щоб зменшити SFG, показаний на малюнку\(\PageIndex{15}\) (а). Тут вхідним вузлом\(a_{1}\) є збудження, а вихідний вузол\(b_{4}\) - реакція. Коефіцієнт\(T\) пропускання дорівнює\(b_{4}/a_{1}\).

Рішення

Спочатку розглянемо детермінант графіка потоку. Оскільки всі петлі мають хоча б один вузол спільного, вираз для визначника зводиться до

\[\label{eq:24}\lambda=1-\sum_{j}P_{j1} \]

Є три петлі, позначені на малюнку\(\PageIndex{15}\) (б) з передачами\(\mathsf{A} = S_{21}S_{32}S_{13},\: \mathsf{B} = S_{32}S_{43}S_{24},\) і\(\mathsf{C} = S_{21}S_{32}S_{43}S_{14}\). Таким чином, сума пропусків петлі дорівнює

\[\label{eq:25}\sum_{j}=P_{j1}=S_{21}S_{32}S_{13} + S_{32}S_{43}S_{24} + S_{21}S_{32}S_{43}S_{14} \]

а детермінант задається

\[\label{eq:26}\lambda= 1 − S_{21}S_{32}S_{13} − S_{32}S_{43}S_{24} − S_{21}S_{32}S_{43}S_{14} \]

Це правило добре працює з людською здатністю розпізнавати візерунки, в даному випадку петлі. Існує лише один шлях вперед, позначений на малюнку\(\PageIndex{15}\) (b), від джерела\(a_{1}\) до раковини\(b_{4}\), заданий

\[\label{eq:27}T_{1}=S_{21}S_{32}S_{43} \]

Так як всі петлі графіка мають вузли, які\(T_{1}\) торкаються, то\(\lambda_{1} = 1\) і

\[\label{eq:28}\sum_{k}T_{k}\lambda_{k}=T_{1}\lambda_{1}=S_{21}S_{32}S_{43} \]

Таким чином

\[\label{eq:29}\frac{b_{4}}{a_{1}}=T=\frac{S_{21}S_{32}S_{43}}{1− S_{21}S_{32}S_{13} − S_{32}S_{43}S_{24} − S_{21}S_{32}S_{43}S_{14}} \]

Рисунок\(\PageIndex{15}\): Графік потоку сигналу, використаний у прикладі 3.2.3 із застосуванням правила Мейсона: (а) SFG; (b) анотація, що визначає петлі та наскрізний шлях; і (c) остаточне зменшення.

3.2.6 Резюме

Зменшення SFG може використовуватися з числовими значеннями, але реальна потужність походить від здатності розвивати символічні вирази. У радіочастотній та мікрохвильовій техніці ці вирази майже завжди включають параметри розсіювання, але вони можуть бути використані з будь-якими наборами рівнянь. Дизайн найкраще здійснюється шляхом розробки символічних рішень, оскільки вони дозволяють виконати оптимізацію та отримати уявлення про важливість параметрів.