5.8: Розширене обговорення шуму генератора

У цьому розділі представлено обговорення шуму генератора, і особливо швидкого збільшення фазового шуму, близького до носія. Шум можна розділити на амплітудні та фазові компоненти шуму. Нелінійне насичення генератора пригнічує амплітудний шум, тому викликає занепокоєння лише фазовий шум. Хоча зазвичай асоціюється з осциляторами, фазовий шум також додається до сигналу підсилювачем.

Немає єдиної думки щодо походження фазового шуму, близького до несучої. Цей розділ починається зі спостережень за шумом генератора в частотній області і в часовій області. Далі представлені три теорії надлишкового шуму осцилятора, теорія Лісона, лінійна інваріантна модель часу та хаотична модель карти.

Відсутність повної моделі фізичного походження фазового шуму означає, що симулятор не може надійно передбачити фазовий шум генератора. Також проектування генератора з хорошими характеристиками фазового шуму в даний час в значній мірі спирається на досвід та прогнози, засновані на тому, що було досягнуто дизайнером раніше.

5.8.1 Спостереження за шумом осциляторів у частотній області

Найбільш загадковим шумом, що спостерігається з осциляторами, є шум, що спостерігається при невеликому зміщенні частоти від носія (тобто середній сигнал коливань). Щоб розвинути оцінку широти спостережень, будуть розглянуті сигнали, вироблені кількома різними осциляторами. По-перше, Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Загальні випромінювачі BJT Colpitts осцилятори: (а) конфігурація з мережею зворотного зв'язку між колектором і базою транзистора; і (б) альтернативна конфігурація.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Вимірюваний фазовий шум низькочастотних генераторів: (а) шумовий підлогу приладу; (б) підсилювач розподілу частоти HP 5087A при\(5\text{ MHz}\) (використовується для приводу зовнішнього опорного входу декількох випробувальних приладів за допомогою одного високоякісного генератора); (c) розподіл частоти TADD-1 підсилювач при\(10\text{ MHz}\); (г) підсилювач розподілу частоти TADD-1 при\(5\text{ MHz}\); (е) підсилювач розподілу частоти Spectracom 8140T на частоті 10 МГц. П'ять областей фазового шуму ідентифікуються як\(f^{−5},\: f^{−4},\: f^{−3},\: f^{−1}\) і білий шум. Неправдиві сигнали пов'язані з інжекторними гармоніками\(60\text{ Hz}\) електромережі. Використовується з дозволу Джона Акермана [23].

являє собою графік фазового шуму, що спостерігається на виході декількох осциляторів і підсилювачів, що працюють при\(5\text{ MHz}\) і\(10\text{ MHz}\). Крива (а) є підлогою шуму приладу вимірювання шуму і паразитні тони спостерігаються в кратних\(60\text{ Hz}\), частоті електромережі. Криві (b), (c), (d) та (e) показують фазовий шум, що змінюється в прямолінійних сегментах. Будучи графіком журналу, ці криві показують фазовий шум, що змінюється як\(f^{−5},\: f^{−4},\: f^{−3},\: f^{−1}\), і\(f^{0}\). Жоден з графіків фазового шуму тут не показує область з\(f^{−2}\) залежністю, хоча це спостерігається з іншими осциляторами.

Ще одним осцилятором, який слід розглянути, є схема ГУН, показана на малюнку\(\PageIndex{3}\) [24]. Це ГУН\(50\text{ MHz}\) з напівпровідниковим варактором, який є змінним елементом з нульовою ємністю зміщення\(100\text{ pF}\). Ємність варактора контролюється напругою,\(V_{b}\). При\(V_{b} = 0\text{ V}\),\(\PageIndex{4}\) спостерігався фазовий шум, показаний на малюнку. Різні області фазового шуму мають частотні залежності\(f^{0},\: f^{−1},\: f^{−2}\), і\(f^{−3}\). Фазовий шум цього генератора знову позначений\(\PageIndex{5}\) на малюнку для трьох різних напруг зміщення варактора. Характеристики фазового шуму генератора змінюються, навіть якщо основні фізичні джерела шуму не змінюються (звичайно). Крива (a)\(V_{b} = 6\text{ V}\), with та Curve (b)\(V_{b} = 0\text{ V}\), with, мають\(f^{−1}\) область навколо\(20\text{ kHz}\) (докладніше\(\PageIndex{4}\) див. Рисунок), але\(f^{−1}\) область не спостерігається в Curve (c) де\(V_{b} = 18\text{ V}\). Одна інтерпретація полягає в тому, що частоти кросовера змістилися. Отже, що тут особливо цікаво, так це

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Схема VCO, налаштована на Varactor, з [24].

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Виміряний фазовий шум VCO на основі варактора\(50\text{ MHz}\) BJT з варактором, зміщеним на\(0\text{ V}\) [25, 26]. Три фазові шумові області ідентифікуються як\(f^{−3}\) (мають нахил\(−9\text{ dB}\) /октаву),\(f^{−2}\) (мають нахил\(−6\text{ dB}\) /октаву), і\(f^{−1}\) (мають\(−3\text{ dB}\) нахил/октаву).

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Вимірюваний фазовий шум VCO на основі варактора\(50\text{ MHz}\) BJT при трьох напругах зміщення варактора: (a)\(6\text{ V}\); (b)\(0\text{ V}\); і (c)\(18\text{ V}\) [25]. Напруга пробою варактора\(30\text{ V}\) крива (b) також була побудована на малюнку\(\PageIndex{4}\).

що одне і те ж фізичне джерело шуму може проявлятися зовсім по-різному на виході генератора при зміні зміщення ланцюга.

Приклад третього фазового шуму призначений для генератора\(2.4\text{ GHz}\) потужності, який має вихідний спектр, показаний на малюнку,\(\PageIndex{6}\) з регіонами, що мають залежності\(f^{−3}\) і\(f^{−0}\), але нічого між ними. (Незначне збільшення спектральної щільності потужності шуму при\(40\text{ kHz}\) зсуві обумовлено динамікою осцилятора

Рисунок\(\PageIndex{6}\): Фазовий шум\(2.4\text{ GHz}\) силового генератора з вихідною потужністю\(34.5\text{ dBm}\) [27, с. 323]. Дві області фазового шуму ідентифікуються як\(f^{−3}\) (мають\(−9\text{ dB}\) нахил/октава) і білий шум (з\(f^{0}\) залежністю).

Малюнок\(\PageIndex{7}\): Довгострокова стабільність\(10\text{ GHz}\) осцилятора вимірюється протягом\(24\) годинного інтервалу після того, як протягом\(3\) тижнів. Використовується з дозволу Джона Акермана [23].

петля зворотного зв'язку.) Нарешті,\(5\text{ GHz}\) осцилятор, розглянутий в розділі 5.6, має\(f^{−3}\) і області\(f^{−2}\) фазового шуму (див. Рис. 5.6.15).

Таким чином, спостерігається весь діапазон залежностей фазового шуму від зсуву частоти, але універсальне спостереження полягає в тому, що залежність спектральної щільності потужності шуму від непозитивної цілої потужності частоти (тобто\(f^{−n},\: n = 0, 1,\ldots \)).

5.8.2 Спостереження за шумом осциляторів у часовій області

Важливу часову характеристику шуму називають випадковим шумом ходьби. Прикладом цього є зміна частоти коливань протягом тривалого періоду часу. Довгострокова стійкість\(10\text{ GHz}\) осцилятора показана на малюнку\(\PageIndex{7}\). Цей шум не може бути охарактеризований у частотній області, а замість цього описується його дисперсією Аллана\(\sigma_{y}^{2}(\tau )\), або відхиленням Аллана\(\sigma_{y}(\tau ) =\sqrt{\sigma_{y}^{2}(\tau)}\), визначеною наступним чином.

Якщо частота, виміряна в часі,\(t\) дорівнює\(f(t)\) і номінальна частота коливань дорівнює\(f_{n}\), то дробова частота в часі\(t\) визначається як

\[\label{eq:1}y(t)=\frac{f(t)-f_{n}}{f_{n}} \]

Тоді середня дробова частота за інтервал часу спостереження\(\tau\) визначається як

\[\label{eq:2}\overline{y}(t,\tau )=\frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau}y(t+t_{v})dt_{v} \]

Це призводить до визначення дисперсії Аллана як

\[\label{eq:3}\sigma_{y}^{2}(\tau)=\frac{1}{2}\left<\overline{y}_{n+1}-\overline{y}_{n}\right> \]

де\(\tau\) - період спостереження і\(\overline{y}_{n}\) -\(n\) е середнє значення дробової частоти за часовий проміжок\(\tau\). Зверніть увагу на те, що між часовими інтервалами вимірювання та\((n + 1)\) тимчасовими інтервалами немає часу.\(n\)

Випадкова прогулянка, показана на малюнку,\(\PageIndex{7}\) є важливою підказкою до розгадки мерехтіння шуму. \(\PageIndex{7}\)На малюнку показана довгострокова пам'ять і тут показано, що є пам'ять протягом декількох годин. Навіть на менших часових масштабах випадкова ходьба очевидна, і є схожа на себе властивість - відмінна риса хаотичної поведінки. Чи може цей випадковий ефект ходьби та\(1/f\) шум виникнути в результаті одного і того ж фізичного процесу? Швидше за все, але прийнятої теорії немає.

5.8.3 Надмірний шум осцилятора: ефект Leeson та шум мерехтіння

Як видно\(\PageIndex{2}\) на малюнках до\(\PageIndex{6}\), осцилятори мають шум, який збільшується в міру зміщення\(\Delta f\), від середньої частоти коливань зменшується. Цей шум має відокремлені області, де шум змінюється як\(\Delta f^{n}\), де\(n\) ціле число, починаючи від\(0\) до\(−5\). Існують перехідні області між цими дискретними станами, але немає області, де\(n\) знаходиться дробове число. Не всі дискретні стани спостерігаються тому, що, імовірно, або частоти кросовера змінили порядок, або зміщення частоти\(\Delta f\), було недостатньо низьким.

У 1966 році Лісон [28] вивчив вплив зворотного зв'язку на шум в осциляторах (див. Рис. Механізм фазового шуму, оброблений цим аналізом, тепер називається ефектом Лізона. Лісон показав, що білий фазовий шум і білий шум мерехтіння (білий тут означає незалежний від частоти) підсилювача в петлі зворотного зв'язку переводять на шум на коливальний сигнал із залежностями закону потужності\(f^{−2}\), званий шум білої частоти, і\(f^{−3}\), званий шум частоти мерехтіння, відповідно. Це були домінуючі «небілі» форми шуму, що спостерігалися в його час. Однак його аналіз точно не прогнозував рівень шуму і іноді відключався на порядок.

Ефект Лісон коротко підсумований тут. По-перше, було помічено, що майже кожна фізична система має коливання, які змінюються як\(1/f\) на низьких частотах. Сюди входять електричні пристрої, такі як підсилювач в контурі зворотного зв'язку генератора. Це призводить до рівної амплітуди фазового і амплітудного шуму, накладеного на коливання. Оскільки шум невеликий, коливання амплітуди пригнічуються насиченням активного пристрою, так що єдиним шумом, що спостерігається в хороших конструкціях, є фазовий шум. Лісон визначив, що фазовий шум генератора має область із\(\Delta f^{−3}\) залежністю, яка обумовлена низькочастотним\(f^{−1}\) шумом (тобто навколо постійного струму),\(\Delta f^{−2}\) область через білий шум у смузі пропускання ланцюга бака генератора, а також область білого шуму поза смугою пропускання резервуара схема. Основою для розробки моделі фазового шуму генератора Лісона наведено на рис\(\PageIndex{8}\). Математично [28],

Рисунок\(\PageIndex{8}\): Виведення спектрів шуму генератора: (а) спектри шуму електронного матеріалу зі збільшенням шуму при зменшенні частоти; і (б) спектри шуму, близькі до частоти коливань генератора.

\[\label{eq:4}\mathcal{L}(\Delta f)=\mathcal{L}(\Delta\omega)=\frac{2FkT}{P_{0}}\left[1+\left(\frac{f_{0}}{2Q\Delta f}\right)^{2}\right] \]

де\(Q\) - навантажений\(Q\) коефіцієнт ланцюга бака генератора і\(F\) є емпіричним фактором. \(\mathcal{L}\)має одиниці\(\text{radians}^{2}\text{/Hz}\) або в децибелах,

\[\label{eq:5}\mathcal{L}|_{\text{dB}}(\Delta f)=10\log\left\{\frac{2FkT}{P_{0}}\left[1+\left(\frac{f_{0}}{2Q\Delta f}\right)^{2}\right]\right\} \]

який має одиниці\(\text{dB/Hz}\) або більше зазвичай виражаються як «децибел нижче носія» потужності\(P_{0}\), або\(\text{dBc/Hz}\). Це потужність при заданому зміщенні, наприклад, фазовий шум\(5.05\text{ GHz}\) генератора при зміщенні\(1\text{ MHz}\) і з вихідною потужністю\(0\text{ dBm}\) буття\(−130\text{ dBc/Hz}\) [19].

Виведення характеристик шуму генератора з перших принципів, що призвело до рівнянь\(\eqref{eq:4}\) і\(\eqref{eq:5}\), прогнозує рівні шуму, які значно нижчі за ті, що спостерігаються на практиці [29, 30]. Крім того, прогноз, властивий рівнянню,\(\eqref{eq:4}\) полягає в тому, що за рахунок збільшення контуру бака рівень шуму буде знижений.\(Q\) Однак це не завжди виходить на практиці. Ще одним ускладненням є те, що рівняння не\(\eqref{eq:4}\) забезпечує механізму генерації\(1/(\Delta f)\) та\(1/(\Delta f)^{3}\) шуму в спектрі фазового шуму генератора. Спеціальна модифікація рівняння\(\eqref{eq:4}\) враховує це:

\[\label{eq:6}\mathcal{L}(\Delta f)=\frac{2FkT}{P_{0}}\left[1+\left(\frac{f_{0}}{2Q\Delta f}\right)^{2}\right]\left(1+\frac{f_{c-3}}{|\Delta f|}\right) \]

З огляду на неадекватність даної моделі, її так само добре використовувати.

\[\label{eq:7}\mathcal{L}(\Delta f)=\sum_{i=0}^{-5}b_{i}f_{i}^{n} \]

де\(b_{i}\) коефіцієнти витягуються з вимірювань.

Ефект Лісона можна констатувати як фазовий шум генератора, що перетворюється на білий шум навколо постійного струму.

5.8.4 Надлишковий шум генератора: лінійна модель Time-Variant

Модель ефекту Лісон, описана в попередньому підрозділі, використовує лінійну часово-інваріантну модель осцилятора і не враховує зниження перетворення шуму від частот поблизу гармонік. Лінійна модель, яка також називається моделлю Хаджімірі та Лі, включає в себе ці механізми перетворення вищого порядку [31].

Шум, що вводиться в генератор, має різний вплив залежно від того, вводиться він на піку коливального сигналу або на нульових переходах. Шум, що вводиться на піках коливального сигналу, гасять насичуючим ефектом активного пристрою в осциляторі. Однак шум при або поблизу нульових перетинів форми сигналу вносить тремтіння та фазовий шум. Цей вплив на фазовий шум можна описати функцією імпульсної чутливості [31]. Розглянемо імпульс, що вводиться на фазі\(x =\omega_{0}t\), тоді імпульсна характеристика часової області дорівнює

\[\label{eq:8}h_{\phi}(t,\tau )=\frac{\Gamma(\omega_{0}t)}{q_{\text{max}}}u(t-\tau ) \]

де\(\Gamma (\: )\) функція імпульсної чутливості,\(q_{\text{max}}\) - це максимальне зміщення заряду на конденсаторі,\(t\) що утворює ланцюг бака,\(\tau\) - це час спостереження та час збудження. Надлишкова фаза генератора (додаткова фаза, індукована на фазу носія) є

\[\label{eq:9}\phi (t)=\frac{1}{q_{\text{max}}}\int_{-∞}^{t}\Gamma(\omega_{0}t)i(\tau )d\tau \]

де\(i(\tau )\) шумовий струм, що вводиться в генератор.

\(\Gamma(\: )\)можна вивести приблизно для деяких осциляторів типу CMOS LC осцилятора в [32], де було показано, що функція імпульсної чутливості може бути виражена у вигляді ряду Фур'є з фундаментальною складовою, відповідною частоті коливань. Надлишок фази при нульових переходах осцилятора дорівнює

\[\label{eq:10}\phi (t)=\frac{1}{q_{\text{max}}}\left[c_{0}\int_{-∞}^{t}i(\tau )d\tau +\sum_{m=1}^{∞}c_{m}\int_{-∞}^{t}i(\tau)\cos(n\omega_{0}\tau )d\tau\right] \]

де\(c_{m}\) - коефіцієнти ряду Фур'є. Перший член з\(c_{0}\) коефіцієнтом вказує на шум, який перетворюється вгору з базової смуги, тоді як термін у підсумовуванні є внеском у фазовий шум генератора внаслідок зменшення перетворення шуму поблизу гармонічних частот. З припущенням, що шум на гармоніках - це білий шум із середньоквадратичним струмом\(\overline{i_{n}^{2}}\), то спектральна щільність шуму дорівнює [32, 33]

\[\label{eq:11}\mathcal{L}(\Delta\omega)=10\log\left(\frac{\overline{i}_{n}^{2}}{\Delta f}\frac{\sum_{m=0}^{∞}c_{m}^{2}}{4q_{\text{max}}^{2}\Delta\omega^{2}}\right) \]

Тут\(\Delta f = 1\text{ Hz}\) для шуму в\(1\text{ Hz}\) смузі пропускання і\(\Delta\omega\) є радіан зміщення частоти. Таким чином, білий шум на гармоніках перетворюється на\(f^{−2}\) шум на частоті коливань, а\(f^{−1}\) шум у базовій смузі перетворюється на\(f^{−3}\) шум на частоті коливань.

Модель з варіантом часу забезпечує більш багатий опис фазового шуму на коливальному сигналі, ніж модель Лісона, але вона не описує\(f^{−1}\), або шум\(f^{−n},\: n> 3\), який спостерігається з осциляторами.

Таким чином, модель Гаджимірі та Лі стосується понижаючого перетворення білого шуму на гармоніках частоти коливань до шуму ближнього несучого, що є доповненням до моделі Лісона перетвореного вгору білого шуму поблизу постійного струму. Моделі фазового шуму Hajimiri та Lee та Leeson призвели до того, що дизайнери розробляли мікрохвильові генератори зі значно нижчою фазовою конструкцією, але залишається помітний фазовий шум поблизу несучої.

5.8.5 Надмірний шум генератора: хаотичні карти та шум мерехтіння

Хоча це не міцно утвердилося, можливо, що шум мерехтіння походить від нелінійної динаміки і хаосу [25, 26, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41]. У цій моделі мерехтіння шум походить від нелінійного процесу із затримкою зворотного зв'язку. Математична основа добре встановлена [42], що описує явище під назвою переривчастості [43], що виникає при переході фізичного процесу між стабільними періодичними станами і хаотичними станами. Притаманна деяким формам переривчастості довготривала пам'ять зі\(1/f\) спектром [44]. Це було встановлено для багатьох фізичних і біологічних систем.

Логістика Карта

Класичним прикладом переривчастості, і першим широко прийнятим, є наступна модель динаміки населення. Якщо\(t_{n}\) позначає дискретний час і (дійсне число)\(x_{n}\) позначає відношення існуючого населення до максимально можливої чисельності населення при\(t_{n}\) (так\(x_{n}\)\(0\) і між і\(1\)), то те, що називається логістична карта забезпечує співвідношення населення,\(x_{(n+1)}\), в час \(t_{n+1}\). Логістична карта [45]

\[\label{eq:12}F_{\lambda}(x)=\lambda x_{n}(1-x_{n}) \]

і так

\[\label{eq:13}x_{n+1}=F_{\lambda}(x) \]

\(\lambda\)Ось позитивне число, що представляє сукупну швидкість розмноження і голодування. Так визначають умови навколишнього середовища\(\lambda\), які обмежені так\(0 <\lambda\leq 4\). Залежно від\(\lambda\), логістична карта (тобто, Рівняння\(\eqref{eq:12}\)) буде виробляти стабільну популяцію або випадкову популяцію залежно від значення\(\lambda\), з\(\lambda = 4\) виробленням білого шуму.

Тепловий шум створює випадкові коливання амплітуди та фази синусоїдального сигналу, який обробляється в нелінійній електронній системі, такій як підсилювач або генератор. Позначаючи коливання теплової амплітуди по\(a_{t,I} (t)\) і флуктуації теплової фази по\(\phi_{t,I} (t)\), синусоїдальний сигнал із середньою амплітудою\(A\) і початковою фазою нуля дорівнює

\[\label{eq:14}x(t)=A[1+a_{t,I}(t)]\cos[\omega t+\phi_{t,I}(t)] \]

Використання логістичної карти з\(\lambda = 4\) (яка виробляє білий шум) для визначення\(a_{t,I} (t)\) і\(\phi_{t,I} (t)\), синусоїдальний сигнал з тепловим (білим) шумом, як показано на малюнку\(\PageIndex{9}\). Використання\(a_{t,I} (t)\) та\(\phi_{t,I} (t)\) визначення з гаусового розподілу дало б такий же якісний результат. Звичайно, більшу частину цього шуму було б легко видалити за допомогою смугової фільтрації, але тепловий шум все одно буде з'являтися в межах кінцевої смуги пропускання сигналу. Просто простіше візуалізувати ефект шуму, побудувавши його на цьому масштабі.

Рівняння\(\eqref{eq:12}\) - це просте нелінійне рівняння із затримкою зворотного зв'язку, яке змішується з\(x\) часом Те, що називається швидкістю змішування, описує ступінь кореляції з минулими подіями і може розглядатися як експоненціальна швидкість розпаду. Однак з логістичною картою\(F_{\lambda} (x)\) в\(\eqref{eq:12}\) Рівнянні швидкість цього змішування не контролюється.

Логарифмічна Карта

Існує безліч карт, які призведуть до\(1/(\Delta f)\) ефектів, і одна з найбільш зручних у використанні в моделюванні мерехтіння шуму в електроніці називається loga-

Малюнок\(\PageIndex{9}\): Синусоїдальний сигнал з накладенням білого шуму, розрахований за допомогою логістичної карти, а не обчислення шуму як гаусового процесу.

Іритмічна карта [46, 47]:

\[\label{eq:15}F_{\beta}(x)=\left\{\begin{array}{lll}{x(1+Y(\beta )x|\log(x)|^{1+\beta})}&{\text{if}}&{0\leq x\leq 1/2} \\ {2x-1}&{\text{if}}&{1/2<x\leq 1}\end{array}\right. \]

і так

\[\label{eq:16}x_{n+1}=F_{\beta}(x) \]

\(F_{\beta}(x)\)визначається на інтервалі\(0 < x\leq 1\) і\(Y (\beta ) = 2(\log 2)^{−(1+\beta )}\) вибирається для того, щоб забезпечити це\(\lim_{x→1/2}− f_{\beta}(x)=1\). (Зверніть увагу, що карта є переривчастою в\(x = 1/2\).) Якщо\(\Delta t\) є фіксованим часовим інтервалом, то\(x(t + \Delta t) = F_{\beta}(x(t))\).

Логарифмічна карта використовує лише один параметр\(\beta\), який контролює швидкість змішування і, отже, властивість довготривалої пам'яті. Розв'язок логарифмічної карти, Рівняння\(\eqref{eq:15}\), з\(\beta = 0.000005\) показано на рис\(\PageIndex{10}\).

Перетворення Фур'є послідовності, побудованої на малюнку,\(\PageIndex{10}\) показано на малюнку,\(\PageIndex{11}\) а його автокореляція показана на рисунку\(\PageIndex{12}\). Спектр на малюнку\(\PageIndex{11}\) (вище\(1\text{ Hz}\)) має\(f^{−0.5}\) залежність, а так як послідовність відповідає напрузі, то в квадрат це виходить\(1/f\) силова характеристика. Автокореляційний графік на малюнку\(\PageIndex{12}\) показує повільний довгостроковий спад у кореляції відносно дискретного інтервалу\(i\), між точками послідовності. Тобто логарифмічна карта описує процес з повільно зникаючими кореляціями. Розширена кореляція є мірою швидкості перемішування. Таке тлумачення дуже добре відповідає розумінню фізичних систем, і зокрема електронних систем. Можна показати [47], що швидкість загасання кореляції цієї карти обмежена як

\[\label{eq:17} R(n)\leq B(\log n)^{-\beta} \]

де\(n\) -\(n\) й часовий інтервал. Таким чином, карта, як кажуть, описує логарифмічну швидкість змішування, яку можна зробити так повільно, як потрібно, змінюючи значення\(\beta\). Саме ця далекобійна залежність виробляє\(f^{−1}\) (і\(f^{−2}\)\(f^{−3}\), і т.д.) шум. У генераторі вони призводять до\(1/(\Delta f)\) фазового\(1/(\Delta f)^{2}\) шуму з характеристиками тощо.\(1/(\Delta f)^{3}\) У напівпровідниках, наприклад,

Рисунок\(\PageIndex{10}\): Розв'язок логарифмічної карти Рівняння\(\eqref{eq:15}\) з (випадкове початкове насіння)\(x_{0} = 0.477347,\:\beta = 0.000005\), і\(t_{n+1} − t_{n} = 1\text{ ps}\).

Малюнок\(\PageIndex{11}\): Спектр логарифмічної карти с\(\beta = 0.000005\).

Рисунок\(\PageIndex{12}\): Кореляційний графік логарифмічної карти з\(\beta = 0.000005\) для послідовності на мільйон точок.

На швидкість змішування впливає щільність пасток [48] і розсіювання решітки [49] при меншій щільності пасток (тобто більш якісного напівпровідникового матеріалу) і чим менше величина розсіювання, тим нижче швидкість змішування і, отже, нижче рівень мерехтіння шуму. Затримка зворотного зв'язку в моделі хаотичної карти узгоджується з трепінгом і спостереженням, що зменшення пасток покращує продуктивність фазового шуму.

Перемішування на великі відстані, на яке вказує повільне загасання кореляційної функції (див. Рис.\(\PageIndex{12}\)), є ключовим для\(f^{−1}\) відповіді. Ще однією функцією, яка дає довгострокову кореляцію, є процес Орнштейна-Уленбека [50, 51, 52], розроблений для опису броунівського руху. Автокореляційна функція цього процесу розпадається експоненціально і прогнозує\(f^{−2}\) шум, але не\(f^{−1}\) шум [52]. Процес Орнштейна-Уленбека занепадає занадто швидко, щоб передбачити\(f^{−1}\) відповідь. Про це йдеться далі в [52].

Отже, рішення Рівняння\(\eqref{eq:16}\) (логарифмічна карта), показане на малюнку\(\PageIndex{10}\), має складну динаміку з тривалими періодами стійкості з швидкими переходами між стабільними і швидко мінливими рівнями. Послідовність\(x_{n}\) s залежить від початкової умови (тобто\(x_{0}\)), але як би воно не починалося, спектр потужності розчину має зворотну частотну залежність (тобто вона точно\(f^{−1}\)). Логарифмічна карта, як і всі хаотичні карти, описує нелінійний процес із затримкою зворотного зв'язку. Це відповідає ситуації у фізичній, біологічній, хімічній та фінансовій системах. Оскільки майже кожен фізичний процес можна охарактеризувати як (можливо, слабкий) нелінійний процес із затримкою зворотного зв'язку, широке спостереження за\(1/f\) коливаннями не дивно. Так що основою\(1/f\) шуму є найосновніший з фізичних процесів.

Періодичність (описана хаотичними картами) призводить до випадкових коливань амплітуди та фази синусоїдального сигналу, обробленого нелінійною електронною системою, такою як підсилювач або генератор. Позначаючи амплітудну переривчастість по\(a_{I}(t)\) і переривчастість фаз по\(\phi_{I}(t)\), синусоїдальний сигнал із середньою амплітудою\(A\) і початковою фазою нуля дорівнює

\[\label{eq:18}x(t)=A[1+a_{I}(t)]\cos[\omega t+\phi_{I}(t)] \]

Цей сигнал показаний на малюнку\(\PageIndex{13}\) з логарифмічними коливаннями переривчастості\(a_{I}(t)\) і,\(\phi_{I}(t)\) як показано на малюнку\(\PageIndex{10}\), обчислюється за допомогою різних насіння. Ефект коливань переривчастості тут сильно перебільшений для цілей візуалізації. На практиці коливання в масштабі, показаному на малюнку, можна\(\PageIndex{13}\) було усунути за допомогою смугового фільтра. Однак коливання є самоподібними (ще одна властивість хаотичних процесів) і повторюються у всіх масштабах. У смуговій електронній системі внутрішньосмугові амплітудні коливання пригнічуються нелінійністю пристрою, але фазові коливання з'являються як фазовий шум на генераторі.

5.8.6 Резюме

Було представлено три моделі фазового шуму генератора. Модель Leeson заснована на перетворенні білого шуму з базової смуги, що створює шум навколо носія генератора з\(f^{−2}\) залежністю. Модель Hajimiri та Lee заснована на лінійній моделі генератора, що змінюється в часі, з\(f^{-1}\) шумом в базовій смузі, що призводить до фазового шуму генератора з\(1/(\Delta f)^{3}\) залежністю, і білого шуму в базовій смузі та гармоніках, що призводить до шуму навколо коливальної частоти з\(1/(\Delta f)^{2}\) залежність. Підвищення перетворення шуму було продемонстровано як механізм, що описує

Малюнок\(\PageIndex{13}\): Синусоїдальний сигнал з накладеною переривчастою шумом. Використання Рівняння\(\eqref{eq:18}\) з\(A = 0.9, a_{I} (t)\) масштабованим до інтервалу\([0, 0.09]\),\(a_{I} (0) = 0.477347\) (перед масштабуванням),\(\phi_{I} (t)\) масштабованим до інтервальних\([0, 5]\) радіанів, і\(\phi_{I} (0) = 0.00915926\) (перед масштабуванням).

деякі з спостережуваних шумів генератора. Ні Лісон, ні лінійні моделі, що змінюють час, не описують повний набір спостережень фазового шуму з\(1/(\Delta f)^{5},\ldots 1/(\Delta f)\) залежностями.

Модель хаотичної карти є фізично привабливою і описує походження мерехтіння шуму як зворотний зв'язок із затримкою часу виходу нелінійного процесу. Це може спричинити хаотичну реакцію під назвою переривчастості, яка втілює довгострокову пам'ять. За допомогою моделювання було показано, що ця модель прогнозує\(1/(\Delta f)^{3},\: 1/(\Delta f)^{2},\: 1/(\Delta f)^{1},\) і\(1/(\Delta f)^{0}\) залежності фазового шуму. Це також узгоджується з випадковою прогулянкою, що спостерігається у спостереженнях часової області шуму генератора. Однак хаотична модель на основі карти ще не призвела до компактної формули фазового шуму, подібного до формули Лісона. Розробка компактної моделі фазового шуму (наприклад, як модель Лісон) не буде простою, оскільки цілочисельне обчислення та аналіз на основі передавальних функцій не можуть бути безпосередньо використані з хаотичною картою. Однак зрозуміло, що опис фазового шуму наближається до задовольняючого фізичного пояснення.

Фазовий шум також може бути викликаний вібраціями [53, 54], а помилкові сигнали з навколишнього середовища (наприклад, пов'язані з електромережею) також можуть з'являтися як фазовий шум.