2.21: Вправи

Last updated
Save as PDF

Page ID: 32390

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Характерною функцією подвійно припиненої мережі є\(K(s) = s^{2}\).
1. Що таке коефіцієнт передачі величини в квадраті\((|T (s)|^{2})\)?
2. Що таке коефіцієнт відбиття в квадраті величини\((|\Gamma (s)|^{2})\)?
3. Що таке коефіцієнт передачі\(T(s)\) для ланцюга, який може бути реалізований за допомогою позитивних\(R,\: L,\) і\(C\) елементів)?
Характерною функцією подвійно припиненої мережі є\(K(s) = s^{4}\). Що таке коефіцієнт передачі величини в квадраті\((|\Gamma (s)|^{2})\)?
Розглянемо конструкцію фільтра нижніх частот Баттерворта четвертого порядку. [Ця проблема слідує за розвитком у розділі 2.4.]
1. Що таке величина в квадраті характеристичного многочлена фільтра Баттерворта?\(|K(s)|^{2}\)
2. Що таке коефіцієнт передачі величини в квадраті (або передавальна функція)?
3. Що таке величина в квадраті функція коефіцієнта відбиття?
4. Вивести функцію коефіцієнта відбиття (тобто\(\Gamma (s)\)). Запишіть коефіцієнт відбиття в факторизованому вигляді, використовуючи до факторів другого порядку.
5. Які коріння многочлена чисельника функції коефіцієнта відбиття?
6. Які коріння у знаменника многочлена функції коефіцієнта відбиття?
7. Визначте сполучені пари полюсів у факторизованому коефіцієнті відбиття.
8. Побудуйте полюси і нулі коефіцієнта відбиття на комплексній\(s\) площині.
Вивести полюси коефіцієнта відбиття фільтра Баттерворта другого порядку та виписати коефіцієнт відбиття з номінатором та знаменником многочленів, тобто не у факторизованому вигляді. [Приклад паралелей 2.4.1]
Вивести полюси коефіцієнта відбиття та нулі фільтра Чебишева четвертого порядку з коефіцієнтом пульсації\(\varepsilon\), оф\(0.1\).
Синтезувати функцію імпедансу
\[Z_{x}=\frac{s^{3}+s^{2}+2s+1}{s^{2}+s+1}\nonumber \]
Тобто розробити\(RLC\) схему, яка реалізує\(Z_{x}\). [Приклад паралелей 2.6.1]
Синтезувати функцію імпедансу
\[Z_{w}=\frac{4s^{2}+2s+1}{8s^{3}+8s^{2}+2s+1}\nonumber \]
Тобто розробити\(RLC\) схему, яка реалізує\(Z_{w}\). [Приклад паралелей 2.6.2]
Синтезувати функцію імпедансу
\[Z_{x}=\frac{4s^{2}+2s+1}{4s^{2}+1}\nonumber \]
Тобто розробити\(RLC\) схему, яка реалізує\(Z_{x}\). [Паралелі Приклад 2.6.1. Ви також можете звернутися до рис. 2.6.2.]
Синтезувати функцію імпедансу
\[Z_{x}=\frac{4s^{4}+2s^{3}+5s^{2}+2s+1}{4s^{4}+4s^{3}+7s^{2}+s+1}\nonumber \]
Тобто розробити\(RLC\) схему, яка реалізує\(Z_{x}\). [Паралелі Приклад 2.6.1. Ви також можете звернутися до рис. 2.6.2.]
Розробіть прототип низькочастотного фільтра нижніх частот Баттерворта п'ятого порядку. Рішення може бути більше одного. Тобто намалюйте схему прототипу фільтра низьких частот зі значеннями елементів.
Розробити прототип нижніх частот фільтра нижніх частот Чебишева п'ятого порядку з\(1\text{ dB}\) пульсацією і\(1\text{ rad/s}\) кутовою частотою.
Розробити прототип нижніх частот фільтра нижніх частот Чебишева дев'ятого порядку з\(0.01\text{ dB}\) пульсацією і\(1\text{ rad/s}\) кутовою частотою.
Інвертор\(0.04\text{ S}\) допуску повинен бути реалізований в мікросмужці з використанням однієї довжини лінії електропередачі. Ефективна діелектрична проникність лінії є\(9\) і проектна центральна частота\(10\text{ GHz}\).
1. Який характеристичний імпеданс лінії електропередачі?
2. Яка довжина хвилі в міліметрах на проектній центральній частоті у вільному просторі?
3. Яка довжина хвилі в міліметрах на проектній центральній частоті в мікросмужці?
4. Яка електрична довжина мікросмужкової лінії електропередачі в градусах на проектній центральній частоті?
5. Яка довжина мікрополоскової лінії електропередачі в міліметрах?
У розділі 2.8.2 було помічено, що послідовний індуктор може бути замінений шунтуючим конденсатором з інверторами і трансформатором негативної одиниці. Якщо інвертор реалізований з довжиною в одну чверть довжини хвилі лінії передачі характеристичного імпедансу\(50\:\Omega\):
1. Вивести\(ABCD\) параметри каскаду малюнка 2.8.2 (с) за допомогою\(50\:\Omega\) інверторів.
2. Яке значення ємності шунта в каскаді потрібно для реалізації\(1\text{ nH}\) індуктора?
Серійний індуктор\(10\text{ pH}\) повинен бути реалізований еквівалентною схемою з використанням шунтуючих конденсаторів і секцій однієї чверті довжини хвилі лінії\(1\:\Omega\) передачі. Спроектуйте еквівалентну схему. [Підказка: Довгі лінії довжиною хвилі в одну чверть - це інвертори імпедансу.]
Серійний індуктор\(10\text{ nH}\) повинен бути реалізований еквівалентною схемою з використанням шунтуючих конденсаторів і секцій однієї чверті довжини хвилі лінії\(50\:\Omega\) передачі. [Підказка: Довгі лінії довжиною хвилі в одну чверть - це інвертори імпедансу.] Спроектуйте еквівалентну схему.
В\(5\text{ GHz}\), серійний\(5\text{ nH}\) індуктор повинен бути реалізований за допомогою одного або декількох інверторів\(75\:\Omega\) імпедансу, одиничний трансформатор, і конденсатор. Яке значення конденсатора?
У розділі 2.8.3 було помічено, що послідовний конденсатор можна замінити шунтуючим індуктором з інверторами і трансформатором негативної одиниці. Врахуйте, що інвертори реалізуються з довжиною в одну чверть довжини хвилі лінії передачі характеристичного імпедансу\(100\:\Omega\).
1. Вивести\(ABCD\) параметри каскаду малюнка 2.8.3 з\(100\:\Omega\) інверторами.
2. Яке значення індуктивності шунта в каскаді потрібно для реалізації\(1\text{ pH}\) конденсатора?
Інвертор\(50\:\Omega\) імпедансу повинен бути реалізований за допомогою трьох резонансних заглушок. Центральна частота конструкції - це\(f_{0}\). Перша резонансна частота заглушок - це\(f_{r} = 2f_{0}\).
1. Намалюйте схему за допомогою заглушок. На вашій схемі вкажіть вхідний опір і характеристичний опір кожної з заглушок, якщо\(f_{r} = 2f_{0}\).
2. Який вхідний опір короткої однієї восьмої довжини хвилі лінії передачі, якщо характерний імпеданс лінії є\(Z_{01}\)?
3. Що таке вхідний опір відкритої однієї восьмої довжини хвилі передачі?
4. Що таке вхідний опір короткої восьмої довжини хвилі передачі, якщо характерний імпеданс лінії є\(Z_{02}\)?
5. Яка довжина кожної з заглушок в інверторі з точки зору довжини хвилі на частоті\(f_{0}\)?
Спроектуйте фільтр верхніх частот третього порядку типу\(1\) Чебишева з кутовою частотою\(1\text{ GHz}\), системою імпедансом і\(0.2\text{ dB}\) пульсацією.\(50\:\Omega\) Існує ряд кроків у проектуванні, і щоб продемонструвати, що ви їх розумієте, вас просять виконати часткові проекти, зазначені нижче. Прототип фільтра\(1\) низьких частот Cauer показаний нижче,\(\omega_{c}\) будучи кутовий радіан частота,\(f_{c} = \omega_{c}/(2\pi )\) будучи кутова частота, і\(Z_{0}\) будучи системним імпедансом.

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Проектування LPF с\(\omega_{c} = 1\text{ rad/s}\),\(Z_{0} =1\:\Omega\).
Спроектувати HPF з\(\omega_{c} = 1\text{ rad/s}\),\(Z_{0} =1\:\Omega\).
Спроектувати HPF з\(f_{c} = 1\text{ GHz}\),\(Z_{0} =1\:\Omega\).
Спроектувати HPF з\(f_{c} = 1\text{ GHz}\),\(Z_{0} = 50\:\Omega\).

Ця задача розглядає проектування смугового фільтра Баттерворта на\(900\text{ MHz}\).
1. \(LC\)Спроектуйте фільтр нижніх частот Баттерворта другого порядку з кутовою частотою\(1\text{ rad/s}\) в\(1\:\Omega\) системі.
2. Використовуючи вищевказаний прототип фільтра, спроектуйте фільтр низьких частот з кутовою частотою\(900\text{ MHz}\).
3. Створіть смуговий фільтр Butterworth другого порядку за\(900\text{ MHz}\) допомогою прототипу фільтра низьких частот у (a). Використовуйте дробову пропускну здатність\(0.1\) і системний опір\(50\:\Omega\).
4. Яка\(3\text{ dB}\) пропускна здатність фільтра в (с)?
Створіть прототип максимально плоского смугового фільтра третього порядку в\(50\:\Omega\) системі,\(1\text{ GHz}\) зосередженій на\(10\%\) пропускній здатності. Прототип низькочастотного максимально плоского фільтра третього порядку показаний на малюнку 2.6.3.
1. Перетворіть прототип фільтра низьких частот у фільтр низьких частот лише з інверторами та конденсаторами; тобто видаліть серійні індуктори.
2. Масштабуйте фільтр, щоб прийняти кутову частоту від\(1\text{ rad/s}\) до\(1\text{ GHz}\).
3. Перетворіть фільтр нижніх частот на смуговий фільтр. Тобто замінити кожен шунтуючий конденсатор паралельною\(LC\) мережею. Цей крок дозволить встановити пропускну здатність фільтра.
4. Перетворіть системний імпеданс фільтра з\(1\) на\(50\:\Omega\).
Нижче показаний прототип низькочастотного фільтра Баттерворта четвертого порядку. Частота кута дорівнює\(1\text{ rad/s}\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Виходячи з цього, розробити прототип смугового фільтра Баттерворта четвертого порядку з центром\(10^{9}\text{ rad/s}\) з дробовою пропускною здатністю\(5\%\).

Масштабуйте прототип низьких частот, щоб мати кутову частоту\(10^{9}\text{ rad/s}\). Намалюйте прототип зі значеннями елементів.
Намалюйте схему кускового елемента четвертого порядку прототипу Butterworth смугового проходу на основі оригінального прототипу фільтра низьких частот.
Вивести значення елементів прототипу смугового фільтра з кусковим елементом в\(75\:\Omega\) системі.

Спроектуйте фільтр верхніх частот третього порядку типу\(2\) Чебишева з кутовою частотою\(1\text{ GHz}\), системою імпедансом і\(0.2\text{ dB}\) пульсацією.\(50\:\Omega\) Існує ряд кроків в оформленні, і щоб продемонструвати, що ви їх розумієте, вас просять заповнити таблицю нижче. Для кожного етапу синтезу фільтра необхідно вказати, чи є елемент індуктивністю або ємністю шляхом запису\(L\) або\(C\) у відповідній комірці. Інші комірки вимагають числового значення, і ви повинні включати одиниці. \(X\)Елемент ідентифікований в прототипі нижче. Прототип фільтра\(2\) низьких частот Кауера показаний з ωc є кутовою радіан частотою,\(f_{c} = \omega_{c}/(2\pi )\) будучи кутовою частотою, і\(Z_{0}\) є імпедансом системи.

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Заповніть стовпчик LPF (фільтр низьких частот) таблиці\(\omega_{c} = 1\text{ rad/s}\),\(Z_{0} =1\:\Omega\).
Заповніть стовпець HPF (фільтр високих частот) таблиці\(\omega_{c} = 1\text{ rad/s}\),\(Z_{0} =1\:\Omega\).
Заповніть другий стовпець HPF таблиці з\(f_{c} = 1\text{ GHz}\),\(Z_{0} =1\:\Omega\).
Заповніть третій стовпець HPF таблиці з\(f_{c} = 1\text{ GHz}\),\(Z_{0} = 50\:\Omega\).

ЕЛЕМЕНТ	ЛПФ
	\(\omega_{c}=1\text{ rad/s}\),\(Z_{0}=1\:\Omega\)
	\(L\)або\(C\)	Значення (одиниці)
\(X_{1}\)	\ (\ омега_ {c} =1\ текст {рад/с}\),\(Z_{0}=1\:\Omega\)\(L\) або\(C\) «>	\ (\ omega_ {c} =1\ text {rad/s}\),\(Z_{0}=1\:\Omega\) Значення (одиниці виміру) ">
\(X_{2}\)	\ (\ омега_ {c} =1\ текст {рад/с}\),\(Z_{0}=1\:\Omega\)\(L\) або\(C\) «>	\ (\ omega_ {c} =1\ text {rad/s}\),\(Z_{0}=1\:\Omega\) Значення (одиниці виміру) ">
\(X_{3}\)	\ (\ омега_ {c} =1\ текст {рад/с}\),\(Z_{0}=1\:\Omega\)\(L\) або\(C\) «>	\ (\ omega_ {c} =1\ text {rad/s}\),\(Z_{0}=1\:\Omega\) Значення (одиниці виміру) ">

Таблиця\(\PageIndex{1}\)

ЕЛЕМЕНТ	HPF
	\(\omega_{c}=1\text{ rad/s}\),\(Z_{0}=1\:\Omega\)
	\(L\)або\(C\)	Значення (одиниці)
\(X_{1}\)	\ (\ омега_ {c} =1\ текст {рад/с}\),\(Z_{0}=1\:\Omega\)\(L\) або\(C\) «>	\ (\ omega_ {c} =1\ text {rad/s}\),\(Z_{0}=1\:\Omega\) Значення (одиниці виміру) ">
\(X_{2}\)	\ (\ омега_ {c} =1\ текст {рад/с}\),\(Z_{0}=1\:\Omega\)\(L\) або\(C\) «>	\ (\ omega_ {c} =1\ text {rad/s}\),\(Z_{0}=1\:\Omega\) Значення (одиниці виміру) ">
\(X_{3}\)	\ (\ омега_ {c} =1\ текст {рад/с}\),\(Z_{0}=1\:\Omega\)\(L\) або\(C\) «>	\ (\ omega_ {c} =1\ text {rad/s}\),\(Z_{0}=1\:\Omega\) Значення (одиниці виміру) ">

Таблиця\(\PageIndex{2}\)

ЕЛЕМЕНТ	HPF
	\(f_{c}=1\text{ GHz}\),\(Z_{0}=1\:\Omega\)
	\(L\)або\(C\)	Значення (одиниці)
\(X_{1}\)	\ (f_ {c} =1\ текст {ГГц}\),\(Z_{0}=1\:\Omega\)\(L\) або\(C\) «>	\ (f_ {c} =1\ text {ГГц}\),\(Z_{0}=1\:\Omega\) Значення (одиниці виміру) ">
\(X_{2}\)	\ (f_ {c} =1\ текст {ГГц}\),\(Z_{0}=1\:\Omega\)\(L\) або\(C\) «>	\ (f_ {c} =1\ text {ГГц}\),\(Z_{0}=1\:\Omega\) Значення (одиниці виміру) ">
\(X_{3}\)	\ (f_ {c} =1\ текст {ГГц}\),\(Z_{0}=1\:\Omega\)\(L\) або\(C\) «>	\ (f_ {c} =1\ text {ГГц}\),\(Z_{0}=1\:\Omega\) Значення (одиниці виміру) ">

Таблиця\(\PageIndex{3}\)

ЕЛЕМЕНТ	HPF
	\(f_{c}=1\text{ GHz}\),\(Z_{0}=50\:\Omega\)
	\(L\)або\(C\)	Значення (одиниці)
\(X_{1}\)	\ (f_ {c} =1\ текст {ГГц}\),\(Z_{0}=50\:\Omega\)\(L\) або\(C\) «>	\ (f_ {c} =1\ text {ГГц}\),\(Z_{0}=50\:\Omega\) Значення (одиниці виміру) ">
\(X_{2}\)	\ (f_ {c} =1\ текст {ГГц}\),\(Z_{0}=50\:\Omega\)\(L\) або\(C\) «>	\ (f_ {c} =1\ text {ГГц}\),\(Z_{0}=50\:\Omega\) Значення (одиниці виміру) ">
\(X_{3}\)	\ (f_ {c} =1\ текст {ГГц}\),\(Z_{0}=50\:\Omega\)\(L\) або\(C\) «>	\ (f_ {c} =1\ text {ГГц}\),\(Z_{0}=50\:\Omega\) Значення (одиниці виміру) ">

Таблиця\(\PageIndex{4}\)

Що таке вхідний опір короткої\(\lambda /8\) довгої лінії електропередачі з характеристичним імпедансом\(Z_{0}\)?
Що таке вхідний опір\(\lambda /8\) довгої лінії електропередачі з відкритим контуром з характеристичним імпедансом\(Z_{0}\)?
Застосуйте перетворення Річардса до шунтуючого індуктора з реактивним опором\(50\:\Omega\). Яка електрична довжина закороченого заглушки, якщо заглушка має характеристичний опір\(50\:\Omega\)?
Застосуйте перетворення Річардса на шунтуючий конденсатор з реактивним опором\(−50\:\Omega\). Який характеристичний імпеданс розімкнутої заглушки, якщо електрична довжина заглушки становить одну чверть довжини хвилі?

2.12.1 Вправи за розділами

\(†\)складний,\(‡\) дуже складний

\(§2.2\: 1†, 2\)

\(§2.4\: 3†, 4†\)

\(§2.5\: 5†\)

\(§2.6\: 6†, 7†, 8†, 9†\)

\(§2.7\: 10, 11†, 12†\)

\(§2.8\: 13, 14†, 15†, 16†, 17†, 18†, 19†\)

\(§2.9\: 20†, 21†, 2†2, 23†, 24†\)

\(§2.12\: 25, 26, 27†, 28†\)

2.12.2 Відповіді на вибрані вправи

(c)\(\Gamma(s)=\frac{s^{2}}{s^{2}+\sqrt{2}s+1}\)
\(|T(w)|^{2}=1/(1+\omega^{8})\)
(f)\(\begin{array}{l}{−0.38 + \jmath 0.92} \\ {−0.38 -\jmath 0.92} \\ {−0.92 + \jmath 0.38} \\ {-0.38-\jmath 0.92}\end{array}\)

Малюнок\(\PageIndex{4}\)

(c)\(9\)
(а)\(\left[\begin{array}{cc}{1}&{sC(50)^{2}}\\{0}&{1}\end{array}\right]\)

\(889\text{ fF}\)
\(10\text{ nH}\)
(c)\(-Z_{2}=-\jmath 50\:\Omega\)

\(1\text{ GHz},\: 50\:\Omega,\: \text{HPF}: X_{3}=6.5\text{ nH}\)