2.12: Перетворення Річардса

Перетворення Річардса - чудова схема, яка враховує фактичні властивості ліній електропередачі, що дає широкосмугові реалізації на основі ліній передачі прототипів кускових елементів [12, 13, 14, 15].

2.12.1 Трансформація Річарда та лінії електропередачі

Розглянемо ділянку ЛЕП електричної довжини\(\theta\) з\(ABCD\) параметрами

\[\label{eq:1}T=\left[\begin{array}{cc}{\cos(\theta)}&{\jmath Z_{0}\sin(\theta)}\\{\jmath /Z_{0}\sin(\theta)}&{\cos (\theta)}\end{array}\right] \]

Якщо ця лінія закінчується навантаженням\(Z_{L}\), то її вхідний опір дорівнює

\[\label{eq:2}Z_{\text{in}}(\theta)=\frac{\cos(\theta)Z_{L}+\jmath Z_{0}\sin(\theta)}{\jmath /Z_{0}\sin(\theta)Z_{L}+\cos(\theta)} \]

Тепер вивчіть дві екстремальні умови. Зі збільшенням імпедансу навантаження, в кінцевому підсумку стає розімкнутою ланцюгом, вхідний опір лінії з електричною довжиною\(\theta\) визначається з точки зору котангенса електричної довжини:

\[\begin{align}\label{eq:3}Z_{L}\to\infty\quad \Rightarrow Z_{\text{in}}(\theta)&=\frac{Z_{0}}{\jmath}\cot(\theta) \\ \label{eq:4}Y_{\text{in}}(\theta)&=\jmath Y_{0}\tan(\theta)\end{align} \]

Оскільки імпеданс навантаження зменшується, щоб стати коротким замиканням, вхідний опір лінії з електричною довжиною\(\theta\) визначається з точки зору тангенса електричної довжини:

\[\label{eq:5}Z_{L}\to 0\quad\Rightarrow\quad Z_{\text{in}}(\theta)=\jmath Z_{0}\tan(\theta) \]

Ці результати призводять до перетворення Річардса, яке замінює змінну Лапласа\(s\), на змінну Річардса\(S\), де\(S =\jmath\alpha\tan(\theta)\). Це перетворення написано

\[\label{eq:6}s\to S=\jmath\alpha\tan(\theta) \]

На даний момент\(\alpha\) і\(\theta\) є константами, які можуть бути обрані як конструктивні змінні. \(\theta\), звичайно ж, це електрична довжина лінії. Крім того,\(\alpha\) повинні мати одиниці імпедансу, і це характерний імпеданс лінії електропередачі.

Застосовуючи перетворення Річардса до конденсатора, допуск елемента трансформується наступним чином:

\[\label{eq:7}y=sC\to Y=SC=\jmath\alpha C\tan(\theta) \]

щоб конденсатор трансформувався в розімкнуту заглушку з характерним допуском

\[\label{eq:8}Y_{0}=\alpha C \]

Якщо конденсатор з кусковим елементом з\(y = sC\) допуском повинен бути реалізований за допомогою лінії електропередачі, замість цього реалізується\(Y = SC =\jmath\alpha C \tan(\theta )\) допуск. Для реалізації цього допуску потрібно вибрати два параметри. Перший\(\alpha\), є характерним допуском лінії електропередачі (і для будь-якої даної топології лінії електропередачі існує мінімальний і максимальний характерний допустимий або імпеданс, які можуть бути реалізовані), і\(\theta\) це електрична довжина лінії.

Застосовуючи перетворення на індуктор, імпеданс елемента перетворюється наступним чином:

\[\label{eq:9}Z=sL\to Z=SL=\jmath\alpha L\tan(\theta) \]

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Еквіваленти, отримані в результаті перетворення Річардса. З\(f_{r} = 2f_{0}\) лінією передачі заглушки мають одну восьму довжину хвилі на\(f_{0}\).

так що індуктор перетворюється в короткозамкнений заглушку з характеристичним імпедансом

\[\label{eq:10}Z_{0}=\alpha L \]

Таким чином перетворення Річардса перетворює індуктор в короткозамкнений заглушку, а конденсатор - в розімкнуту заглушку.

2.12.2 Перетворення Річарда та заглушки

Існує подвійність між заглушками та індукторами та конденсаторами; вони пов'язані перетворенням Річардса. Однією з важливих величин, використовуваних при перетворенні, є співмірна частота\(f_{r}\), яка найчастіше вибирається в два рази більше робочої частоти,\(f_{0}\). Розглядаючи заглушки, які мають довжину хвилі на одну чверть\(f_{r}\), подвійність, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\).

2.13.3 Трансформація Річарда застосована до фільтра низьких частот

У цьому розділі перетворення Річардса використовується для реалізації фільтра з кусковим елементом у розподіленому вигляді. Приклад проектування починається з розгляду фільтра нижніх частот Чебишева з характеристикою передачі

\[\label{eq:11}|T(s)|^{2}=\frac{1}{1+\varepsilon^{2}|K(s)|^{2}} \]

З перетворенням Річардса\((s\to\jmath\omega\to\jmath\alpha\tan (\theta))\) це стає

\[\label{eq:12}|T(\jmath\alpha\tan\theta)|^{2}=\frac{1}{1+\varepsilon^{2}|K(\jmath\alpha\tan\theta))|^{2}} \]

Таким чином, край смуги пропускання в\(\omega = 1\) відображається\(\omega =\theta_{1}\) як

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Прототипи низьких частот: (а) прототип низьких частот у вигляді сходового фільтра з інверторами; і (б) низькочастотний розподілений прототип з розімкнутими заглушками (вказується імпеданс, що дивиться в заглушку).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Низькочастотне перетворення в розподілене низькочастотне. \(s =\jmath\omega\).

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Highpass до розподіленого високочастотного перетворення. \(s =\jmath\omega\).

\[\label{eq:13}\omega =1\to\alpha\tan (\theta_{1}) \]

щоб

\[\label{eq:14}\alpha=\frac{1}{\tan(\theta_{1})} \]

Нагадуючи, що конденсатор перетворюється в розімкнуту заглушку (див. Рівняння\(\eqref{eq:8}\)), перетворення Річардса, застосоване до прототипу фільтра низьких частот, призводить до появи фільтра лише з елементами лінії передачі, як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\), за умови, що інвертори реалізуються за допомогою передачі лінії.

Реалізація фільтра низьких частот у розподіленому вигляді призводить до появи смуг пропусків і стоп-смуг, які повторюються за частотою, як показано на малюнку\(\PageIndex{3}\). Це відбувається тому, що лінії електропередачі використовуються для реалізації згорнутих елементів, а параметри двох портів лінії передачі повторюють кожну довжину хвилі (або половину довжини хвилі в деяких випадках). Наприклад, вхідний опір заглушки однаковий, чи це одна половина довжини хвилі або одна довжина хвилі.

2.12.4 Трансформація Річарда застосована до фільтра високих частот

Що стосується малюнка\(\PageIndex{4}\) (а), то край смуги\(\omega = 1\) пропускання на відображається\(\theta_{1}\), як показано на малюнку\(\PageIndex{4}\) (b). Це означає, що смуга\(\omega = 1\) пропускання на карті

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Трансформація прототипу сходів. (Вхідні опори заглушок вказані в (с).)

to\(\theta_{1}\) as (зверніть увагу,\(\theta_{1}\) що електрична довжина на краю смуги)

\[\label{eq:15}\omega =1\to\alpha\tan(\theta_{1}) \]

щоб

\[\label{eq:16}\alpha =\frac{1}{\tan(\theta_{1})} \]

Послідовність кроків, що трансформують згорнутий прототип низькочастотного прототипу в його розподілений високочастотний прототип, показана на рис\(\PageIndex{5}\). Як обговорювалося раніше, всі інвертори можуть бути наближені лініями електропередачі довжини\(\pi /2\) на кутовій частоті фільтра.