2.9: Перетворення фільтрів

Поки дискусія зосередилася навколо фільтрів низьких частот. Технологія проектування фільтрів розроблена таким чином, що проектування відповідного фільтра низьких частот є важливим першим кроком, і це використовується як прототип для отримання фільтра з іншими характеристиками. Тут перераховані три найважливіші перетворення:

1. Масштабування імпедансу: Прототип фільтра низьких частот посилається на стандартний імпеданс. Зазвичай\(1\:\Omega\) використовується, тому опори опору джерела та навантаження також є\(1\:\Omega\). Для посилання на більш високий або нижній імпеданс потрібно масштабування імпедансу всіх елементів фільтра.
2. Масштабування кутової частоти: кутова частота прототипу фільтра низьких частот нормалізується до\(1\text{ rad/s}\). Щоб посилатися на іншу частоту, значення елементів повинні бути змінені так, щоб вони мали однаковий імпеданс на масштабованій частоті.
3. Перетворення типу фільтра: Ці перетворення дозволяють перетворити ланцюг фільтра низьких частот в ланцюг з смуговим, смуговим або високочастотним відгуком. Концепція полягає в тому, що реакція на постійному струмі повинна бути відтворена на нескінченній частоті для високих частот (так конденсатори стають індукторами тощо); бути реплікована в центрі смуги пропускання для смугового фільтра (так конденсатори стають шунтуючим\(LC\) контуром); і бути інвертований в центрі смугового фільтра ( так конденсатори стають послідовною\(LC\) схемою).

Перетворення можуть виконуватися в будь-якому порядку. Ключовим моментом є те, що складність схеми нижніх частот мінімальна, оскільки кількість елементів не зростає, поки не буде виконано перетворення типу фільтра, тому цей крок часто робиться останнім.

2.9.1 Перетворення імпедансу

Обговорені до цього часу прототипи низьких частот були віднесені до\(1\:\Omega\) системи. Імпеданс системи можна змінити на будь-який рівень, просто масштабуючи імпеданси всіх елементів схеми в фільтрі на однакову величину, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\). Перетворення імпедансу відбувається за тією ж процедурою для всіх типів фільтрів (процедура однакова для фільтрів низьких частот, високих частот, смугових та смугових фільтрів, наприклад). Слід також зазначити, що масштабування імпедансу лінії електропередачі - це просто множення характеристичного імпедансу лінії на коефіцієнт масштабування.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Імпедансні перетворення. Імпеданси елементів збільшуються в рази\(Z_{0}\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Імпедансне перетворення прикладного фільтра.

Приклад\(\PageIndex{1}\): Lowpass Filter Design

Розглянемо фільтр низьких частот, з інвертором, показаний на малюнку\(\PageIndex{2}\) (а). Цей фільтр посилається на\(1\:\Omega\), оскільки імпеданси джерела та навантаження є обома\(1\:\Omega\). Реконструювати фільтр таким чином, щоб однакова частотна характеристика отримувалася з\(50\:\Omega\) джерелом і навантаженням імпедансів.

Рішення

Необхідно трансформувати імпеданс з\(1\:\Omega\) в\(50\:\Omega\). Отриманий фільтр показаний на малюнку\(\PageIndex{2}\) (б). Кожен елемент має імпеданс (опір або реактивний опір), який в\(50\) рази більше, ніж він мав в\(1\:\Omega\) прототипі.

2.9.2 Перетворення частоти: низькочастотні

Частотні перетворення відрізняються в залежності від типу фільтра. Тож нормально перетворювати прототип низьких частот перед перетворенням прототипу в іншу форму (наприклад, смуговий прохід). Низькочастотні прототипи зазвичай мають смугову або частоту зрізу при кутовій частоті одиниці, тобто\(1\text{ rad/s}\). Частота смуги може бути перетворена з одиниці в довільну кутову частоту\(\omega_{c}\), як показано на малюнку\(\PageIndex{3}\), шляхом масштабування реактивних елементів, як показано на малюнках\(\PageIndex{4}\) і\(\PageIndex{5}\) (а), так що

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Частотне перетворення реакції фільтра низьких частот від (а) нормованої до кутової частоти\(1\text{ rad/s}\), до (b) одиниці з радіановною кутовою частотою\(\omega_{c}\).

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Частотні перетворення. Імпеданс нового (масштабованого) елемента на новій (масштабованої) частоті такий же, як і на початковій частоті.

вони мають такий же імпеданс на перетвореній частоті, як і на початковій частоті. Інвертор незмінний, як і опори джерела і навантаження, так як вони незалежні від частоти.

2.9.3 Трансформація низьких частот до високих частот

Перетворення прототипу фільтра нижніх частот у фільтр високих частот показано діаграматично на рис\(\PageIndex{6}\). Математично\(\omega\) в передавальній функції прототипу нижніх частот замінюється на\(−1/\omega\), тобто

\[\label{eq:1}T_{\text{highpass}}(\omega)=T_{\text{lowpass}}(-1/\omega) \]

З точки зору згорнутого елемента в ланцюзі прототипу низьких частот, якщо елемент має імпеданс\(\jmath\omega L\) і\(L\) є незалежним від частоти, то відповідний елемент у фільтрі прототипу високих частот має імпеданс\(1/(\jmath\omega^{2} L)\). Таким чином, реактивні елементи трансформуються, як показано на малюнку\(\PageIndex{5}\) (b), де\(\omega_{0}\) - кутова частота як низькочастотних, так і високочастотних прототипів ланцюгів. Так індуктори перетворюються в конденсатори, а конденсатори - в індуктори. Наприклад, прототипи фільтрів низьких частот непарного порядку, показані на малюнку 2.7.3, трансформуються в фільтри високих частот, показані на малюнку\(\PageIndex{7}\).

2.9.4 Трансформація низьких частот до смугового переходу

Розуміння перетворення фільтра нижніх частот у відповідну смугову форму вимагає, щоб фільтр низьких частот розглядався як з його позитивними, так і з негативними частотними характеристиками, як показано на малюнку\(\PageIndex{8}\) (а). Ця реакція зміщується по частоті для отримання смугової характеристики, показаної на малюнку\(\PageIndex{8}\) (b). Математично радіан частоти\(\omega\), у відгуку

Рисунок\(\PageIndex{5}\): Перетворення елементів прототипу фільтра нижніх частот для отримання конкретних типів фільтрів. Кутова частота прототипу нижніх частот дорівнює\(1\text{ rad/s}\). У перетвореннях до смугових та смугових фільтрів\(\omega_{0} = 1/\sqrt{L_{1}C_{1}} = \sqrt{\omega_{1}\omega_{2}}\);\(\omega_{1}\) і\(\omega_{2}\) є смуговими частотами, і\(\alpha\) є постійною трансформації,\(\alpha = \omega_{0}/(\omega_{2} −\omega_{1})\).

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Низькочастотне перетворення на високочастотне.

Рисунок\(\PageIndex{7}\): Прототипи фільтрів високих частот Чебишева непарного порядку в топології Кауера. Тут n - порядок фільтра.

Малюнок\(\PageIndex{8}\): Частотні характеристики в низьких частотах до смугового перетворення\((s =\jmath\omega)\).

функція замінюється її смуговою формою,

\[\label{eq:2}\omega\to\left[\frac{\omega}{\omega_{0}}-\frac{\omega_{0}}{\omega}\right] \]

Тобто,

\[\label{eq:3}T_{\text{bandpass}}(\omega)=T_{\text{lowpass}}\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}-\frac{\omega_{0}}{\omega}\right) \]

і тому передавальна функція смугового фільтра походить від передавальної функції смугового фільтра із\(\omega\) заміненою на\((\omega /\omega_{0} −\omega_{0}/\omega )\). Це окремо відображає\(−1\) і\(+1\) смугові радіанові частоти низькочастотного відгуку на смугові\(\omega_{1}\) частоти і\(\omega_{2}\):

\[\label{eq:4}-1\to\left[\frac{\omega_{1}}{\omega_{0}}-\frac{\omega_{0}}{\omega_{1}}\right]\quad\text{and}\quad +1\to\left[\frac{\omega_{2}}{\omega_{0}}-\frac{\omega_{0}}{\omega_{2}}\right] \]

Розв'язування вищевказаних рівнянь одночасно дає центральну частоту ω0 і смугову частоту\(\omega_{1}\) і\(\omega_{2}\) з

\[\label{eq:5}\omega_{0}=\sqrt{\omega_{1}\omega_{2}} \]

і так звана константа трансформації

\[\label{eq:6}\alpha=\frac{\omega_{0}}{\omega_{2}-\omega_{1}} \]

Отримані перетворення елементів наведені на рисунку\(\PageIndex{5}\) (c).

Рисунок\(\PageIndex{9}\): Кусковий елемент непарного порядку (\(n\)th-го порядку) прототипи смугових фільтрів Чебишева в топології Кауера типу II.

Малюнок\(\PageIndex{10}\): Частотні характеристики в трансформації низьких частот до смугової зупинки.

Як приклад, смуговий фільтр типу 2 Cauer показаний на малюнку\(\PageIndex{9}\). \(LC\)Комбінація шунта та послідовні\(LC\) комбінації є резонаторами, резонансними на центральній частоті фільтра. Тут фільтр нормалізується на\(Z_{0}\) джерело і імпеданси навантаження. Оскільки вони однакові, ця топологія фільтра застосовується лише для фільтра непарного порядку. Поєднуючи перетворення, значення елементів згорнутого смугового фільтра з центральною радіановою частотою\(\omega_{0} = 2\pi f_{0}\) та пропускною здатністю\(g_{r}\) радіан\(\omega_{\text{BW}} = 2\pi (f_{2} − f_{1})\) такі (від прототипу низьких частот):

\[\label{eq:7} C_{r}=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{g_{r}}{\omega_{\text{BW}}Z_{0}}}&{r=\text{odd}} \\ {\frac{\omega_{\text{BW}}}{\omega_{0}^{2}g_{r}Z_{0}}}&{r=\text{even}}\end{array} \right. \quad\text{and}\quad L_{r}= \left\{\begin{array}{ll}{\frac{\omega_{\text{BW}}Z_{0}}{\omega_{0}^{2}g_{r}}}&{r=\text{odd}}\\{\frac{g_{r}Z_{0}}{\omega_{\text{BW}}}}&{r=\text{even}}\end{array} \right. \]

2.9.5 Трансформація низької частоти в смугову зупинку

Знову ж таки, розглянемо як позитивні, так і негативні частотні характеристики прототипу фільтра низьких частот, як показано на малюнку\(\PageIndex{10}\) (а). Ця реакція зміщується по частоті для отримання діапазонної реакції, показаної на малюнку\(\PageIndex{10}\) (b). Математично частота\(\omega\), в функції відгуку замінюється на її смугову форму:

\[\label{eq:8}\omega\to\left[\alpha\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}-\frac{\omega_{0}}{\omega}\right)\right]^{-1} \]

Тобто,

\[\label{eq:9}T_{\text{bandstop}}(\omega)=T_{\text{lowpass}}\left(\frac{1}{\alpha}\left[\frac{\omega}{\omega_{0}}-\frac{\omega_{0}}{\omega}\right]^{-1}\right) \]

Центральна частота (відповідає постійному струму в реакції прототипу низьких частот)

\[\label{eq:10}\omega_{0}=\sqrt{\omega_{1}\omega_{2}} \]

Малюнок\(\PageIndex{11}\): Кусковий елемент непарного порядку (\(n\)th-го порядку) прототипи стрічкових фільтрів Чебишева в топології Кауера II типу.

і константа трансформації є

\[\label{eq:11}\alpha=\frac{\omega_{0}}{\omega_{2}-\omega_{1}} \]

де\(\omega_{1}\) і\(\omega_{2}\) є смуговими радіановими частотами. Отримані перетворення елементів наведені на рисунку\(\PageIndex{5}\) (d).

Поєднуючи перетворення, значення елементів згорнутого смугового фільтра з центральною радіановою частотою\(\omega_{0} = 2\pi f_{0}\) та пропускною здатністю радіан\(\omega_{\text{BW}} = 2\pi (f_{2} − f_{1})\) такі:

\[\label{eq:12}C_{r}=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{g_{r}\omega_{\text{BW}}}{\omega_{0}^{2}Z_{0}}}&{r=\text{odd}} \\ {\frac{1}{\omega_{\text{BW}}g_{r}Z_{0}}}&{r=\text{even}}\end{array}\right.\quad\text{and}\quad L_{r}=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{Z_{0}}{\omega_{\text{BW}}g_{r}}}&{r=\text{odd}}\\{\frac{g_{r}\omega_{\text{BW}}Z_{0}}{\omega_{0}^{2}}}&{r=\text{even}}\end{array}\right. \]

Скусково-елементний тип II Cauer стрічковий фільтр показаний на малюнку\(\PageIndex{11}\). Паралельна\(LC\) комбінація і послідовні\(LC\) комбінації є резонаторами, резонансними на центральній частоті фільтра. Паралельний\(LC\) резонатор являє собою обрив ланцюга на центральній частоті смуги зупинки, а послідовні\(LC\) резонатори - короткі замикання. \(LC\)Резонатори реалізуються за допомогою резонаторів, як правило, сегментів лінії передачі і не згорнутих компонентів.

2.9.6 Перетворені прототипи сходів

Поєднуючи перетворення типу фільтра та відповідне використання інверторів, оригінальний фільтр сходів прототипу нижніх частот та його різні перетворення типу фільтра показані на малюнку 2.10.1.