2.8: Інвертори імпедансу та допуску

Інвертори - це двопортові мережі, що використовуються в багатьох радіочастотних і мікрохвильових фільтрах. Вхідний опір інвертора закінчується\(Z_{L}\) імпедансом\(1/Z_{L}\). Інвертори імпедансу та допуску - це одна і та ж мережа, при цьому різниця полягає в тому, чи використовуються сіменс або Оми для їх визначення. Інвертор іноді називають одиничним елементом (UE). На частотах в кілька сотень мегагерц і нижче інвертор може бути реалізований за допомогою операційних і транспровідникових підсилювачів. На НВЧ-частотах найпростішим інвертором є одна чверть довжини хвилі лінії. У конструкції радіочастотних та мікрохвильових фільтрів вони використовуються для перетворення послідовного елемента в шунтуючий елемент. Реалізувати шунтуючі елементи в розподілених схемах набагато простіше, ніж послідовні елементи. Подібні перетворення ланцюга дозволяють замінити індуктор конденсатором.

Схематичне зображення інвертора імпедансу показано на малюнку, 2.7.4 (а). Конституційна властивість інвертора полягає в тому, що вхідний опір кінцевого імпедансу інвертора на малюнку 2.7.4 (b) є

\[\label{eq:1}Z_{\text{in}}=\frac{K^{2}}{Z_{L}} \]

Таким чином, інвертор обидва інвертує імпеданс навантаження і масштабує його. Аналогічно, якщо порт\(\mathsf{1}\) закінчується у\(Z_{L}\) вхідному опорі на порту\(\mathsf{2}\),\(Z_{\text{in}}\) як визначено вище.

Інвертор імпедансу має значення\(K\) (в Омах), а іноді\(K\) називають характеристичним імпедансом інвертора. Іноді\(K\) це просто

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Еквівалентність інвертора: (а) двопортовий інвертор імпедансу (імпедансу\(K\)): (б) чверть хвильова лінія передачі характеристичного імпедансу\(Z_{0} = K\); і (с) закінчена одна чверть довжини хвилі довга лінія.

називається імпедансом інвертора. Для допуску\(J\) використовується інвертор і називається характерним допуском інвертора, а іноді і просто допуском інвертора. Вони пов'язані як\(J = 1/K\). У розділі 2.4.6 [10] показано, що\(\lambda/4\) довга лінія з навантаженням має вхідний опір, який є зворотним навантаженням, нормованим квадратом характеристичного імпедансу лінії. Так інвертор може бути реалізований на НВЧ-частотах, використовуючи лінію передачі довжиною в одну чверть довжини хвилі\(\PageIndex{1}\) (див. Рис. Для конфігурації, показаної на малюнку\(\PageIndex{1}\) (c),

\[\label{eq:2}Z_{\text{in}}=\frac{K^{2}}{Z_{L}} \]

2.8.1 Властивості інвертора імпедансу

Інвертор імпедансу має\(ABCD\) матрицю

\[\label{eq:3}\mathbf{T}=\left[\begin{array}{cc}{0}&{\jmath K} \\ {\jmath /K}&{0}\end{array}\right] \]

де\(K\) називається характеристичний імпеданс інвертора. З імпедансом навантаження\(Z_{L}\) (в порту\(\mathsf{2}\)) вхідний опір (в порту\(\mathsf{1}\)) є (як очікувалося)

\[\label{eq:4}Z_{\text{in}}(s)=\frac{AZ_{L}+B}{CZ_{L}+D}=\frac{\jmath K}{(\jmath /K)Z_{L}}=\frac{K^{2}}{Z_{L}} \]

Тепер\(ABCD\) матриця лінії передачі малюнка\(\PageIndex{1}\) (б) дорівнює

\[\label{eq:5}\left[\begin{array}{cc}{\cos\theta}&{\jmath Z_{0}\sin\theta} \\ {(\jmath /Z_{0})\sin\theta}&{\cos\theta}\end{array}\right] \]

яка ідентична рівнянню,\(\eqref{eq:3}\) коли електрична довжина\(\theta = π/2\) (тобто, коли лінія\(\lambda/4\) довга). Інвертор показаний на малюнку 2.7.4 (а) як двопортовий і його реалізація у вигляді\(\lambda /4\) довгої лінії показана на малюнку 2.7.4 (c). Пропускна здатність, над якою лінія реалізує інвертор імпедансу, обмежена, однак, оскільки це ідеальний інвертор лише на тій частоті, на якій він\(\lambda /4\) довгий.

2.8.2 Заміна послідовного індуктора шунтуючим конденсатором

Серійний індуктор може бути замінений шунтуючим конденсатором, оточеним парою інверторів з подальшим негативним трансформатором одиниці (тобто інвертором з\(K = 1\)). Ця еквівалентність показана на малюнку,\(\PageIndex{2}\) і тепер це буде показано математично.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Еквівалентні реалізації послідовного індуктора: (а) як двопортовий; (б) його реалізація з використанням конденсатора, інверторів характеристичного імпедансу\(K\) та трансформатора негативної одиниці; і (в) альтернативна реалізація. \(C = L/K^{2}\).

З таблиці 2.4.1 [11]\(ABCD\) матриця послідовного індуктора, показана на малюнку\(\PageIndex{2}\) (а) (що має імпеданс\(sL\)) дорівнює

\[\label{eq:6}\mathbf{T}_{L}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{sL}\\{0}&{1}\end{array}\right] \]

а\(ABCD\) матриця шунтирующего конденсатора (який має допуск\(sC\)) становить, з таблиці 2.4.1 з [11],

\[\label{eq:7}\mathbf{T}_{1}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{0} \\ {sC}&{1}\end{array}\right] \]

\(ABCD\)Матриця інвертора з\(K\) в Омах (зазвичай одиниця скидається і передбачається Ом)

\[\label{eq:8}\mathbf{T}_{2}=\left[\begin{array}{cc}{0}&{\jmath K} \\ {\jmath /K}&{0}\end{array}\right] \]

і, нарешті,\(ABCD\) матриця трансформатора негативної\(n = −1\) одиниці, є, з таблиці 2.4.1 [11],

\[\label{eq:9}\mathbf{T}_{3}=\left[\begin{array}{cc}{-1}&{0}\\{0}&{-1}\end{array}\right] \]

Тоді\(ABCD\) матриця каскаду, показана на малюнку\(\PageIndex{2}\) (б), дорівнює

\[\begin{align} \mathbf{T}_{C}&=\mathbf{T}_{2}\mathbf{T}_{1}\mathbf{T}_{2}\mathbf{T}_{3}\nonumber \\ &=\left[\begin{array}{cc}{0}&{\jmath K}\nonumber \\ {\jmath /K}&{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{sC}&{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{0}&{\jmath K}\\{\jmath /K}&{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{-1}&{0}\\{0}&{-1}\end{array}\right] \nonumber \\ & =\left[\begin{array}{cc}{0}&{\jmath K}\\{\jmath /K}&{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{sC}&{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{0}&{-\jmath K} \\ {-\jmath /K}&{0}\end{array}\right] \nonumber \\ &=\left[\begin{array}{cc}{\jmath sCK}&{\jmath K}\\{\jmath /K}&{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{0}&{-\jmath K} \\{-\jmath /K}&{0}\end{array}\right] \nonumber \\ \label{eq:10}&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{sCK^{2}}\\{0}&{1}\end{array}\right]\end{align} \]

Таким чином,\(T_{C} = T_{L}\) якщо\(L = CK^{2}\) (порівняти Рівняння\(\eqref{eq:6}\) і\(\eqref{eq:10}\)). Таким чином, послідовний індуктор може бути замінений шунтуючим конденсатором з інвертором до і після нього і з трансформатором негативної одиниці. трансформатор єдності

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Серійний конденсатор: (а) як двопортовий; (б) його реалізація за допомогою шунтуючого індуктора, інверторів та трансформатора негативної одиниці»\(L = CK^{2}\).

також може бути розміщений на першому порту, як на малюнку\(\PageIndex{2}\) (c). Таким чином, два порти, показані на малюнку, всі електрично ідентичні, з обмеженням\(\PageIndex{2}\) є діапазон частот, за яким інвертор може бути реалізований. Цікавим і важливим спостереженням є те, що в результаті характеристичного імпедансу інвертора (наприклад,\(50\:\Omega\)), невеликий шунтуючий конденсатор може бути використаний для реалізації великого значення індуктивності серії.

Приклад\(\PageIndex{1}\): Inductor Synthesis Using an Inverter

Розглянемо мережу на рис.\(\PageIndex{2}\) (в) з інверторами, що мають характеристичний опір\(50\:\Omega\). Яке значення індуктивності реалізується за допомогою\(10\text{ pF}\) конденсатора?

Рішення

\(K = 50\), Отже\(L = CK^{2} = 10^{−11}\cdot 2500 = 25\text{ nH}\).

2.8.3 Заміна послідовного конденсатора шунтуючим індуктором

Послідовний конденсатор можна замінити шунтуючим індуктором плюс інвертори і негативним трансформатором (див. Рис.\(\PageIndex{3}\)). \(ABCD\)Параметри послідовного конденсатора на малюнку\(\PageIndex{3}\) (а)

\[\label{eq:11}\mathbf{T}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{1/sC}\\{0}&{1}\end{array}\right] \]

і тут показано, що каскад на малюнку\(\PageIndex{3}\) (б) має однакові\(ABCD\) параметри. Каскад на малюнку\(\PageIndex{3}\) (б) має\(ABCD\) параметри

\[\begin{align}\mathbf{T}&=\left[\begin{array}{cc}{0}&{\jmath K}\\{\jmath /K}&{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{1/sL}&{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{0}&{\jmath K}\\{\jmath /K}&{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{-1}&{0}\\{0}&{-1}\end{array}\right]\nonumber \\ &=\left[\begin{array}{cc}{0}&{\jmath K}\\{\jmath /K}&{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{1/sL}&{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{0}&{-\jmath K}\\{-\jmath /K}&{0}\end{array}\right] \nonumber \\ &=\left[\begin{array}{cc}{\jmath K/sL}&{\jmath K}\\{\jmath /K}&{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{0}&{-\jmath K}\\{-\jmath /K}&{0}\end{array}\right] \nonumber \\ \label{eq:12}&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{K^{2}/sL}\\{0}&{1}\end{array}\right]\end{align} \]

Таким чином, послідовний конденсатор\(C\), може бути реалізований за допомогою шунтуючого індуктора\(L\), інверторів, і негативного трансформатора одиниці, і\(C = L/K^{2}\). Навряд чи це перетворення буде експлуатуватися, оскільки набагато кращі конденсатори з меншими втратами можуть бути реалізовані на ВЧ, ніж індуктори.

2.8.4 Прототип сходів з інверторами імпедансу

Перетворення, розглянуті в попередніх двох розділах, можуть бути використані для спрощення фільтрів. У цьому розділі трансформації є

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Фільтри прототипів сходів з використанням інверторів імпедансу: (а) прототип кускового елемента; (б) перший етап перетворення за допомогою інверторів; і (в) завершальний етап.

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Інвертор допуску: (а) як двопортовий; (б) реалізується за допомогою згорнутих елементів з\(B = −J\); і (c) об'єднана еквівалентна схема (значення елементів в (c) є імпедансами).

застосовано до прототипу нижнього фільтра сходів, показаного на малюнку\(\PageIndex{4}\) (а). Індуктори в ланцюзі сходів є особливою проблемою, оскільки вони мають значний опір на НВЧ-частотах. Серійні індуктори можуть бути замінені схемою з конденсаторами, інверторами і трансформаторами, як показано на малюнку\(\PageIndex{4}\) (б). Це спрощує подальшу реалізацію, показану на малюнку\(\PageIndex{4}\) (с), оскільки трансформатори негативної одиниці впливають лише на фазу коефіцієнта пропускання. Таким чином, фільтр сходів низьких частот може бути реалізований за допомогою тільки конденсаторів і інверторів.

2.8.5 Кусково-елементна реалізація інвертора

Інвертор допуску функціонально такий же, як інвертор імпедансу (див. Рис. 2.7.4 (а)), а схема така ж\(\PageIndex{5}\) (див. Рис. Як буде показано, інвертор може бути реалізований за допомогою частотно-інваріантних елементів без втрат (тобто елементів, реактивний опір або сприйнятливість яких не змінюються в залежності від частоти) за допомогою мережі рисунка\(\PageIndex{5}\) (б). Нагадаємо, що\(J\) використовується для ідентифікації допуску інвертора і\(K\) ідентифікує інвертор імпедансу. Якщо не вказано контекстом, інвертор (зі значенням, вказаним числом) за замовчуванням є інвертором імпедансу. В якості альтернативи одиниці можуть бути використані для вказівки, який тип інвертора використовується. Функція

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Інвертор імпедансу: (а) як двопортовий; і (б) його згорнута еквівалентна схема (значення елементів в (b) є імпедансами).

інвертор однаковий у будь-якому випадку; обидва можуть бути реалізовані довжиною в одну чверть довжини хвилі, наприклад. Для решти цієї глави буде зручніше, більшу частину часу, використовувати інвертор допуску, так як багато розрахунків будуть з точки зору допусків, оскільки більшість згорнутих елементів в синтезі фільтрів будуть в шунті.

Тепер буде показано, що кусково-елементна мережа малюнка\(\PageIndex{5}\) (б) реалізує інвертор. Для цього інвертор і кусково-елементна мережа повинні мати однакові двопортові параметри. По-перше,\(ABCD\) матриця інвертора характерного допуску\(J\) - це

\[\label{eq:13}\mathbf{T}_{j}=\left[\begin{array}{cc}{0}&{\jmath /J}\\{\jmath J}&{0}\end{array}\right] \]

Посилаючись на таблицю 2-1 [11], схема малюнка\(\PageIndex{5}\) (б) має\(ABCD\) матрицю

\[\begin{align}T&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{-\jmath B}&{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{1/(\jmath B)}\\{0}&{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{-\jmath B}&{1}\end{array}\right]\nonumber \\ \label{eq:14}&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{1/(\jmath B)}\\{-\jmath B}&{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{-\jmath B}&{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{0}&{-\jmath /B}\\{-\jmath B}&{0}\end{array}\right]\end{align} \]

де\(B\) - сприйнятливість частотно-інваріантних елементів. \(\eqref{eq:14}\)Рівняння ідентичне рівнянню,\(\eqref{eq:13}\) якщо\(B = −J\). Більш практичні еквіваленти схеми малюнка\(\PageIndex{5}\) (б) можна вивести, як показано далі.

Для повноти об'ємно-елементний еквівалент імпедансного інвертора показаний на малюнку\(\PageIndex{6}\) (похідний від рис.\(\PageIndex{5}\) С\(J = 1/K\)).

Приклад\(\PageIndex{2}\): Lumped Inverter Analysis

Продемонструйте, що Рисунок\(\PageIndex{5}\) (b) - це інвертор допуску з кусковим елементом.

Рішення

Завершення мережі на малюнку\(\PageIndex{5}\) (b) призводить до появи мережі, показаної на малюнку\(\PageIndex{7}\) (а). Це позначено на малюнку\(\PageIndex{7}\) (b), де елементами є допуски. Тоді

\[\label{eq:15}y_{\text{in}}=y_{3} // (y_{1}$(y_{2}+y_{L})) \]

де\(//\) вказує «паралельно з» і\($\) вказує «послідовно с». Це загальні стенографічні позначення в схемових розрахунках. Продовжуючи з рівняння\(\eqref{eq:15}\),

\[\label{eq:16}y_{\text{in}}=y_{3}+\left[\frac{1}{y_{1}}+\left(\frac{1}{y_{2}+y_{L}}\right)\right]^{-1}=y_{3}+\left[\frac{y_{2}+y_{L}+y_{1}}{y_{1}(y_{2}+y_{L})}\right]^{-1} \]

Підставляючи\(y_{1} =\jmath B\) і\(y_{2} = y_{3} = −\jmath B\), це стає

\[\label{eq:17}y_{\text{in}}=-\jmath B+\frac{\jmath B(y_{L}-\jmath B)}{y_{L}}=\frac{-\jmath By_{L}+\jmath By_{L}+B^{2}}{y_{L}}=\frac{B^{2}}{y_{L}} \]

Таким чином, ланцюг з кусковим елементом малюнка\(\PageIndex{5}\) (b) - це інвертор допуску з кусковим елементом значення\(B\) (в Siemens).

Малюнок\(\PageIndex{7}\): Припинений інвертор допуску кускового елемента.

Малюнок\(\PageIndex{8}\): Вузькосмугові еквіваленти інвертора на частоті\(f_{0}\): (а) імпедансний інвертор з характеристичним імпедансом\(K\); (б) еквівалентна мережа з кусковим елементом; і (в) інвертор, реалізований за допомогою коротко- і розімкнутих заглушок.

2.8.6 Вузькосмугова реалізація інвертора з використанням заглушок лінії електропередачі

У цьому розділі буде показано, що інвертор імпедансу може бути реалізований за допомогою коротко- і розімкнутих заглушок. Матч хороший над вузькою смугою, зосередженою на частоті\(f_{0}\). Інвертор імпедансу показаний на малюнку\(\PageIndex{8}\) (а), а його еквівалентна мережа з кусковим елементом показана на малюнку\(\PageIndex{8}\) (b). Реалізація на основі впертих показана на малюнку\(\PageIndex{8}\) (c), де є коротко- і розімкнуті заглушки характеристичного імпедансу\(Z_{0}\). Вхідний опір заглушок показаний на входах заглушок. Заглушки мають електричну довжину\(\theta\) на,\(f_{0}\) а заглушки мають одну чверть довжини хвилі (тобто резонансну) на тому, що називається співмірною частотою,\(f_{r}\).

Тепер буде показано, що мережа рис.\(\PageIndex{8}\) (с) є хорошим представленням інвертора при\(f_{0}\). Це робиться шляхом узгодження\(ABCD\) параметрів. Матриця\(ABCD\) параметрів інвертора дорівнює

\[\label{eq:18} T=\left[\begin{array}{cc}{0}&{\jmath K}\\{\jmath /K}&{0}\end{array}\right] \]

і, на частоті\(f_{0}\), матриця\(ABCD\) параметрів заглушки схеми малюнка\(\PageIndex{8}\) (в) дорівнює

\[\begin{align}T&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{-1/[\jmath Z_{0}\tan(\theta)]}&{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{\jmath Z_{0}\tan(\theta)}\\{0}&{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{-1/[\jmath Z_{0}\tan (\theta)]}&{1}\end{array}\right] \nonumber \\ &=\left[\begin{array}{cc}{1}&{\jmath Z_{0}\tan(\theta)}\\{-1/[\jmath Z_{0}\tan(\theta)]}&{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{-1/[\jmath Z_{0}\tan(\theta)]}&{1}\end{array}\right] \nonumber \\ \label{eq:19}&=\left[\begin{array}{cc}{0}&{\jmath Z_{0}\tan(\theta)}\\{\jmath /[Z_{0}\tan(\theta)]}&{0}\end{array}\right]\end{align} \]

Таким чином, рівняння рівнянь\(\eqref{eq:18}\) і\(\eqref{eq:19}\), заглушка мережі є хорошим представленням інвертора, якщо

\[\label{eq:20}K=Z_{0}\tan(\theta) \]

і тому необхідний характеристичний опір кожної заглушки на\(f_{0}\) частоті

\[\label{eq:21}Z_{0}=\frac{K}{\tan(\theta)} =\frac{K}{\tan\left(\frac{\pi}{2}\frac{f_{0}}{f_{r}}\right)} \]

Особливий випадок,\(f_{r}=2f_{0}\)

У більшості конструкцій заглушка резонансної частоти,\(f_{r}\) (також називається співмірною частотою), вибирається в два рази більше центральної частоти конструкції,\(f_{0}\). Так з\(f_{r} = 2f_{0}\), то при\(f_{0}\)

\[\label{eq:22}Z_{0}=\frac{K}{\tan\left(\frac{\pi}{2}\frac{f_{0}}{2f_{0}}\right)}=\frac{K}{\tan\pi /4}=K \]

і вхідний опір заглушки є\(\jmath K\). Таким чином, характерний імпеданс заглушки лінії електропередачі є\(Z_{0} = K\).