2.7: Фільтри Баттерворта та Чебишева
- Page ID
- 32445
Фільтри\(n\) нижніх частот другого порядку, побудовані з поліномів Баттерворта та Чебишева, мають сходові схеми форми фігури\(\PageIndex{1}\) (a або b). Рисунок\(\PageIndex{1}\) використовує кілька скорочених позначень, які зазвичай використовуються з фільтрами. По-перше, зауважте, що існують дві прототипи форм\(2\),\(1\) позначені Type і Type, і вони називаються дуальними один одного. Дві прототипи форми мають однакові відповіді з однаковими числовими значеннями елементів\(g_{1},\ldots , g_{n}\). Розглянемо тип\(1\) прототипу малюнка\(\PageIndex{1}\) (а). Самий правий елемент - резистивна навантаження, яка також відома як\((n + 1)\) той елемент. Наступним елементом зліва від цього є або шунтуючий конденсатор (значення\(g_{n}\)), якщо\(n\) парний, або послідовний індуктор (значення\(g_{n}\)), якщо\(n\) непарний. Отже, для\(1\) прототипу типу шунтуючий конденсатор поруч із навантаженням не існує, якщо\(n\) непарний. Таке ж тлумачення стосується і схеми на малюнку\(\PageIndex{1}\) (б).
Малюнок\(\PageIndex{1}\): Прототипи фільтрів в топології Cauer. \(n\)Ось порядок роботи фільтра.
| Порядок,\(n\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \ (n\) ">\(g_{1}\) | \ (2\) ">\(1.4142\) | \ (3\) ">\(1\) | \ (4\) ">\(0.7654\) | \ (5\) ">\(0.6180\) | \ (6\) ">\(0.5176\) | \ (7\) ">\(0.4450\) | \ (8\) ">\(0.3902\) | \ (9\) ">\(0.3473\) |
| \ (n\) ">\(g_{2}\) | \ (2\) ">\(1.4142\) | \ (3\) ">\(2\) | \ (4\) ">\(1.8478\) | \ (5\) ">\(1.6180\) | \ (6\) ">\(1.4142\) | \ (7\) ">\(1.2470\) | \ (8\) ">\(1.1111\) | \ (9\) ">\(1\) |
| \ (n\) ">\(g_{3}\) | \ (2\) ">\(1\) | \ (3\) ">\(1\) | \ (4\) ">\(1.8478\) | \ (5\) ">\(2\) | \ (6\) ">\(1.9318\) | \ (7\) ">\(1.8019\) | \ (8\) ">\(1.6629\) | \ (9\) ">\(1.5321\) |
| \ (n\) ">\(g_{4}\) | \ (2\) "> | \ (3\) ">\(1\) | \ (4\) ">\(0.7654\) | \ (5\) ">\(1.6180\) | \ (6\) ">\(1.9318\) | \ (7\) ">\(2\) | \ (8\) ">\(1.9615\) | \ (9\) ">\(1.8794\) |
| \ (n\) ">\(g_{5}\) | \ (2\) "> | \ (3\) "> | \ (4\) ">\(1\) | \ (5\) ">\(0.6180\) | \ (6\) ">\(1.4142\) | \ (7\) ">\(1.8019\) | \ (8\) ">\(1.9615\) | \ (9\) ">\(2\) |
| \ (n\) ">\(g_{6}\) | \ (2\) "> | \ (3\) "> | \ (4\) "> | \ (5\) ">\(1\) | \ (6\) ">\(0.5176\) | \ (7\) ">\(1.2470\) | \ (8\) ">\(1.6629\) | \ (9\) ">\(1.8794\) |
| \ (n\) ">\(g_{7}\) | \ (2\) "> | \ (3\) "> | \ (4\) "> | \ (5\) "> | \ (6\) ">\(1\) | \ (7\) ">\(0.4450\) | \ (8\) ">\(1.1111\) | \ (9\) ">\(1.5321\) |
| \ (n\) ">\(g_{8}\) | \ (2\) "> | \ (3\) "> | \ (4\) "> | \ (5\) "> | \ (6\) "> | \ (7\) ">\(1\) | \ (8\) ">\(0.3902\) | \ (9\) ">\(1\) |
| \ (n\) ">\(g_{9}\) | \ (2\) "> | \ (3\) "> | \ (4\) "> | \ (5\) "> | \ (6\) "> | \ (7\) "> | \ (8\) ">\(1\) | \ (9\) ">\(0.3473\) |
| \ (n\) ">\(g_{10}\) | \ (2\) "> | \ (3\) "> | \ (4\) "> | \ (5\) "> | \ (6\) "> | \ (7\) "> | \ (8\) "> | \ (9\) ">\(1\) |
Таблиця\(\PageIndex{1}\): Коефіцієнти фільтра прототипу нижніх частот Баттерворта, нормовані на радіанову кутову частоту\(1\text{ rad/s}\) та\(1\:\Omega\) системний імпеданс (тобто\(g_{0} =1= g_{n+1}\)).
2.7.1 Фільтр Баттерворта
Узагальнення прикладу попереднього розділу призводить до формули значень елементів сходової схеми, що реалізує фільтр нижніх частот Баттерворта. Для максимально плоского або Баттервортського відгуку значення елементів схеми на малюнку\(\PageIndex{1}\) (a і b) є
\[\label{eq:1}g_{r}=2\sin\left\{ (2r-1)\frac{\pi}{2n}\right\}\quad r=1,2,3,\ldots ,n \]
і\(g_{0} =1= g_{n+1}\). У таблиці\(\PageIndex{1}\) наведено коефіцієнти фільтрів прототипу нижніх частот Баттерворта до дев'ятого порядку.
Приклад\(\PageIndex{1}\): Fourth-Order Butterworth Lowpass Filter
Виведіть прототип нижнього проходу Баттерворта четвертого порядку\(1\).
Рішення
З рівняння\(\eqref{eq:1}\),
\[\begin{align}\label{eq:2} g_{1}&=2\sin [\pi /(2\cdot 4)]=0.765369\text{ H} \\ \label{eq:3} g_{2}&=2\sin [3\pi /(2\cdot 4)]=1.847759\text{ F} \\ \label{eq:4} g_{3}&=2\sin [5\pi /(2\cdot 4)]=1.847759\text{ H} \\ \label{eq:5} g_{4}&=2\sin [7\pi /(2\cdot 4)]= 0.765369\text{ F}\end{align} \]
Таким чином, схема прототипу нижніх частот Баттерворта четвертого порядку з кутовою частотою виглядає\(1\text{ rad/s}\) так, як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\).
Малюнок\(\PageIndex{2}\): Прототип фільтра нижніх частот Баттерворта четвертого порядку.
2.7.2 Фільтр Чебишева
Для відповіді Чебишева значення елементів низькочастотного прототипу, показані на малюнку\(\PageIndex{1}\), знайдені з рекурсивної формули [1, 6, 7]:
\[\begin{align}\label{eq:6} g_{0}&=1\quad g_{1}=\frac{2a_{1}}{\gamma} \\ \label{eq:7} g_{n+1}&=\left\{\begin{array}{ll}{1}&{n\text{ odd}} \\ {\tanh^{2}(\beta /4)}&{n\text{ even}}\end{array}\right\} \\ \label{eq:8}g_{k}&=\frac{4a_{k-1}a_{k}}{b_{k-1}g_{k-1}},\quad k=1,2,\ldots ,n \\ \label{eq:9}a_{k}&=\sin\left[\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right]\quad k=1,2,\ldots ,n\end{align} \]
де
\[\begin{align}\label{eq:10}\gamma&=\sinh\left(\frac{\beta}{2n}\right) \\ \label{eq:11} b_{k}&=\gamma^{2}+\sin^{2}\left(\frac{k\pi}{n}\right)\quad k=1,2,\ldots ,n \\ \label{eq:12}\beta &=\ln\left[\coth\left(\frac{R_{\text{dB}}}{2\cdot 20\log(2)}\right)\right] = \ln\left[\coth\left(\frac{R_{\text{dB}}}{17.3717793}\right)\right] \\ \label{eq:13}R_{\text{dB}}&=10\log(1+\varepsilon^{2})\end{align} \]
\(n\)це порядок роботи фільтра, а\(\varepsilon\) також коефіцієнт пульсації і визначає рівень пульсації в абсолютному вираженні. \(R_{\text{dB}}\)це пульсація, виражена в децибелах (пульсація зазвичай вказується в децибелах).
Цікавим моментом тут слід зазначити, що вихідний резистор, значення якого задається\(g_{0}\), і кінцевий резистор, значення якого задано\(g_{n+1}\), рівні тільки для фільтрів непарного порядку. Для рівного порядку фільтра Чебишева закінчується резистор\(g_{n+1}\), буде відрізнятися і функцією фільтра пульсації. Оскільки, як правило, бажано мати однакові опори джерела та навантаження, фільтри Чебишева майже завжди обмежені непарним порядком. Таким чином, прототипи Чебишева непарного порядку такі, як показано на рис\(\PageIndex{3}\).
Крім того, для функції непарного ступеня (\(n\)непарна) є ідеальна відповідність при постійному струмі,
\[\label{eq:14}|T(0)|^{2}=1 \]
Рисунок\(\PageIndex{3}\): Прототипи фільтрів нижніх частот Чебишева непарного порядку в топології Кауера. \(n\)Ось порядок роботи фільтра.
| Замовити Пульсація | \(n=3\) | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(0.01\text{ dB}\) | \(0.1\text{ dB}\) | \(0.2\text{ dB}\) | \(1.0\text{ dB}\) | \(3.0\text{ dB}\) | \(\varepsilon =0.1\) | |
| \(g_{1}\) | \ (n=3\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.01\text{ dB}\) «>\(0.62918\) | \ (n=3\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.1\text{ dB}\) «>\(1.03156\) | \ (n=3\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.2\text{ dB}\) «>\(1.22754\) | \ (n=3\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(1.0\text{ dB}\) «>\(2.02359\) | \ (n=3\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(3.0\text{ dB}\) «>\(3.34874\) | \ (n=3\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=5\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=7\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=9\)\(\varepsilon =0.1\) «>\(0.85158\) |
| \(g_{2}\) | \ (n=3\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.01\text{ dB}\) «>\(0.97028\) | \ (n=3\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.1\text{ dB}\) «>\(1.14740\) | \ (n=3\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.2\text{ dB}\) «>\(1.15254\) | \ (n=3\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(1.0\text{ dB}\) «>\(0.99410\) | \ (n=3\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(3.0\text{ dB}\) «>\(0.71170\) | \ (n=3\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=5\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=7\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=9\)\(\varepsilon =0.1\) «>\(1.10316\) |
| \(g_{3}\) | \ (n=3\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.01\text{ dB}\) «>\(0.62918\) | \ (n=3\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.1\text{ dB}\) «>\(1.03156\) | \ (n=3\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.2\text{ dB}\) «>\(1.22754\) | \ (n=3\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(1.0\text{ dB}\) «>\(2.02359\) | \ (n=3\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(3.0\text{ dB}\) «>\(3.34874\) | \ (n=3\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=5\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=7\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=9\)\(\varepsilon =0.1\) «>\(0.85158\) |
| Замовити Пульсація | \(n=5\) | |||||
| \(0.01\text{ dB}\) | \(0.1\text{ dB}\) | \(0.2\text{ dB}\) | \(1.0\text{ dB}\) | \(3.0\text{ dB}\) | \(\varepsilon =0.1\) | |
| \(g_{1}\) | \ (n=3\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.01\text{ dB}\) «>\(0.75633\) | \ (n=3\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.1\text{ dB}\) «>\(1.14681\) | \ (n=3\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.2\text{ dB}\) «>\(1.33944\) | \ (n=3\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(1.0\text{ dB}\) «>\(2.13488\) | \ (n=3\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(3.0\text{ dB}\) «>\(3.48129\) | \ (n=3\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=5\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=7\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=9\)\(\varepsilon =0.1\) «>\(0.97140\) |
| \(g_{2}\) | \ (n=3\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.01\text{ dB}\) «>\(1.30492\) | \ (n=3\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.1\text{ dB}\) «>\(1.37121\) | \ (n=3\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.2\text{ dB}\) «>\(1.33702\) | \ (n=3\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(1.0\text{ dB}\) «>\(1.09111\) | \ (n=3\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(3.0\text{ dB}\) «>\(0.76192\) | \ (n=3\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=5\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=7\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=9\)\(\varepsilon =0.1\) «>\(1.37208\) |
| \(g_{3}\) | \ (n=3\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.01\text{ dB}\) «>\(1.57731\) | \ (n=3\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.1\text{ dB}\) «>\(1.97500\) | \ (n=3\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.2\text{ dB}\) «>\(2.16605\) | \ (n=3\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(1.0\text{ dB}\) «>\(3.00092\) | \ (n=3\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(3.0\text{ dB}\) «>\(4.53755\) | \ (n=3\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=5\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=7\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=9\)\(\varepsilon =0.1\) «>\(1.80136\) |
| \(g_{4}\) | \ (n=3\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.01\text{ dB}\) «>\(1.30492\) | \ (n=3\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.1\text{ dB}\) «>\(1.37121\) | \ (n=3\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.2\text{ dB}\) «>\(1.33702\) | \ (n=3\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(1.0\text{ dB}\) «>\(1.09111\) | \ (n=3\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(3.0\text{ dB}\) «>\(0.76192\) | \ (n=3\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=5\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=7\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=9\)\(\varepsilon =0.1\) «>\(1.37208\) |
| \(g_{5}\) | \ (n=3\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.01\text{ dB}\) «>\(0.75633\) | \ (n=3\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.1\text{ dB}\) «>\(1.14681\) | \ (n=3\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.2\text{ dB}\) «>\(1.33944\) | \ (n=3\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(1.0\text{ dB}\) «>\(2.13488\) | \ (n=3\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(3.0\text{ dB}\) «>\(3.48129\) | \ (n=3\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=5\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=7\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=9\)\(\varepsilon =0.1\) «>\(0.97140\) |
| Замовити Пульсація | \(n=7\) | |||||
| \(0.01\text{ dB}\) | \(0.1\text{ dB}\) | \(0.2\text{ dB}\) | \(1.0\text{ dB}\) | \(3.0\text{ dB}\) | \(\varepsilon =0.1\) | |
| \(g_{1}\) | \ (n=3\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.01\text{ dB}\) «>\(0.79694\) | \ (n=3\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.1\text{ dB}\) «>\(1.18118\) | \ (n=3\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.2\text{ dB}\) «>\(1.37226\) | \ (n=3\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(1.0\text{ dB}\) «>\(2.16656\) | \ (n=3\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(3.0\text{ dB}\) «>\(3.51852\) | \ (n=3\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=5\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=7\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=9\)\(\varepsilon =0.1\) «>\(1.00794\) |
| \(g_{2}\) | \ (n=3\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.01\text{ dB}\) «>\(1.39242\) | \ (n=3\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.1\text{ dB}\) «>\(1.42281\) | \ (n=3\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.2\text{ dB}\) «>\(1.37820\) | \ (n=3\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(1.0\text{ dB}\) «>\(1.11151\) | \ (n=3\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(3.0\text{ dB}\) «>\(0.77220\) | \ (n=3\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=5\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=7\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=9\)\(\varepsilon =0.1\) «>\(1.43678\) |
| \(g_{3}\) | \ (n=3\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.01\text{ dB}\) «>\(1.74813\) | \ (n=3\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.1\text{ dB}\) «>\(2.09667\) | \ (n=3\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.2\text{ dB}\) «>\(2.27566\) | \ (n=3\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(1.0\text{ dB}\) «>\(3.09364\) | \ (n=3\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(3.0\text{ dB}\) «>\(4.63898\) | \ (n=3\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=5\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=7\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=9\)\(\varepsilon =0.1\) «>\(1.93981\) |
| \(g_{4}\) | \ (n=3\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.01\text{ dB}\) «>\(1.63313\) | \ (n=3\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.1\text{ dB}\) «>\(1.57340\) | \ (n=3\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.2\text{ dB}\) «>\(1.50016\) | \ (n=3\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(1.0\text{ dB}\) «>\(1.17352\) | \ (n=3\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(3.0\text{ dB}\) «>\(0.80381\) | \ (n=3\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=5\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=7\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=9\)\(\varepsilon =0.1\) «>\(1.62196\) |
| \(g_{5}\) | \ (n=3\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.01\text{ dB}\) «>\(1.74813\) | \ (n=3\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.1\text{ dB}\) «>\(2.09667\) | \ (n=3\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.2\text{ dB}\) «>\(2.27566\) | \ (n=3\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(1.0\text{ dB}\) «>\(3.09364\) | \ (n=3\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(3.0\text{ dB}\) «>\(4.63898\) | \ (n=3\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=5\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=7\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=9\)\(\varepsilon =0.1\) «>\(1.93981\) |
| \(g_{6}\) | \ (n=3\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.01\text{ dB}\) «>\(1.39242\) | \ (n=3\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.1\text{ dB}\) «>\(1.42281\) | \ (n=3\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.2\text{ dB}\) «>\(1.37820\) | \ (n=3\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(1.0\text{ dB}\) «>\(1.11151\) | \ (n=3\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(3.0\text{ dB}\) «>\(0.77220\) | \ (n=3\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=5\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=7\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=9\)\(\varepsilon =0.1\) «>\(1.43678\) |
| \(g_{7}\) | \ (n=3\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.01\text{ dB}\) «>\(0.79694\) | \ (n=3\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.1\text{ dB}\) «>\(1.18118\) | \ (n=3\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.2\text{ dB}\) «>\(1.37226\) | \ (n=3\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(1.0\text{ dB}\) «>\(2.16656\) | \ (n=3\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(3.0\text{ dB}\) «>\(3.51852\) | \ (n=3\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=5\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=7\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=9\)\(\varepsilon =0.1\) «>\(1.00794\) |
| Замовити Пульсація | \(n=9\) | |||||
| \(0.01\text{ dB}\) | \(0.1\text{ dB}\) | \(0.2\text{ dB}\) | \(1.0\text{ dB}\) | \(3.0\text{ dB}\) | \(\varepsilon =0.1\) | |
| \(g_{1}\) | \ (n=3\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.01\text{ dB}\) «>\(0.81446\) | \ (n=3\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.1\text{ dB}\) «>\(1.19567\) | \ (n=3\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.2\text{ dB}\) «>\(1.38603\) | \ (n=3\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(1.0\text{ dB}\) «>\(2.17972\) | \ (n=3\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(3.0\text{ dB}\) «>\(3.53394\) | \ (n=3\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=5\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=7\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=9\)\(\varepsilon =0.1\) «>\(1.02347\) |
| \(g_{2}\) | \ (n=3\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.01\text{ dB}\) «>\(1.42706\) | \ (n=3\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.1\text{ dB}\) «>\(1.44260\) | \ (n=3\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.2\text{ dB}\) «>\(1.39389\) | \ (n=3\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(1.0\text{ dB}\) «>\(1.11918\) | \ (n=3\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(3.0\text{ dB}\) «>\(0.76604\) | \ (n=3\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=5\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=7\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=9\)\(\varepsilon =0.1\) «>\(1.46186\) |
| \(g_{3}\) | \ (n=3\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.01\text{ dB}\) «>\(1.80436\) | \ (n=3\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.1\text{ dB}\) «>\(2.13455\) | \ (n=3\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.2\text{ dB}\) «>\(2.30932\) | \ (n=3\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(1.0\text{ dB}\) «>\(3.12143\) | \ (n=3\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(3.0\text{ dB}\) «>\(4.66906\) | \ (n=3\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=5\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=7\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=9\)\(\varepsilon =0.1\) «>\(1.98372\) |
| \(g_{4}\) | \ (n=3\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.01\text{ dB}\) «>\(1.71254\) | \ (n=3\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.1\text{ dB}\) «>\(1.61672\) | \ (n=3\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.2\text{ dB}\) «>\(1.53405\) | \ (n=3\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(1.0\text{ dB}\) «>\(1.18967\) | \ (n=3\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(3.0\text{ dB}\) «>\(0.81181\) | \ (n=3\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=5\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=7\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=9\)\(\varepsilon =0.1\) «>\(1.67776\) |
| \(g_{5}\) | \ (n=3\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.01\text{ dB}\) «>\(1.90579\) | \ (n=3\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.1\text{ dB}\) «>\(2.20537\) | \ (n=3\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.2\text{ dB}\) «>\(2.37280\) | \ (n=3\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(1.0\text{ dB}\) «>\(3.17463\) | \ (n=3\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(3.0\text{ dB}\) «>\(4.72701\) | \ (n=3\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=5\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=7\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=9\)\(\varepsilon =0.1\) «>\(2.06485\) |
| \(g_{6}\) | \ (n=3\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.01\text{ dB}\) «>\(1.71254\) | \ (n=3\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.1\text{ dB}\) «>\(1.61672\) | \ (n=3\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.2\text{ dB}\) «>\(1.53405\) | \ (n=3\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(1.0\text{ dB}\) «>\(1.18967\) | \ (n=3\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(3.0\text{ dB}\) «>\(0.81181\) | \ (n=3\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=5\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=7\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=9\)\(\varepsilon =0.1\) «>\(1.67776\) |
| \(g_{7}\) | \ (n=3\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.01\text{ dB}\) «>\(1.80436\) | \ (n=3\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.1\text{ dB}\) «>\(2.13455\) | \ (n=3\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.2\text{ dB}\) «>\(2.30932\) | \ (n=3\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(1.0\text{ dB}\) «>\(3.12143\) | \ (n=3\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(3.0\text{ dB}\) «>\(4.66906\) | \ (n=3\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=5\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=7\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=9\)\(\varepsilon =0.1\) «>\(1.98372\) |
| \(g_{8}\) | \ (n=3\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.01\text{ dB}\) «>\(1.42706\) | \ (n=3\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.1\text{ dB}\) «>\(1.44260\) | \ (n=3\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.2\text{ dB}\) «>\(1.39389\) | \ (n=3\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(1.0\text{ dB}\) «>\(1.11918\) | \ (n=3\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(3.0\text{ dB}\) «>\(0.76604\) | \ (n=3\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=5\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=7\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=9\)\(\varepsilon =0.1\) «>\(1.46186\) |
| \(g_{9}\) | \ (n=3\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.01\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.01\text{ dB}\) «>\(0.81446\) | \ (n=3\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.1\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.1\text{ dB}\) «>\(1.19567\) | \ (n=3\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=5\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=7\)\(0.2\text{ dB}\)\(n=9\)\(0.2\text{ dB}\) «>\(1.38603\) | \ (n=3\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(1.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(1.0\text{ dB}\) «>\(2.17972\) | \ (n=3\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=5\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=7\)\(3.0\text{ dB}\)\(n=9\)\(3.0\text{ dB}\) «>\(3.53394\) | \ (n=3\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=5\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=7\)\(\varepsilon =0.1\)\(n=9\)\(\varepsilon =0.1\) «>\(1.02347\) |
Таблиця\(\PageIndex{2}\): Коефіцієнти фільтра прототипу нижніх частот Чебишева, нормовані на радіанову кутову частоту\(\omega_{0} = 1\text{ rad/s}\) та\(1\:\Omega\) системний імпеданс (тобто\(g_{0} = 1 = g_{n+1}\)). Коефіцієнт\(\varepsilon\) пульсації пов'язаний з пульсацією в децибелах рівнянням\(\eqref{eq:13}\) (наприклад,\(\varepsilon = 0.1\) є пульсацією\(0.0432\text{ dB}\)). (Відзначимо,\(\omega_{0}\) що радіан частота, при якій реакція передачі фільтра Чебишева знижується пульсацією, див. Рис. 2.4.2.)
у той час як для функції рівного ступеня (\(n\)тобто парна) існує невідповідність значення
\[\label{eq:15}|T(0)|^{2}=\frac{4R_{L}}{(R_{L}+1)^{2}}=\frac{1}{1+\varepsilon^{2}} \]
щоб
\[\label{eq:16}R_{L}=g_{n+1}=\left[\varepsilon +\sqrt{(1+\varepsilon^{2})}\right]^{2} \]
Коефіцієнти декількох фільтрів прототипів нижніх частот Чебишева з різним рівнем пульсації і непарних порядків до дев'ятого порядку наведені в табл\(\PageIndex{2}\).
2.7.3 Резюме
Фільтр Баттерворта має монотонну реакцію без пульсації, але відносно повільний перехід від смуги пропускання до смуги зупинки. Фільтр Чебишева має швидкий перехід, але має пульсацію в смузі зупинки або смузі пропускання. Фільтри Баттерворта і Чебишева - це особливі випадки еліптичних фільтрів, які ще називають фільтрами Кауера. Загалом, еліптичний фільтр має пульсацію як в смузі зупинки, так і в смузі пропускання. Рівень пульсації можна вибрати
Малюнок\(\PageIndex{4}\): Імпеданс інвертора (імпедансу K в Омах): (a) представлений у вигляді двох портів; і (b) два порти закінчується навантаженням.
самостійно в кожній смузі. При нульовій пульсації в смузі зупинки, але пульсації в смузі пропускання еліптичний фільтр стає фільтром Чебишева I типу. При нульовій пульсації в смузі пропускання, але пульсації в смузі зупинки еліптичний фільтр стає фільтром Чебишева II типу. Без пульсацій в будь-якій смузі еліптичний фільтр стає фільтром Баттерворта. З пульсацією як в смузі пропускання, так і в смузі зупинки перехід між смугою пропускання та смугою зупинки може бути зроблений більш різким або, альтернативно, збільшити допуск до варіацій компонентів.
Іншим типом фільтра є фільтр Бесселя, який має максимально плоску групову затримку в смузі пропускання, що означає, що фазовий відгук має максимальну лінійність по всій смузі пропускання. Фільтр Лежандра (також відомий як оптимальний фільтр «L») має високу швидкість переходу від смуги пропускання до смуги зупинки для заданого порядку фільтра, а також має монотонну частотну характеристику (тобто без пульсацій). Це компроміс між фільтром Баттерворта, з монотонною частотною характеристикою, але більш повільним переходом і фільтром Чебишева, який має більш швидкий перехід, але пульсації в АЧХ.
Більш глибокі обговорення великого класу фільтрів поряд з таблицями коефіцієнтів і формулами коефіцієнтів доступні в Matthaei et al. [1], Hunter [3], Daniels [8], Lutovac et al. [9], і в більшості інших книг, присвячених виключно мікрохвильовим фільтрам.