2.6: Видобуток елементів

У попередніх двох розділах математичні відповіді фільтрів Баттерворта та Чебишева були виведені для різних порядків. У цьому розділі буде показано, як ці фільтри можуть бути реалізовані за допомогою індукторів і конденсаторів, використовуючи так званий сходи синтезу [4].

2.6.1 Синтез сходів

Для отримання значень елементів, що дають бажану передавальну функцію, спочатку слід отримати функцію імпедансу або допуску. Функцію імпедансу або допуску можна легко отримати з вхідного коефіцієнта відбиття мережі, але наразі основна увага приділяється синтезу заданої функції імпедансу. Загальна функція імпедансу може бути виражена як

\[\label{eq:1}Z(s)=\frac{a_{n}(s^{2} +\omega_{1}^{2})(s^{2} + \omega_{3}^{2})(s^{2} + \omega_{5}^{2})\cdots}{b_{m}s (s^{2} +\omega_{2}^{2}) (s^{2} + \omega_{4}^{2}) (s^{2} +\omega_{6}^{2})\cdots} \]

де\(a_{n}\) і\(b_{m}\) є константами. Це можна реалізувати за допомогою\(L\) і\(C\) елементів в мережі, що закінчуються резистором, за умови, що ступінь чисельника і знаменника відрізняються не більше ніж на одиницю (тобто\(|m−n|\leq 1\)). В

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Витяг мережі\(X\) для зменшення імпедансу\(Z_{\text{in, }i}\) до нижчого імпедансу\(Z_{\text{in, }i+1}\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Синтез функцій імпедансу та допуску. Починаючи з функції імпедансу\(Z(s)\): (а) витяг послідовного конденсатора; (c) витяг послідовного індуктора; і (е) витяг послідовного паралельного\(LC\) блоку\(i\). Починаючи з функції допуску\(Y(s)\): (б) витяг шунтуючого індуктора; (г) витяг шунтуючого конденсатора; і (f) витяг\(LC\) блоку серії шунта.

випадок подвійно обривається мережі, цей резистор і є навантаженням. Процедура вилучення елементів, показана на малюнку\(\PageIndex{1}\), передбачає вилучення мережі\(X\) з\(Z_{\text{in, }i}\), залишаючи імпеданс зменшеного порядку\(Z_{\text{in, }i+1}\).

Вилучення індукторів і конденсаторів проілюстровано на малюнку\(\PageIndex{2}\). Таким чином, після вилучення елемента або пари елементів залишається імпеданс\(Z_{\text{rem}}\), або допуск\(Y_{\text{rem}}\), що може бути аналогічно спрощено. Наприклад, і посилаючись на рисунок\(\PageIndex{2}\) (а),\(Z(s)=1/(sC)+Z_{\text{rem}}\). Отже, полюс\(Z(s)\) при постійному струмі вимагає вилучення послідовного конденсатора значення (див. Рис.\(\PageIndex{2}\) (а))

\[\label{eq:2}C_{0}=\left.\frac{1}{sZ(s)}\right|_{s=0} \]

тоді як полюс на нескінченності вимагає вилучення послідовного індуктора значення (див. Рис.\(\PageIndex{2}\) (с))

\[\label{eq:3}L_{\infty}=\left.\frac{Z(s)}{s}\right|_{s=\infty} \]

Інша можливість - полюс на скінченній частоті (назвіть це\(\omega_{0}\)), який вимагає вилучення послідовного паралельного\(LC\) блоку, як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\) (е), з елементами значення

\[\label{eq:4}C_{i}=\left.\frac{s}{(s^{2}+\omega_{2}^{2})Z(s)}\right|_{s=\jmath\omega_{0}}\quad\text{and}\quad L_{i}=\frac{1}{\omega_{0}^{2}C_{i}} \]

Процес видобутку також може здійснюватися на основі допуску. Перший

\[\label{eq:5}Y(s)=\frac{b_{m}s (s^{2} +\omega_{2}^{2})(s^{2} +\omega_{4}^{2})(s^{2} + \omega_{s}^{2})\cdots}{a_{n} (s^{2} +\omega_{1}^{2}) (s^{2} +\omega_{3}^{2}) (s^{2} +\omega_{5}^{2})\cdots} \]

Тепер полюс на нулі вимагає вилучення шунтуючого індуктора величини (див. Рис.\(\PageIndex{2}\) (б))

\[\label{eq:6}L_{0}=\left.\frac{1}{sY(s)}\right|_{s=0} \]

а полюс на нескінченності вимагає вилучення шунтуючого конденсатора величини (див. Рис.\(\PageIndex{2}\) (г))

\[\label{eq:7}C_{\infty}=\left.\frac{Y(s)}{s}\right|_{s=\infty} \]

Полюс на скінченній частоті вимагає вилучення\(LC\) блоку шунтового ряду (як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\) (f)) зі значеннями

\[\label{eq:8}L_{i}=\left.\frac{s}{(s^{2}+\omega_{0}^{2})Y(s)}\right|_{s=\jmath\omega_{0}}\quad\text{and}\quad C_{i}=\frac{1}{\omega_{0}^{2}L_{i}} \]

Багато аспектів синтезу фільтрів можуть здатися абстрактними, коли представлені в повній загальності. Отже, часто ілюструвати концепції синтезу фільтрів на прикладах. Слідуючи цій шанованій часом традиції, зараз представлений приклад.

Приклад\(\PageIndex{1}\): Element Extraction for a Third-Order Lowpass Filter

Максимально плоский фільтр третього порядку має коефіцієнт відбиття

\[\label{eq:9}\Gamma_{1}(s)=\frac{s^{3}}{(s+1)(s^{2}+s+1)} \]

Синтезуйте цей фільтр як подвійно завершену мережу.

Рішення

Функція коефіцієнта відбиття (Рівняння\(\eqref{eq:9}\)) має всі свої полюси, розташовані на нескінченності, тому відповідна реалізація мережі повинна бути виконана з простих\(C\) елементів\(L\) або і закінчена резистором. Отже, посилаючись на рис. 2.2.1 і розглядаючи\(1\:\Omega\) систему,

\[\label{eq:10}Z_{\text{in, }1}(s)=\frac{1+\Gamma_{1}(s)}{1-\Gamma_{1}(s)}=\frac{2s^{3}+2s^{2}+2s+1}{2s^{2}+2s+1} \]

Зверніть увагу, що вхідний опір наближається до нескінченності, оскільки частота переходить до нескінченності, отже, слід витягти серійний індуктор. Значення цього індуктора дорівнює

\[\label{eq:11}L_{\infty 1}=\left.\frac{Z_{\text{in, }1}(s)}{s}\right|_{s=\infty}=1\text{ H} \]

Фільтр розробляється шляхом вилучення одного елемента за раз. Після вилучення першого елемента залишають імпеданс другого ступеня. Тепер функція імпедансу

\[\begin{aligned} Z_{\text{in, }2}(s)&=Z_{\text{in, }1}(s)-sL_{\infty 1}=\frac{2s^{3}+2s^{2}+2s+1}{2s^{2}+2s+1}-sL_{\infty 1} \\ &=\frac{2s^{3}+2s^{2}+2s+1-s(2s^{2}+2s+1)}{2s^{2}+2s+1}=\frac{s+1}{2s^{2}+2s+1}\end{aligned}\nonumber \]

Зверніть увагу, що імпеданс ступені вище\(Z_{\text{in, }2}\), наближається до нуля, оскільки частота переходить до нескінченності. Немає жодного елемента серії, який би викликав це. Однак функція прийому сцени,

\[\label{eq:12}Y_{\text{in, }2}(s)=\frac{1}{Z_{\text{in, }2}(s)}=\frac{2s^{2}+2s+1}{s+1} \]

йде до нескінченності, коли частота наближається до нескінченності і так витягується шунтуючий конденсатор:

\[\label{eq:13}Y_{\text{in, }3}(s)=Y_{\text{in, }2}(s)-sC_{\infty 2}=\frac{1}{s+1} \]

де

\[\label{eq:14}C_{\infty 2}=2F \]

Так що іноді зручніше розглянути витяг допуску, а іноді краще розглянути витяг імпедансу.

Вивчаючи решту ступінчастого опору, видно, що полюс існує на нескінченності, і таким чином витягується\(L_{\infty 3}\) послідовний індуктор. Значення цього індуктора походить від

\[\label{eq:15}Z_{\text{in, }3}=\frac{1}{Y_{\text{in, }3}}=s+1\:\Omega \]

і тому значення індуктора

\[\label{eq:16}L_{\infty 3}=\left.\frac{s+1}{s}\right|_{S=\infty}=1\text{ H} \]

Завершальним кроком є витяг навантаження значення 1 наступним чином:

\[\label{eq:17}Z_{\text{in, }4}=Z_{\text{in, }s}-sL_{\infty 3}=1\:\Omega \]

Цей приклад синтезував подвійно завершену мережу. Отримана мережа, звана сходовою схемою, показана на малюнку\(\PageIndex{3}\). Самий лівий\(1\:\Omega\) резистор є частиною джерела.

Ця схема має подвійну форму, що складається з двох шунтуючих конденсаторів, розділених послідовним індуктором. Подвійний контур походить від реалізації функції допуску, отриманої з коефіцієнта відбиття. Інші методи видобутку мережі представлені в Scanlan і Levy [4, 5] і Matthaei et al. [1].

Рисунок\(\PageIndex{3}\): Синтезована максимально плоска мережа з реакцією на відбиття нижніх частот третього порядку.

2.6.2 Резюме

Функція вхідного імпедансу ланцюга з кусковим елементом завжди може бути виражена у\(s\) вигляді співвідношення двох многочленів в, а порядок чисельника і знаменника многочленів може відрізнятися не більше ніж на один [5]. Якщо порядки відрізняються на одиницю, то завжди можна витягти один індуктор або конденсатор, однак, що залишилася функція імпедансу може бути нездійсненною. Це говорить про те, що потрібно більш складна\(LC\) (а можливо\(R\)) комбінація. Щоб мати можливість систематично витягувати довільно складні схеми, потрібен довгий список можливих функцій, таких як наведені на малюнку\(\PageIndex{2}\). Для більшості схем, що цікавлять, достатньо\(LC\) комбінацій, показаних на малюнку\(\PageIndex{2}\). Наступний приклад описує функцію екстракції імпедансу, яка вимагає\(LC\) комбінації.

Приклад\(\PageIndex{2}\): Element Extraction of an Impedance Function

Реалізуйте функцію імпедансу\(Z_{w}=\frac{4s^{3}+4s^{2}+2s+2}{4s^{2}+2s+1}\).

Рішення

Порядок чисельника\(1\) більше порядку знаменника і це говорить про те, що, можливо, присутній індуктор серії. Серія індуктивності

\[\label{eq:18} L_{1}=\left.\frac{Z_{w}(s)}{(s)}\right|_{z=\infty}=1\text{ H} \]

Решта імпеданс

\[\label{eq:19}Z_{\text{in, }2}=Z_{w}-sL_{1}=\frac{4s^{3}+4s^{2}+2s+2}{4s^{2}+2s+1}-s=\frac{2s^{2}+s+2}{4s^{2}+2s+1} \]

Чисельник і знаменник\(Z_{\text{in, }2}\) мають однаковий порядок. Тому простий\(C\) елемент\(L\) або не може бути використаний для зменшення складності функції імпедансу. Таким чином, індуктор початкової серії не був правильним вибором, і видобуток повинен відступити.

\(\PageIndex{2}\)На малюнку показано кілька комбінацій елементів, які можуть бути використані для зменшення складності функції імпедансу. Розуміння того, яку альтернативу вибрати, походить від факторингу\(z_{w}\), і зауважте, що потрібні реальні корені, таким чином

\[\label{eq:20}Z_{w}=\frac{4s^{3}+4s^{2}+2s+2}{4s^{2}+2s+1}=\frac{(2s^{2}+1)(2s+2)}{4s^{2}+2s+1} \]

Експертиза малюнка\(\PageIndex{2}\) виявляє, що готового прилягання до\(Z_{w}\) не знайдено. Замість цього розглянемо функцію допуску

\[\label{eq:21}Y_{w}=\frac{1}{Z_{w}}=\frac{4s^{2}+2s+1}{(2s^{2}+1)(2s+2)} \]

Таким чином, скорочення, показане на малюнку\(\PageIndex{2}\) (f), виглядає як правильний кандидат. Загальним вибором для елемента є

\[\label{eq:22}y_{x}=\frac{as}{bs^{2}+1} \]

Вибір\(b = 2\) зараз зменшує складність (оскільки частина фактованого знаменника\(Y_{w}\) тепер відбувається), тому

\[\begin{align}\label{eq:23}Y_{w}&=\frac{as}{2s^{2}+1}+\left(\frac{4s^{2}+2s+1}{(2s^{2}+1)(2s+2)}-\frac{as}{2s^{2}+1}\right) \\ \label{eq:24}&=\frac{as}{2s^{2}+1}+\left(\frac{(4-2a)s^{2}+(2-2a)s+1}{(2s^{2}+1)(2s+2)}\right)\end{align} \]

Обирайте\(a = 1\),

\[\begin{align}\label{eq:25}Y_{w}&=\frac{s}{(2s^{2}+1)}+\frac{2s^{2}+1}{(2s^{2}+1)(2s+2)}=\frac{s}{2s^{2}+1}+\frac{1}{2s+2} \\ \label{eq:26}&=\frac{s}{2s^{2}+1}+Y_{\text{in, }2}\end{align} \]

Отже\(C_{1}L_{1} = b = 1,\: C_{1} = a = 1\text{ F},\: L_{1} = 2\text{ H}\), і

\[\label{eq:27}Y_{\text{in, }2}=\frac{1}{(2s+2)}\quad\text{or}\quad Z_{\text{in, }2}=\frac{1}{Y_{\text{in, }2}}=2s+2 \]

Фінальна мережа

Малюнок\(\PageIndex{4}\)