Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.5: Наближення нижнього проходу Чебишева

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    32422

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Максимально плоске наближення до ідеальної реакції фільтра низьких частот найкраще біля початку, але не настільки добре біля краю смуги. Фільтри Чебишева мають кращі відгуки біля краю смуги, з меншими втратами вставки біля країв, але ціною брижі в смузі пропускання. Приклад відбиття і передачі реакцій наведено на малюнку 2.4.2 для фільтра нижніх частот Чебишева сьомого порядку і шостого порядку.

    2.5.1 Конструкція фільтра Чебишева

    Загальна форма коефіцієнта передачі Чебишева дорівнює

    \[\label{eq:1}|T(s)|^{2}=\frac{1}{1+\varepsilon^{2}|K(s)|^{2}} \]

    де\(\varepsilon\) - коефіцієнт пульсації і визначає смугу пропускання пульсації (PBR):

    \[\label{eq:2}\text{PBR}=1+\varepsilon^{2},\quad\text{or in decibels}\quad R_{\text{dB}}=\text{PBR}|_{\text{dB}}=10\log (1+\varepsilon^{2}) \]

    ПБР можна побачити у відгуку передачі\(|T(s)|^{2}\), на малюнку 2.4.2. У смузі пропускання піки реакції фільтра без втрат\(|T(s)|^{2} = 1\) і мінімуми реакції пульсації всі мають\(|T(s)|^{2} = 1/(1 +\varepsilon^{2}) = 1/\text{PBR}\). Отже, фільтри Чебишева також відомі як рівнополюсні фільтри низьких частот. Також зверніть увагу, що кутова радіан частота,\(\omega = 1\) для прототипу фільтра низьких частот, має характеристику передачі (тобто втрати вставки\(\text{IL}\))\(|T(s)|^{2} = 1/(1 + \varepsilon^{2})\), тоді як реакція передачі Баттерворта була на половині потужності на кутовій частоті. Для фільтра Чебишева втрата вставки на кутовій частоті - пульсація:

    \[\label{eq:3}\text{IL}=1R_{\text{dB}}=10\log(1+\varepsilon^{2}) \]

    Для\(n\) наближення Чебишева (фільтр низьких частот) квадрат характеристичної функції дорівнює

    \[\label{eq:4}|K_{n}(\omega)|^{2}=\left\{\begin{array}{ll}{\cos^{2}[n\:\cos^{-1}(\omega)]}&{-1\leq\omega\leq 1} \\ {\cosh^{2}[n\cosh^{-1}(|\omega|)]}&{\omega\leq -1,\:\omega\geq 1}\end{array}\right. \]

    який може бути виражений у вигляді многочлена. Наприклад, з\(n = 3\),

    \[\label{eq:5}K_{3}(\omega)=4\omega^{3}-3\omega,\quad\text{for all }\omega \]

    (Цю еквівалентність вивів Пафнутій Чебишев.) Дивно, що тригонометричний вираз має таку просту поліноміальну еквівалентність. З Рівняння (2.2.11) коефіцієнт передачі дорівнює (для\(−1 ≤ \omega ≤ 1\))

    \[\label{eq:6}|T(\omega)|^{2}=\frac{1}{1+\varepsilon^{2}\cos^{2}[n\cos^{-1}(\omega)]} \]

    а коефіцієнт відбиття дорівнює

    \[\label{eq:7}|\Gamma_{1}(\omega)|^{2}=\frac{\varepsilon^{2}\cos^{2}[n\cos^{-1}(\omega)]}{1+\varepsilon^{2}\cos^{2}[n\cos^{-1}(\omega)]} \]

    Факторизація знаменника або Рівняння\(\eqref{eq:6}\) або Рівняння\(\eqref{eq:7}\) дає наступні корені (знаменників\(\Gamma_{1}(s)\) і\(T(s)\)):

    \[\begin{align} s_{i}&=\sin\left[\frac{(2i-1)\pi}{2n}\right]\sinh\left[\frac{1}{n}\sinh^{-1}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right] \nonumber \\ \label{eq:8}&\quad +\jmath\cos\left[\frac{(2i-1)\pi}{2n}\right]\cosh\left[\frac{1}{n}\sinh^{-1}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right]\quad i=1,2,\ldots ,n\end{align} \]

    Коріння чисельника\(\Gamma_{1}(s)\) в\(s\) площині є

    \[\label{eq:9}s_{k}=\jmath\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}\quad k=1,2,\ldots ,n \]

    Рівняння\(\eqref{eq:8}\) і\(\eqref{eq:9}\) можуть бути використані для отримання коефіцієнтів відбиття і пропускання безпосередньо в\(s\) області.

    2.5.2 Наближення і рекурсія Чебишева

    Характерну функцію наближення Чебишева можна отримати за формулою рекурсії,

    \[\label{eq:10}K_{n}(\omega)=2\omega K_{n-1}(\omega)-K_{n-2}(\omega) \]

    Відповідь\(1\text{ dB}\) вниз
    Пульсація \(n=3\) \(n=5\) \(n=7\) \(n=9\)
    \ (1\ text {дБ}\) Даунпульсація Відповідь\(3\text{ dB}\) Даунпульсація «>\(0.01\text{ dB}\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=3\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=3\) «>\(1.564\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=5\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=5\) «>\(1.192\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=7\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=7\) «>\(1.097\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=9\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=9\) «>\(1.058\)
    \ (1\ text {дБ}\) Даунпульсація Відповідь\(3\text{ dB}\) Даунпульсація «>\(0.1\text{ dB}\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=3\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=3\) «>\(1.202\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=5\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=5\) «>\(1.071\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=7\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=7\) «>\(1.036\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=9\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=9\) «>\(1.022\)
    \ (1\ text {дБ}\) Даунпульсація Відповідь\(3\text{ dB}\) Даунпульсація «>\(0.2\text{ dB}\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=3\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=3\) «>\(1.127\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=5\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=5\) «>\(1.045\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=7\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=7\) «>\(1.023\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=9\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=9\) «>\(1.014\)
    \ (1\ text {дБ}\) Даунпульсація Відповідь\(3\text{ dB}\) Даунпульсація «>\(1\text{ dB}\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=3\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=3\) «>\(1.000\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=5\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=5\) «>\(1.000\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=7\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=7\) «>\(1.000\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=9\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=9\) «>\(1.000\)
    \ (1\ text {дБ}\) Даунпульсація Відповідь\(3\text{ dB}\) Даунпульсація «>\(3\text{ dB}\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=3\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=3\) «>\(-\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=5\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=5\) «>\(-\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=7\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=7\) «>\(-\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=9\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=9\) «>\(-\)
    Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз
    Пульсація \(n=3\) \(n=5\) \(n=7\) \(n=9\)
    \ (1\ text {дБ}\) Даунпульсація Відповідь\(3\text{ dB}\) Даунпульсація «>\(0.01\text{ dB}\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=3\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=3\) «>\(1.877\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=5\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=5\) «>\(1.291\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=7\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=7\) «>\(1.145\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=9\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=9\) «>\(1.087\)
    \ (1\ text {дБ}\) Даунпульсація Відповідь\(3\text{ dB}\) Даунпульсація «>\(0.1\text{ dB}\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=3\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=3\) «>\(1.389\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=5\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=5\) «>\(1.134\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=7\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=7\) «>\(1.068\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=9\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=9\) «>\(1.041\)
    \ (1\ text {дБ}\) Даунпульсація Відповідь\(3\text{ dB}\) Даунпульсація «>\(0.2\text{ dB}\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=3\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=3\) «>\(1.284\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=5\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=5\) «>\(1.099\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=7\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=7\) «>\(1.050\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=9\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=9\) «>\(1.030\)
    \ (1\ text {дБ}\) Даунпульсація Відповідь\(3\text{ dB}\) Даунпульсація «>\(1\text{ dB}\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=3\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=3\) «>\(1.095\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=5\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=5\) «>\(1.0338\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=7\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=7\) «>\(1.017\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=9\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=9\) «>\(1.010\)
    \ (1\ text {дБ}\) Даунпульсація Відповідь\(3\text{ dB}\) Даунпульсація «>\(3\text{ dB}\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=3\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=3\) «>\(1.000\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=5\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=5\) «>\(1.000\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=7\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=7\) «>\(1.000\) \ (1\ text {dB}\) вниз\(n=9\) Відповідь\(3\text{ dB}\) вниз\(n=9\) «>\(1.000\)

    Таблиця\(\PageIndex{1}\): Радіанові частоти, при яких\(n\) реакція передачі фільтра Чебишева знижена\(1\text{ dB}\) і\(3\text{ dB}\) для кутової частоти\(\omega_{0} = 1\text{ rad/s}\). (Відзначимо,\(\omega_{0}\) що радіан частота, при якій реакція передачі фільтра Чебишева знижується пульсацією, див. Рис. 2.4.2.)

    із

    \[\label{eq:11}K_{1}(\omega)=\omega;\qquad K_{2}(\omega)=2\omega^{2}-1 \]

    Наприклад, з\(n = 3\),

    \[\begin{align}\label{eq:12}K_{3}(\omega)&=2\omega K_{3-1}(\omega)-K_{3-2}(\omega) \\ &=2\omega(2\omega^{2}-1)-\omega=4\omega^{3}-2\omega-\omega=4\omega^{3}-3\omega\end{align} \nonumber \]

    2.5.3 Розгляд пропускної здатності

    На кутовій частоті фільтра Чебишева реакція передачі знижується на величину пульсації. Це можна побачити на малюнку 2.4.2. Однак пропускна здатність фільтра зазвичай визначається з точки зору його\(1\text{ dB}\) або\(3\text{ dB}\) пропускної здатності, при якій реакція передачі знижується\(1\text{ dB}\) або\(3\text{ dB}\), відповідно, від його максимальної реакції. Радіанові частоти, при яких відгуки різних порядків фільтрів Чебишева знаходяться\(1\text{ dB}\) вниз і\(3\text{ dB}\) вниз, наведені в табл\(\PageIndex{1}\). За допомогою частотного масштабування відгуку Чебишева фільтр може бути розрахований на задану\(1\text{ dB}\) або\(3\text{ dB}\) смугу пропускання.