2.4: Максимально плоске (Баттерворт) наближення низьких частот

Фільтри Баттерворта мають максимально рівний відгук (рис.\(\PageIndex{1}\)), що в часовій області відповідає критично затухаючій системі.

2.4.1 Дизайн фільтра Баттерворта

Фільтри Баттерворта мають функцію перенесення

\[\label{eq:1}T(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{k}{s^{n}+b_{n-1}s^{n-1}+\cdots +b_{1}s+b_{0}} \]

Це всеполюсна реакція. Характерним многочленом фільтра Баттерворта є

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Максимально плоский, або Баттерворт, наближення фільтра низьких частот для різних замовлень\(n\), фільтра.

\(n\)	Фактори\(B_{n}(s)\)
\ (n\) ">\(1\)	\ (B_ {n} (s)\)» клас = "lt-eng-46098">\((s + 1)\)
\ (n\) ">\(2\)	\ (B_ {n} (s)\)» клас = "lt-eng-46098">\((s^{2} + 1.4142s + 1)\)
\ (n\) ">\(3\)	\ (B_ {n} (s)\)» клас = "lt-eng-46098">\((s + 1)(s^{2} + s + 1)\)
\ (n\) ">\(4\)	\ (B_ {n} (s)\)» клас = "lt-eng-46098">\((s^{2} + 0.7654s + 1)(s^{2} + 1.8478s + 1)\)
\ (n\) ">\(5\)	\ (B_ {n} (s)\)» клас = "lt-eng-46098">\((s + 1)(s^{2} + 0.6180s + 1)(s^{2} + 1.6180s + 1)\)
\ (n\) ">\(6\)	\ (B_ {n} (s)\)» клас = "lt-eng-46098">\((s^{2} + 0.5176s + 1)(s^{2} + 1.4142s + 1)(s^{2} + 1.9319s + 1)\)
\ (n\) ">\(7\)	\ (B_ {n} (s)\)» клас = "lt-eng-46098">\((s + 1)(s^{2} + 0.4450s + 1)(s^{2} + 1.2470s + 1)(s^{2} + 1.8019s + 1)\)
\ (n\) ">\(8\)	\ (B_ {n} (s)\)» клас = "lt-eng-46098">\((s^{2} + 0.3902 + 1)(s^{2} + 1.1111s + 1)(s^{2} + 1.6629s + 1)(s^{2} + 1.9616s + 1)\)

Таблиця\(\PageIndex{1}\): Фактори\(B_{n}(s)\) многочлена.

\[\label{eq:2}|K(s)|^{2}=|s^{2n}|=\omega^{2n} \]

так як\(s =\jmath\omega\) і\(n\) де - порядок функції. Таким чином, коефіцієнт передачі дорівнює

\[\label{eq:3}|T(s)|^{2}=\frac{1}{1+|K(s)|^{2}}=\frac{1}{1+|s^{2n}|}=\frac{1}{1+\omega^{2n}} \]

який часто пишуть як

\[\label{eq:4}|T(s)|^{2}=\frac{1}{1+|K(s)|^{2}}=\frac{1}{B_{n}(s)B_{n}(-s)} \]

У спільноті фільтрів\(B_{n}(s)\) називається поліном Баттерворта і має загальну форму

\[\label{eq:5}B_{n}(s)=\left\{\begin{array}{ll}{\prod_{k=1}^{n/2}\left[s^{2}-2s\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\pi\right)+1\right]}&{\text{for }n\text{ even}}\\{(s+1)\prod_{k=1}^{(n-1)/2}\left[s^{2}-2s\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\pi\right)+1\right]}&{\text{for }n\text{ odd}}\end{array}\right. \]

\(B_{n}(s)\)наведено в факторизованому вигляді в табл\(\PageIndex{1}\). Подальша факторизація факторів другого порядку призводить до утворення складних сполучених коренів, тому їх, як правило, залишають у показаному вигляді.

Інсайт отримують шляхом вивчення характеристичного полінома для реальної радіанової частоти,\(\omega\) (де\(s =\jmath\omega\)), в наступних точках частоти:

\[\begin{align}\label{eq:6}\text{at }\omega &=0\quad \to\quad |T(0)|^{2}=\frac{1}{1+0}=1 \\ \label{eq:7}\text{at }\omega&=1\quad\to\quad |T(1)|^{2}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\end{align} \]

Таким чином, реакція передачі фільтра знаходиться на половині потужності на кутовій частоті\(\omega = 1\). Інше спостереження полягає в тому, що коефіцієнт пропускання при\(\omega = 0\) і\(\omega = 1\) не залежить від ступеня характерного полінома. Це показано на малюнку\(\PageIndex{1}\), де відповіді фільтрів Баттерворта побудовані для трьох різних порядків.

2.4.2 Побудова передавальної функції

Часто характерна функція,\(K\), задається через змінну\(\omega\), і для цілей синтезу відповідь повинна бути перетворена назад в\(s\) область. Як приклад розглянемо максимально плоску функцію третього порядку з характеристичним поліномом, рівним\(\omega^{3}\) (з Рівняння\(\eqref{eq:3}\)):

\[\label{eq:8}K(\omega)=\omega^{3}\quad\text{and}\quad |T(\omega)|^{2}=\frac{1}{1+\omega^{6}} \]

(Зверніть увагу, що тут перші шість похідних\(|K(s)|^{2}\) по відношенню до\(s\) дорівнює нулю в\(s = 0\).) Отже, з Рівняння (2.2.7)

\[\label{eq:9}|\Gamma_{1}(\omega)|^{2}=1-\frac{1}{1+\omega^{6}}=\frac{\omega^{6}}{1+\omega^{6}} \]

На реальних частотах (тобто частотах, що лежать на уявній осі в\(s\) площині)

\[\label{eq:10}s=\jmath\omega,\quad\text{so}\quad\omega=s/\jmath=-\jmath s \]

Таким чином, в\(s\) області коефіцієнт відбиття стає

\[\label{eq:11}|\Gamma_{1}(\jmath\omega)|^{2}=|\Gamma_{1}(\jmath(-\jmath s))|^{2}=|\Gamma_{1}(s)|^{2}=\frac{(-\jmath s)^{6}}{1+(-\jmath s)^{6}} \]

Тобто,

\[\label{eq:12}|\Gamma_{1}(s)|^{2}=\frac{-s^{6}}{1-s^{6}}=\Gamma_{1}(s)\Gamma_{1}(-s) \]

Факторинг прибутковості багаточленів знаменника

\[\label{eq:13}1-s^{6}=(1-s)(1+s)(s^{2}+s+1)(s^{2}-s+1) \]

Вибравши ті фактори, що мають коріння тільки в лівій половині площини (необхідні для реалізованої мережі), отримують нулі знаменника. Тепер чисельник легко\(|\Gamma_{1}(s)|^{2}\) враховується, і оскільки це третій порядок, він має лише три нулі відображення при постійному струмі. Отримана функція

\[\label{eq:14}\Gamma_{1}(s)=\frac{s^{3}}{(s+1)(s^{2}+s+1)} \]

і так

\[\label{eq:15}T(s)=\frac{1}{(s+1)(s^{2}+s+1)} \]

Цей приклад ілюструє, як\(\Gamma_{1}(s)\) і\(T(s)\) можна отримати з\(K(s)\). Дана процедура узагальнена в наступному розділі.

2.4.3 Наближення відображення\(n\) порядку TH-порядку

Дотримуючись процедури, викладеної в попередньому розділі, узагальнення призводить до відповіді Баттерворта\(n\) порядку:

\[\begin{align}|\Gamma_{1}(s)|^{2}&=\Gamma_{1}(s)\cdot\Gamma_{1}(-s)\nonumber \\ \label{eq:16}&=\frac{(-s^{2})^{n}}{1+(-s^{2})^{n}}=\frac{(-s^{2})^{n}}{\prod_{i=1}^{n}(s-s_{i})\cdot\prod_{j=n+1}^{2n}(s-s_{j})}\end{align} \]

Так\(|\Gamma_{1}(s)|^{2}\) має\(n\) коріння (це\(s_{i}\) s), що лежать у лівій половині\(s\) площині, і\(n\) коріння (\(s_{j}\)s), що лежать у правій половині\(s\) площини. Зверніть увагу, що\(j\) використовується як індекс і\(\jmath\) (\(\jmath\)без крапки) представляє\(\sqrt{-1}\). Доцільно згрупувати всі коріння лівої половини площини разом (ланцюг не міг бути синтезований, якби був корінь правої половини площини) так, щоб

\[\label{eq:17}\Gamma_{1}(s)=\frac{(-s)^{n}}{\prod_{i=1}^{n}(s-s_{i})} \]

Розв'язування для коренів знаменника Рівняння\(\eqref{eq:16}\) (тобто знаходження коренів\(1 +(-s^{2})^{n} = 0\)) дає наступні корені в лівій половині\(s\) площини:

\[\label{eq:18}s_{i}=\exp\left\{\jmath (2i-1+n)\frac{\pi}{2n}\right\}\quad i=1,2,\ldots ,n \]

де\(\exp (\jmath\theta) = \cos (\theta) + \jmath\sin (\theta)\).

Приклад\(\PageIndex{1}\): Reflection Coefficient Derivation for Butterworth Filter

Розробити коефіцієнт відбиття від коренів прототипу фільтра нижніх\((n = 3)\) частот Баттерворта третього порядку.

Рішення

З\(\eqref{eq:18}\) Рівняння три корені

\[\begin{align}\label{eq:19}s_{1}&=\exp\left\{\jmath(2\times 1-1+3)\frac{\pi}{2\times 3}\right\}=\exp\left\{\jmath\frac{2}{3}\pi\right\} \\ \label{eq:20}s_{2}&=\exp\left\{\jmath(2\times 2-1+3)\frac{\pi}{2\times 3}\right\}=\exp\left\{\jmath\:\pi\right\} \\ \label{eq:21}s_{3}&=\exp\left\{\jmath(2\times 3-1+3)\frac{\pi}{2\times 3}\right\}=\exp\left\{\jmath\frac{4}{3}\pi\right\}\end{align} \]

і вхідний коефіцієнт відбиття фільтра, нормований до\(1\:\Omega\) дорівнює

\[\label{eq:22}\Gamma_{1}(s)=\frac{s^{3}}{\left(s+\frac{1}{2}-\jmath\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(s+1)\left(s+\frac{1}{2}+\jmath\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}=\frac{s^{3}}{(s+1)(s^{2}+s+1)} \]

Це те саме, що і Рівняння\(\eqref{eq:14}\).

2.4.4 Розгляд пропускної здатності

На кутовій частоті відгуку Баттерворта, тобто в\(1\text{ rad/s}\), відгук передачі\(3\text{ dB}\) знижується від його максимальної реакції передачі.

Порядок,\(n\)
\ (n\) ">\(n=3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)	\(10\)
\ (n\) ">\(0.798\text{ rad/s}\)	\(0.844\)	\(0.873\)	\(0.901\)	\(0.908\)	\(0.919\)	\(0.928\)	\(0.935\)

Таблиця\(\PageIndex{2}\): Радіанові частоти, при яких реакція фільтра Баттерворта\(1\text{ dB}\) знижується для кутової частоти\(f_{0} = 0.1592\text{ Hz}\) (\(\omega_{0} = 1\text{ rad/s}\)). \(f_{0}\)У передачі реакція вниз\(3\text{ dB}\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Відгуки фільтра низьких частот Чебишева. У децибелах пульсація є\(R_{\text{dB}} = −10 \log[1/(1 + \varepsilon^{2})] = 10 \log(1 + \varepsilon^{2})\),\(\varepsilon\) називається коефіцієнтом пульсації.

Іноді мікрохвильові фільтри призначені для того, щоб мати\(1\text{ dB}\) пропускну здатність. Радіанові частоти, на яких\(1\text{ dB}\) знижуються реакції різних порядків фільтрів Баттерворта, наведені в табл\(\PageIndex{2}\). За допомогою частотного масштабування відгуку Баттерворта фільтр може бути розроблений для\(1\text{ dB}\) певної смуги пропускання.