2.3: Прототип фільтра низьких частот

Last updated
Save as PDF

Page ID: 32411

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Більшість конструкцій фільтрів заснована на синтезі еквівалента фільтра низьких частот, який називається прототипом нижніх частот. Потім перетворення використовуються для корекції фактичного опору джерела та навантаження, діапазону частот та бажаного типу фільтра, наприклад, високочастотного або смугового. Ідеальний низькочастотний відгук показаний на малюнку\(\PageIndex{1}\) (а), який показує коефіцієнт передачі\(1\) до нормованої частоти\(1\text{ rad/sec}\). Цей тип відповіді визначає те, що називається фільтром цегляної стіни, який, на жаль, не може бути фізично реалізований. Натомість відповідь наближається і задається через шаблон відповіді (див. Рис.\(\PageIndex{1}\) (b)).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Відповідь фільтра низьких частот.

Шаблон визначає характеристику смуги пропускання, яка знаходиться між частотами\(\beta_{1}\) і\(\beta_{2}\) на частотах нижче кутової радіан (at\(\omega = 1\)) і\(\beta_{3}\) нижче радіан частоти\(\omega′ > 1\). Фільтр низьких частот важче реалізувати, чим ближче вказана реакція до ідеальної реакції, показаної на малюнку\(\PageIndex{1}\) (а), тобто коли

\[\label{eq:1}(\beta_{2}-\beta_{1})\to 0,\quad\beta_{3}\to 0,\quad\text{and}\quad (\omega '-1)\to 0 \]

Кілька поліномів мають особливо цікаві характеристики, які відповідають вимогам шаблону відповіді. Спочатку може здатися дивним, що поліноміальні функції можуть дати близькі до ідеальних реакцій фільтра. Однак, як буде видно, в цих многочленах є щось особливе: вони є природними рішеннями екстремальних умов. Наприклад, поліном Баттерворта\(n\) th-го порядку має спеціальну властивість, що перші\(n\) похідні при\(s = 0\) дорівнюють нулю. Інші поліноми також мають екстремальні властивості, а фільтри, які синтезуються з їх допомогою, також мають екстремальні властивості. Так само як і максимально плоска властивість, що виникає з поліномів Баттерворта, відгуки фільтрів, отримані за допомогою поліномів Чебишева, мають найкрутіші спідниці (тобто найшвидші переходи з частотної області, де сигнали передаються в область, де вони блокуються). Зазвичай саме один з таких крайніх випадків є найбільш бажаним.

Впорядкування процедури синтезу фільтрів отримано шляхом першого фокусування на розробці нормованих фільтрів нижніх частот, що мають\(1\text{ rad/s}\) кутову частоту та\(1\:\Omega\) опорний імпеданс. Перетворення перетворюють прототип фільтра низьких частот в інший фільтр, який має бажану відповідь. Ці перетворення породжують симетричні відповіді.