2.2: Одномісні та подвійно припинені мережі

Фільтри, як правило, є двопортовими мережами і вони забезпечують максимальну передачу потужності від джерела до навантаження в заданому діапазоні частот, відхиляючи передачу сигналів на інших частотах. Дві можливі фільтруючі мережі показані на малюнку\(\PageIndex{1}\). Мережа на малюнку\(\PageIndex{1}\) (а) відома як подвійно завершена мережа, оскільки обидва порти резистивно припинені.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Припинені мережі.

Мережа на рис.\(\PageIndex{1}\) (b) називається однозавершеною мережею, так як в резисторі закінчується тільки один порт. Подвійно припинена мережа набагато ближче до типу мережі, необхідної при РФ, де навантаження та імпеданси джерела кінцеві. Одностороння мережа застосовується в деяких програмах інтегральних схем РФ, де задіяно дуже мало радіочастотної потужності і часто, коли використовується зворотний зв'язок. У таких випадках вихід підсилювача RFIC може наблизити ідеальне джерело напруги, оскільки еквівалентний імпеданс джерела Тевеніна може бути незначним. Більшість синтезу одиночно завершених мереж фільтрів використовує аналогічну процедуру, що представлена тут для подвійно завершених фільтрів.

2.2.1 Подвійні припинені мережі

Встановлена процедура синтезу фільтрів для подвійно припинених фільтруючих мереж зосереджена на реалізації вхідного коефіцієнта відбиття. Для фільтра без втрат квадрат величини коефіцієнта відбиття дорівнює одному мінус квадрат вносимих втрат, і це походження цього методу, який називається методом вставних втрат.

Вхідний коефіцієнт відбиття подвійно завершеної мережі на малюнку\(\PageIndex{1}\) (а) дорівнює

\[\label{eq:1}\Gamma_{1}(s)=\frac{Z_{\text{in, 1}}(s)-R_{S}}{Z_{\text{in, 1}}(s)+R_{S}} \]

де опорний імпеданс - опір джерела, RS, а s - змінна Лапласа. У смузі пропускання фільтра коефіцієнт відбиття дорівнює приблизно нулю.

Є кілька інших параметрів, які використовуються в проектуванні фільтрів, і вони будуть введені зараз. Коефіцієнт потужності перетворювача (TPR) визначається як

\[\begin{align}\text{TPR}&=\frac{\text{Maximum power available from the source}}{\text{Power absorbed by the load}}\nonumber \\ \label{eq:2}&=\frac{\frac{1}{2}(V_{g}(s)/2)^{2}/R_{S}}{\frac{1}{2}V_{2}^{2}(s)/R_{L}}=\left|\frac{1}{2}\sqrt{\frac{R_{L}}{R_{S}}}\frac{V_{g}(s)}{V_{2}(s)}\right|^{2}\end{align} \]

Коефіцієнт передачі\(T(s)\),, мережі дорівнює

\[\label{eq:3}T(s)=\frac{1}{\sqrt{\text{TPR}(s)}}=2\sqrt{\frac{R_{S}}{R_{L}}}\frac{V_{2}(s)}{V_{g}(s)} \]

ЯКЩО фільтр без втрат, втрата вставки (IL) (або функція перетворювача)

\[\label{eq:4}\text{IL}(s)=\text{TPR}(s)=[1/T(s)]^{2} \]

Наступним кроком розвитку процедури синтезу фільтрів є введення характеристичної функції, визначеної як відношення коефіцієнтів відбиття і пропускання:

\[\label{eq:5}K(s)=\frac{\Gamma_{1}(s)}{T(s)}=\frac{N(s)}{D(s)} \]

де\(N\) - функція чисельника і\(D\) є функцією знаменника. В ідеалі фільтруюча мережа без втрат і так, з принципу енергозбереження, сума величин в квадраті коефіцієнтів передачі і відбиття повинна бути одиницею:

\[\label{eq:6}|T(s)|^{2}+|\Gamma_{1}(s)|^{2}=1 \]

Тобто,

\[\label{eq:7}|T(s)|^{2}=1-|\Gamma_{1}(s)|^{2} \]

Розділення обох сторін рівняння\(\eqref{eq:7}\) на\(|T(s)|^{2}\) результати

\[\label{eq:8}1=\frac{1}{|T(s)|^{2}}-\frac{|\Gamma_{1}(s)|^{2}}{|T(s)|^{2}} \]

або

\[\label{eq:9}1=|\text{IL}(s)|-|K(s)|^{2} \]

Перевпорядкування рівняння\(\eqref{eq:9}\) призводить до

\[\label{eq:10}|\text{IL}(s)|=1+|K(s)|^{2} \]

і так

\[\label{eq:11}|T(s)|^{2}=\frac{1}{1+|K(s)|^{2}} \]

і

\[\label{eq:12}|\Gamma_{1}(s)|^{2}=\frac{|K(s)|^{2}}{1+|K(s)|^{2}} \]

У вищесказаному видно, що і коефіцієнти відображення, і передачі є функціями характерної функції двопортової мережі. Була досягнута віха. У радіочастотному фільтрі найбільш важливими є частотно-залежні втрати або коефіцієнт передачі, оскільки вони безпосередньо пов'язані з потоком потужності. Рівняння\(\eqref{eq:11}\) показує, що це може бути виражено через іншу функцію\(K(s)\), яка з Рівняння\(\eqref{eq:5}\) може бути виражена як відношення\(N(s)\) і\(D(s)\). Для кусково-елементних схем,\(D(s)\) є\(N(s)\) і поліноми.

2.2.2 Реакція фільтра низьких частот

Як приклад взаємозв'язку різних відповідей фільтра розглянемо відповіді фільтра нижніх частот без втрат, показані на малюнку\(\PageIndex{1}\). Цей фільтр має низькочастотну характеристику з кутовою частотою, вираженою в радіанах як\(\omega_{c} = 1\text{ rad/s}\). В ідеалі\(T(s)\) для\(s\leq\jmath\) (примітки\(s =\jmath\omega\)) буде один, а для\(s>\jmath\),\(T(s)\) буде нуль. Неможливо реалізувати таку ідеальну реакцію, і відповідь, показана на малюнку\(\PageIndex{2}\) (а), характерна для того, що може бути досягнуто. Коефіцієнт відбиття показаний на малюнку\(\PageIndex{2}\) (b), при цьому характерна функція\(K(s)\) показана на малюнку\(\PageIndex{2}\) (в). Якщо\(|K(s)|^{2}\) виражається у вигляді співвідношення двох многочленів (тобто як\(N(s)/D(s)\)), то з малюнка\(\PageIndex{2}\) (e і f) видно, що нулі коефіцієнта відбиття\(|\Gamma_{1}(s)|^{2}\), також є нулями\(N(s)\). Також спостерігається, що нулі коефіцієнта передачі також є нулями\(D(s)\), як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\) (а і в).

Першою метою в проектуванні фільтра з кусковим елементом є розробка передавальної функції мережі в частотній області або, що еквівалентно,\(s\) області. \(^{1}\)Функція передачі вхід-виводу узагальненого фільтра на\(\PageIndex{3}\) рис.

Рисунок\(\PageIndex{2}\): Приклад фільтра низьких частот з точки зору різних відповідей: (а) коефіцієнт пропускання; (b) коефіцієнт відбиття; і (c) характеристична функція відгуку. Детальні відповіді наведені в (d), (e) і (f) відповідно.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Загальний фільтр.

\[\label{eq:13}T(s)=Y(s)/X(s) \]

і процедура проектування полягає у співвідношенні цієї відповіді з відповіддю, визначеною співвідношенням двох поліномів:

\[\label{eq:14}T(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{a_{m}s^{m}+a_{m-1}s^{m-1}+\cdots +a_{1}s+a_{0}}{s^{n}+b_{n-1}s^{n-1}+\cdots +b_{1}s+b_{0}} \]

Тут\(N\) позначається чисельник і\(D\) знаменник, і це не те саме, що в Рівнянні\(\eqref{eq:5}\) (де вони були просто мітками для чисельника і знаменника). Відповідь фільтра за допомогою опису полюс-нуль може бути синтезована, тому процес проектування починається з перезапису Рівняння\(\eqref{eq:14}\) явно через\(z_{m}\) нулі та полюси\(p_{n}\):

\[\label{eq:15}T(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{a_{m}(s+z_{1})(s+z_{2})\cdots (s+z_{m-1})(s+z_{m})}{(s+p_{1})(s+p_{2})\cdots (s+p_{n-1})(s+p_{n})} \]

Так як інтерес представляє тільки АЧХ\(s =\jmath\omega\), тим самим спрощуючи аналіз для синусоїдальних сигналів.

Полюси і нулі можуть бути комплексними числами і можуть бути побудовані на комплексній\(s\) площині. Умови, накладені реалізованими схемами, вимагають, щоб\(D(s)\) бути поліном Гурвіца,\(^{2}\) який гарантує, що його полюси розташовані в лівій половині площини. \(N(s)\)визначає розташування нулів передачі фільтра, а порядок\(N(s)\) не може бути більше порядку\(D(s)\). Тобто\(n\geq m\) так, щоб фільтр мав кінцеву або нульову характеристику на нескінченній частоті

Дві стратегії можуть бути використані для отримання реакції фільтра. Перший полягає в тому, щоб вивести\(N(s)\) многочлени і\(D(s)\) в Рівнянні\(\eqref{eq:14}\). Це здається відкритою проблемою, але в 1950-х і 1960-х роках було виявлено, що в звичайних ситуаціях існує лише кілька типів корисних відповідей, які описуються кількома поліномами, включаючи поліноми Баттерворта, Бесселя, Чебишева та Кауера.

Виноски

[1] Обережно використовується термінологія, яка\(s\) може бути складною з деякими типами фільтрів, але ці фільтри реалізуються за допомогою цифрової обробки сигналів.

[2] Многочлен Гурвіца - це многочлен, коефіцієнти якого є додатними дійсними числами і чиї нулі розташовані в лівій половині комплексної\(s\) площини.