6.3: Паралельний пластинчастий хвилевід

Цей розділ виводить поширюються поля ЕМ-діапазону для паралельно-пластинчастого хвилеводу, показаного на малюнку\(\PageIndex{1}\). Паралельно-пластинчастий хвилевід, показаний на малюнку\(\PageIndex{1}\) (а), має провідні площини вгорі та внизу, які (як наближення) нескінченно простягаються у\(x\) напрямку. Електромагнітні поля, введені між пластинами, скажімо синусоїдально змінним генератором напруги по пластинам, будуть керуватися зарядами і струмами, індукованими в провідниках.

Паралельна пластинчаста хвилеводна структура зустрічається у багатьох плоских ланцюгах, таких як між землею та силовими площинами друкованих плат. Розуміння поширення ЕМ, підтримуваного паралельними пластинчастими хвилеводами, дозволяє зробити вибір дизайну, який пригнічує небажані режими поширення.

6.3.1 Режим ТЕА

У поперечному режимі ЕМ (ТЕМ) всі компоненти\(H\) поля\(E\) і знаходяться в площині, поперечній напрямку поширення, тобто\(E_{z} =0= H_{z}\). Таким чином, Рівняння (6.2.26) вимагає, щоб\(E_{x},\: E_{y},\: H_{x},\) і\(H_{y}\) не може змінюватися в залежності від положення в поперечній площині (тобто щодо\(x\) і\(y\)). При цьому\(E_{x},\: E_{y},\: H_{x},\) і\(H_{y}\) повинні бути постійними між пластинами. Крім того, граничні умови вимагають, що\(H_{y} = 0\) і\(E_{x} = 0\) на провідниках. Так що в режимі TEM паралельно-пластинчасті, тільки\(E_{y}\) і\(H_{x}\) існують, і вони постійні. Рівняння

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Паралельно-пластинчастий хвилевід.

Рисунок\(\PageIndex{2}\): Режими нижчого порядку підтримуються комбінаціями електричних і магнітних стінок для ТЕА\((=\text{TM}_{0} = \text{TE}_{0})\)\(\text{TM}_{1}\), і\(\text{TE}_{1}\) режимів.

(6.2.25) призводить до

\[\label{eq:1}H_{x}=\frac{\gamma E_{y}}{\jmath\omega\mu}=\pm\frac{\jmath\omega\sqrt{\mu\varepsilon}}{\jmath\omega\mu}E_{y}=\pm\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}E_{y}=\pm\frac{1}{\eta}E_{y} \]

де знак плюса описує поля, що рухаються вперед (поширюються в\(+z\) напрямку), а знак мінус описує поля, що рухаються назад (поширюються в\(−z\) напрямку). Величина\(\eta = \sqrt{\mu/\varepsilon}\) називається хвильовим імпедансом, це внутрішній імпеданс середовища між паралельними пластинами. Ця варіація поля показана ліворуч на малюнку\(\PageIndex{2}\) (а). Режим TEM існує аж до постійного струму.

Для визначення характеристичного опору паралельно-пластинчастого хвилеводу спочатку обчислити напругу верхньої пластини по відношенню до нижньої пластини. Ця напруга є інтегралом електричного поля між пластинами:

\[\label{eq:2}V=-\int_{y=0}^{d}E_{y}\text{e}^{-\gamma z}dy=E_{y}d\text{e}^{-\gamma z} \]

так як\(E_{y}\) є постійною. Струм на верхній пластині в\(z\) напрямку отримують шляхом інтеграції поверхневої щільності струму в\(x\) напрямку. Якщо припустити, що пластини мають ширину\(W\) в\(x\) напрямку, то струм на верхній пластині дорівнює

\[\label{eq:3}I=-\int_{x=0}^{W}J_{s}\cdot\hat{z}dx=H_{x}W\text{e}^{-\jmath z} \]

так як\(E_{y}\) є постійною. З точки зору напруги та струму (а отже, трактування паралельного пластинчастого хвилеводу як лінії електропередачі) характеристичний імпеданс режиму ТЕМ є

\[\label{eq:4}Z_{0}=\frac{V}{I}=\frac{E_{y}d}{H_{x}W}=\frac{\eta d}{W} \]

\(\eta\)Ось внутрішній імпеданс режиму ТЕМ в середовищі. Оскільки ми розглядаємо режим TEM, хвильовий опір режиму TEM - це лише внутрішній імпеданс, тобто

\[\label{eq:5}Z_{\text{TEM}}=E_{y}/H_{x}=Z_{0}|_{\text{free-space}}=\eta \]

\(\eta_{0} =\sqrt{\mu_{0}/\varepsilon_{0}}\)Будучи імпедансом вільного простору, характеристичний опір може бути записаний

\[\label{eq:6}Z_{0}=\frac{\eta_{0}d}{W}\sqrt{\frac{\mu_{r}}{\varepsilon_{r}}}\quad\text{and}\quad Z_{\text{TEM}}=\eta=\eta_{0}\sqrt{\frac{\mu_{r}}{\varepsilon_{r}}} \]

Фазова швидкість\((= \omega/\beta)\) - це всього лише швидкість світла в середовищі:

\[\label{eq:7}v_{p}=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}=\frac{c}{\sqrt{\mu_{r}\varepsilon_{r}}} \]

Формули загасання розроблені в [1] і ослаблення провідника

\[\label{eq:8}\alpha_{c}=\frac{R_{s}}{\eta d}\quad\text{(with SI units of Np/m)} \]

де\(R_{s} = 1/(\sigma\delta_{s})\) - поверхневий опір провідника,\(\sigma\) - провідність провідника, і\(\delta_{s}\) - глибина обшивки в провіднику. Затухання внаслідок діелектричних втрат становить

\[\label{eq:9}\alpha_{d}=\frac{k^{2}\tan\delta}{2\beta}\quad\text{(with SI units of Np/m)} \]

6.3.2 Режим роботи ТМ

Поперечний магнітний режим (ТМ) характеризується\(H_{z} = 0\). Ще одне обмеження, яке буде використовуватися тут при розробці рівнянь поля, полягає в тому, що немає варіації полів у\(x\) напрямку. Вивчаючи Рівняння (6.2.25) єдиними компонентами поля, які могли б існувати, є\(E_{y},\: E_{z},\) і\(H_{x}\). Скрізь\(E_{y}\) перпендикулярно, і\(H_{y}\) паралельно, до електричних стін, тому граничні умови виконуються для\(E_{y}\) і\(H_{x}\). \(E_{z}\)будуть паралельні електричним стінам біля стін, тому граничні умови повинні бути застосовані при виведенні\(E_{z}\).

Граничні умови полягають в тому, що\(E\) поле, паралельне провідним стінкам, дорівнює нулю. Враховуючи\(E_{z}\) лише, рівняння (6.2.18) стає

\[\label{eq:10}\frac{d^{2}E_{z}}{dy^{2}}=-k_{c}^{2}E_{z} \]

Рішення рівняння\(\eqref{eq:10}\) є

\[\label{eq:11}E_{z}=[E_{0}\sin(k_{c}y)+E_{1}\cos(k_{c}y)]\text{e}^{-\gamma z} \]

Для знаходження коефіцієнтів\(E_{0}\) і\(E_{1}\) граничних умов застосовуються так, що\(E_{z}\) дорівнює нулю при\(y = 0\) і\(y = d\) (так як\(E\) поле, паралельне провідникам, повинно бути нульовим), тобто

\[\label{eq:12}E_{z}|_{y=0}=0=E_{1}\quad\text{and}\quad E_{z}|_{y=d}=0=E_{0}\sin(k_{c}d) \]

Для цього потрібно\(\sin(k_{c}d)=0\), і, таким чином, вимагаючи наявності дискретних значень\(k_{c}\):

\[\label{eq:13}k_{c}=m\pi/d\quad m=1,2,3,\ldots \]

(Зауважте, що\(m = 0\) це також рішення, але вимагає окремого виведення, див. Короткий опис цього розділу.) Кожне значення\(k_{c}\) визначає інший режим і\(m\) є індексом режиму. \(m\)The mode є\(\text{TM}_{m}\) режимом і\(m\) вказує кількість напівсинусоїдальних варіацій полів у\(y\) напрямку. \(\text{TM}_{m}\)Режим поширюється, якщо довжина хвилі сигналу така\(\lambda ≥\lambda_{c}\), що, де\(\lambda_{c}\) критична довжина хвилі\(m\) го режиму

Підставляючи наведені вище результати та припущення (наприклад,\(\partial/\partial x = 0\)) у Рівняння (6.2.25),

\[\begin{align}\label{eq:14}H_{z}&=0\: E_{x}=0\: H_{y}=0 \\ \label{eq:15}E_{z}&=E_{0}\sin(k_{c}y)\text{e}^{-\gamma z} \\ \label{eq:16}E_{y}&=-\frac{\gamma}{k_{c}^{2}}\frac{dE_{z}}{dy}=-\frac{\gamma}{k_{c}}E_{0}\cos(k_{c}y)\text{e}^{-\gamma z} \\ \label{eq:17}H_{x}&=\frac{\jmath\omega\varepsilon}{k_{c}^{2}}\frac{dE_{z}}{dy}=\frac{\jmath\omega\varepsilon}{k_{c}}E_{0}\cos(k_{c}y)\text{e}^{-\gamma z}\end{align} \]

Це повні польові описи паралельно-пластинчастих хвилеводних режимів ТМ з нульовою варіацією в\(x\) напрямку. Нагадаємо, що хвильовий номер\(k =\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\).

Існує нескінченна кількість режимів ТМ\(m\), ідентифікованих індексом, який визначає номер хвилі зрізу\(k_{c}\), конкретного режиму. Константа поширення\(m\) го режиму, тобто\(\text{TM}_{m}\) режиму, становить

\[\label{eq:18}\gamma=\sqrt{k_{c}^{2}-k^{2}}=\sqrt{(m\pi/d)^{2}-\omega^{2}\mu\varepsilon} \]

Розмноження можливе лише в тому випадку, якщо\(\gamma\) має уявну складову. При цьому в середовищі без втрат\(\gamma = \jmath\beta\) і\(\beta =\sqrt{k^{2}-k_{c}^{2}}\). Частота зрізу, нижче якої поширення неможливо

\[\label{eq:19}f_{c}=\frac{1}{2\pi}\frac{k_{c}}{\sqrt{\mu\varepsilon}}=\frac{1}{2\pi}\frac{m\pi}{d\sqrt{\mu\varepsilon}}=\frac{m\nu}{2d} \]

де\(\nu = 1/\sqrt{\mu\varepsilon}\) - швидкість режиму ТЕМ в середовищі. Довжина хвилі зрізу також може бути визначена як

\[\label{eq:20}\lambda_{c}=\frac{\nu}{f_{c}}=\frac{2d}{m} \]

де\(\nu\) - швидкість світла в середовищі. Довжина хвилі\(\text{TM}_{m}\) режиму, на певній частоті, є напрямною довжиною хвилі

\[\label{eq:21}\lambda_{g}=\frac{2\pi}{\beta}=\frac{\lambda}{\sqrt{1-(f_{c}/f)^{2}}} \]

де\(\lambda\) - довжина хвилі режиму ТЕМ в середовищі:\(\lambda = \nu /f\) (так\(\lambda_{g} =\lambda\) коли\(k_{c} = 0\)). Фазова швидкість режимів залежить від показника режиму\(m\) через частоту зрізу:

\[\label{eq:22}v_{p}=\frac{\omega}{\beta}=\frac{\nu}{\sqrt{1-(f_{c}/f)^{2}}} \]

і групова швидкість

\[\label{eq:23}v_{g}=\frac{d\omega}{d\beta}=\nu\sqrt{1-(f_{c}/f)^{2}} \]

Фазова швидкість режиму TM більша\(v_{p}\), ніж у\(\nu\) той час як групова швидкість\(v_{g}\), повільніше, ніж\(\nu\). Групова швидкість - це швидкість, з якою передається енергія і, таким чином, ніколи не може бути швидшою, ніж швидкість світла,\(c\). Швидкість фази, однак, може бути більше\(c\). Варіація поля режиму ТМ показана праворуч на малюнку\(\PageIndex{2}\).

Хвильовий опір\(\text{TM}_{m}\) режиму дорівнює

\[\label{eq:24}Z_{\text{TM}}=-E_{y}/H_{x}=\frac{\beta}{\omega\varepsilon}=\frac{\beta\eta}{k} \]

Формули загасання розроблені в [1] і ослаблення провідника

\[\label{eq:25}\alpha_{c}=\frac{2kR_{s}}{\beta\eta d}\quad\text{(with SI units of Np/m)} \]

де\(R_{s} = 1/(\sigma\delta_{s})\) - поверхневий опір провідника,\(\sigma\) - провідність провідника, і\(\delta_{s}\) - глибина обшивки в провіднику. Затухання внаслідок діелектричних втрат становить

\[\label{eq:26}\alpha_{d}=\frac{k^{2}\tan\delta}{2\beta}\quad\text{(with SI units of Np/m)} \]

6.3.3 Режим TE

Поперечний електричний (ТЕ) режим характеризується\(E_{z}= 0\). Після тієї ж розробки, що і для режимів ТМ, поля\(\text{TE}_{n}\) mode з\(n\) варіаціями\(H_{z}\)

\[\begin{align}\label{eq:27}E_{z}&=0,\: E_{y}=0,\: H_{x}=0 \\ \label{eq:28}H_{z}&=H_{0}\cos(k_{c}y)\text{e}^{-\gamma z} \\ \label{eq:29}E_{x}&=\frac{\jmath\omega\mu}{k_{c}}H_{0}\sin(k_{c}y)\text{e}^{-\gamma z} \\ \label{eq:30}H_{y}&=\frac{\gamma}{k_{c}}H_{0}\sin(k_{c}y)\text{e}^{-\gamma z}\end{align} \]

Рівняння для\(k_{c},\: v_{p},\: v_{g},\: f_{c},\: \lambda_{c},\) та\(\lambda_{g}\)\(\text{TE}_{n}\) режиму такі ж, як і для\(\text{TM}_{m}\) режиму, розглянутого в попередньому розділі з заміною індексу режиму\(m\) на\(n\),\(n = 1, 2, 3,\ldots\). (Зауважте, що\(n = 0\) це також рішення, але вимагає окремого виведення, див. Короткий опис цього розділу.) Варіація поля режиму TE показана праворуч на малюнку\(\PageIndex{2}\).

Хвильовий опір режиму TE дорівнює

\[\label{eq:31}Z_{\text{TE}}=\frac{k\eta}{\beta} \]

Формули загасання розроблені в [1] і ослаблення провідника

\[\label{eq:32}\alpha_{c}=\frac{2k_{c}^{2}R_{s}}{k\beta\eta d}\quad\text{(with SI units of Np/m)} \]

де\(R_{s} = 1/(\sigma\delta_{s})\) поверхневий опір\(\eta\), провідника,\(\sigma\) - провідність провідника, і\(\delta_{s}\) глибина обшивки провідника. Затухання внаслідок діелектричних втрат становить

\[\label{eq:33}\alpha_{d}=\frac{k^{2}\tan\delta}{2\beta}\quad\text{(with SI units of Np/m)} \]

6.3.4 Резюме

Режим TEM (де\(k_{c} = 0\)) збігається з\(\text{TM}_{0}\) режимом і\(\text{TE}_{0}\) режимом. Тут виведення режимів TE і TM починалися з Equation (6.2.25) і були лише розв'язками для\(k_{c}\neq 0\). Розробка\(0th\) порядку TE і TM режимів вимагає виведення з Equation (6.2.26), але це було зроблено для режиму ТЕА і тому не повторювалося для\(\text{TM}_{0}\) режимів\(\text{TE}_{0}\) і.