10.3: Мережі перетворення імпедансу

Трансформатори та реактивні елементи, розглянуті в цьому розділі, можуть бути використані для перетворення рівнів імпедансу без втрат. це основний аспект проектування мережі.

10.3.1 Ідеальний трансформатор

Ідеальний трансформатор, показаний на малюнку 10.2.2, може бути використаний для узгодження навантаження з джерелом, якщо опір джерела та навантаження є опорами. Це буде показано, починаючи з конститутивних відносин трансформатора:

\[\label{eq:1}V_{1}=nV_{2}\quad\text{and}\quad I_{1}=-I_{2}/n \]

\(n\)Ось коефіцієнт трансформатора. Для дротяного трансформатора,\(n\) це відношення числа обмоток на первинній стороні, порт\(1\), до числа обмоток на вторинній стороні, порт\(2\). Таким чином, вхідний опір\(R_{\text{in}}\),, пов'язаний з опором навантаження,\(R_{L}\),,

\[\label{eq:2}R_{\text{in}}=\frac{V_{1}}{I_{1}}=-n^{2}\frac{V_{2}}{I_{2}}=n^{2}R_{L} \]

Проблема узгодження з чисто резистивним навантаженням та імпедансами джерела вирішується шляхом вибору відповідного коефіцієнта обмотки,\(n\). Однак проблеми лише з резистивом рідкісні на РФ, і тому слід використовувати інші узгоджувальні схеми.

10.3.2 Реактивний елемент серії A

Узгодження за допомогою згорнутих елементів ґрунтується на імпедансі та допуску трансформуючих властивостях послідовних та шунтуючих реактивних елементів. Навіть один реактивний елемент може досягти обмеженого узгодження імпедансу. Розглянемо серію реактивного елемента, показану на малюнку 10.2.3 (а). Тут реактивний елемент\(X_{S}\), знаходиться послідовно з опором\(R\). Шунтуючий еквівалент цієї мережі показаний на малюнку 10.2.3 (б) з сприйнятливістю шунта\(B\). У цьому перетворенні опір\(R\) був перетворений на опір\(R_{P}= 1/G\). Математика, що описує це перетворення, виглядає наступним чином. Вхідний допуск послідовного з'єднання (рис. 10.2.3 (а)) дорівнює

\[\label{eq:3}Y_{\text{in}}(\omega )=\frac{1}{Z_{\text{in}}(\omega )}=\frac{1}{R+\jmath X_{S}}=\frac{R}{R^{2}+X_{S}^{2}}-\jmath\frac{X_{S}}{R^{2}+X_{S}^{2}} \]

Таким чином, елементами еквівалентної шунтуючої мережі, рис. 10.2.3 (б), є

\[\label{eq:4}G=\frac{R}{R^{2}+X_{S}^{2}}\quad\text{and}\quad B=-\frac{X_{S}}{R^{2}+X_{S}^{2}} \]

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Перетворення імпедансу послідовним реактивним елементом: (а) резистор з послідовним конденсатором; (б) його еквівалентна шунтуюча схема; і (в)\(LC\) мережа.

«Опір» мережі\(R\), був перетворений на нову цінність,

\[\label{eq:5}R_{P}=G^{-1}=\frac{R^{2}+X_{S}^{2}}{R}>R \]

Це важливий початок узгодження, оскільки\(X_{S}\) можна вибрати для перетворення\(R\) (наприклад, навантаження) до будь-якого бажаного значення опору (наприклад, опору джерела). Однак все ще існує залишковий реактивний опір, який необхідно видалити, щоб завершити відповідну конструкцію мережі. Перш ніж перейти до вирішення цієї проблеми, розглянемо наступний приклад.

Приклад\(\PageIndex{1}\): Capacitive Impedance Transformation

Розглянемо властивості перетворення імпедансу елемента ємнісного ряду на малюнку\(\PageIndex{1}\) (а). Покажіть, що конденсатор можна відрегулювати для отримання будь-якого позитивного опору шунта.

Рішення

Концепція тут полягає в тому, що послідовний резистор і мережа конденсаторів мають еквівалентну шунтуючу схему, яка включає конденсатор і резистор. За допомогою коригування можна отримати\(C_{S}\) будь-яке значення для\(R_{P}\). З рівняння\(\eqref{eq:5}\),

\[\label{eq:6}R_{P}=\frac{R_{0}^{2}+(1/\omega^{2}C_{S}^{2})}{R_{0}}=\frac{1+\omega ^{2}C_{S}^{2}R_{0}^{2}}{\omega ^{2}C_{S}^{2}R_{0}} \]

і сприйнятливість є

\[\label{eq:7}B=\frac{(1/\omega C_{S})}{R_{0}^{2}+1/\omega ^{2}C_{S}^{2}}=\omega\frac{C_{S}}{1+\omega ^{2}C_{S}^{2}R_{0}^{2}} \]

Таким чином

\[\label{eq:8}C_{P}=\frac{B}{\omega}=\frac{C_{S}}{1+\omega ^{2}C_{S}^{2}R_{0}^{2}} \]

\(R_{0}\)Щоб відповідати резистивному навантаженню\(R_{P}\) (\(> R_{0}\)) на радіановій частоті\(\omega_{d}\), то, з Рівняння\(\eqref{eq:6}\), необхідна послідовна ємність, тобто розрахункове рівняння для\(C_{S}\), походить від

\[\label{eq:9}\omega _{d}C_{S}=1/\sqrt{R_{0}R_{P}-R_{0}^{2}} \]

Для завершення узгодження конструкції використовують шунтуючий індуктор\(L\), як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\) (в), де\(\omega_{d}C_{P} = 1/(\omega_{d}L)\). Еквівалентний імпеданс на малюнку\(\PageIndex{1}\) (c) - це резистор значення\(R_{P}\), зі значенням, яке можна регулювати, вибравши\(C_{S}\) яке потім\(L\) потрібно відрегулювати.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Резистор з (а) шунтуючим паралельним реактивним елементом, де\(B\) є сприйнятливість, і (б) його еквівалентна послідовна схема.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Паралельно послідовне перетворення: (а) резистор з шунтуючим конденсатором; (б) його еквівалентна послідовна схема; і (в) ланцюг перетворення з доданою послідовною індуктором.

10.3.3 Паралельний реактивний елемент

Подвійною процедурою узгодження послідовності є використання паралельного реактивного елемента, як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\) (а). Вхідний допуск ланцюга шунта

\[\label{eq:10}Y_{\text{in}}=\frac{1}{R}+\jmath B \]

Це можна перетворити на послідовну схему, обчисливши\(Z_{\text{in}} = 1/Y_{\text{in}}\):

\[\label{eq:11}Z_{\text{in}}=\frac{R}{1+\jmath BR}=\frac{R}{1+B^{2}R^{2}}-\jmath\frac{BR^{2}}{1+B^{2}R^{2}} \]

Так

\[\label{eq:12}R_{S}=\frac{R}{1+B^{2}R^{2}}\quad\text{and}\quad X_{S}=\frac{-BR^{2}}{1+B^{2}R^{2}} \]

Зауважте, що\(R_{S} < R\).

Приклад\(\PageIndex{2}\): Parallel Tuning

Як приклад використання паралельного реактивного елемента для налаштування значення опору розглянемо схему на малюнку\(\PageIndex{3}\) (а), де конденсатор налаштовує ефективне значення опору таким чином, щоб послідовна еквівалентна схема (рис.\(\PageIndex{3}\) (b)) мала елементи

\[\label{eq:13}R_{S}=\frac{R_{0}}{1+\omega ^{2}C_{P}^{2}R_{0}^{2}}\quad\text{and}\quad X_{S}=-\frac{\omega C_{P}R_{0}^{2}}{1+\omega ^{2}C_{P}^{2}R_{0}^{2}}=-\frac{1}{\omega C_{S}} \]

Так

\[\label{eq:14} C_{S}=\frac{1+\omega^{2}C_{P}^{2}R_{0}^{2}}{\omega^{2}C_{P}R_{0}^{2}} \]

Тепер розглянемо узгодження\(R_{0}\) з резистивним навантаженням\(R_{S}\), яка менше, ніж\(R_{0}\) при заданій частоті\(\omega_{d}\). Для цього потрібно, щоб

\[\omega_{d}C_{P}=\sqrt{1/(R_{S}R_{0})-1/R_{0}^{2}}\nonumber \]

Для завершення конструкції використовуйте послідовний індуктор для зняття реактивного ефекту конденсатора, як показано на малюнку\(\PageIndex{3}\) (С). Значення необхідного індуктора знаходимо з

\[\label{eq:15}\omega_{d}L=\frac{1}{\omega_{d}C_{S}}\quad\text{that is}\quad L=\frac{1}{\omega_{d}^{2}C_{s}} \]