6.4: Симетричні зв'язані лінії електропередачі

У цьому розділі парні і непарні режими розглядаються як визначальні незалежні лінії електропередачі. Розвиток обмежується симетричною парою зв'язаних ліній. Таким чином, смужки мають однакову самоіндуктивність\(L_{s} = L_{11} = L_{22}\), і самоємність\(C_{s} = C_{11} = C_{22}\), де індекси\(s\) розшифровується як «себе». \(L_{m} = L_{12} = L_{21}\)і\(C_{m} = C_{12} = C_{21}\) взаємна індуктивність і ємність ліній, а індекс\(m\) розшифровується як «взаємний». Зв'язані рівняння лінії електропередачі є

\[\label{eq:1}\frac{dV_{1}(x)}{dx}=-\jmath\omega L_{s}I_{1}(x)-\jmath\omega L_{m}I_{2}(x) \]

\[\label{eq:2}\frac{dV_{2}(x)}{dx}=-\jmath\omega L_{m}I_{1}(x)-\jmath\omega L_{s}I_{2}(x) \]

\[\label{eq:3}\frac{dI_{1}(x)}{dx}=-\jmath\omega C_{s}V_{1}(x)-\jmath\omega C_{m}V_{2}(x) \]

\[\label{eq:4}\frac{dI_{2}(x)}{dx}=-\jmath\omega C_{m}V_{1}(x)-\jmath\omega C_{s}V_{2}(x) \]

Рівний режим визначається як режим, відповідний обом провідникам, які перебувають з однаковим потенціалом і несуть однакові струми: \(^{1}\)

\[\label{eq:5}V_{1}=V_{2}=V_{2}\quad\text{and}\quad I_{1}=I_{2}=I_{2} \]

Непарний режим визначається як режим, відповідний провідникам, що знаходяться на протилежних потенціалах щодо опорного провідника і несуть струми рівної амплітуди, але протилежного знака: \(^{2}\)

\[\label{eq:6}V_{1}=-V_{2}=V_{o}\quad\text{and}\quad I_{1}=-I_{2}=I_{o} \]

Зараз описані характеристики двох можливих режимів з'єднаних ліній електропередачі. Для парного режиму, з Рівняння\(\eqref{eq:1}\) і\(\eqref{eq:2}\),

\[\label{eq:7}\frac{d}{dx}\left[V_{1}(x)+V_{2}(x)\right] =-\jmath\omega\left[ L_{m}+L_{s}\right]\left[ I_{1}(x)+I_{2}(x)\right] \]

який стає

\[\label{eq:8}\frac{dV_{e}(x)}{dx}=-\jmath\omega (L_{s}+L_{m})I_{e}(x) \]

Аналогічно, використовуючи рівняння\(\eqref{eq:3}\) і\(\eqref{eq:4}\),

\[\label{eq:9}\frac{d}{dx}\left[I_{1}(x)+I_{2}(x)\right]=-\jmath\omega (C_{s}+C_{m})\left[V_{1}(x)+V_{2}(x)\right] \]

який, в свою чергу, стає

\[\label{eq:10}\frac{dI_{e}(x)}{dx}=-\jmath\omega (C_{s}+C_{m})V_{e}(x) \]

Визначення парного режиму індуктивності і ємності,\(L_{e}\) і\(C_{e}\), відповідно, як

\[\label{eq:11}L_{e}=L_{s}+L_{m}=L_{11}+L_{12}\quad\text{and}\quad C_{e}=C_{s}+C_{m}=C_{11}+C_{12} \]

призводить до рівнорежимних рівнянь телеграфа:

\[\label{eq:12}\frac{dV_{e}(x)}{dx}=-\jmath\omega L_{e}I_{e}(x) \]

і

\[\label{eq:13}\frac{dI_{e}(x)}{dx}=-\jmath\omega C_{e}V_{e}(x) \]

З них можна знайти рівний характеристичний опір,

\[\label{eq:14}Z_{0e}=\sqrt{\frac{L_{e}}{C_{e}}}=\sqrt{\frac{L_{s}+L_{m}}{C_{s}+C_{m}}} \]

а також рівномірну фазову швидкість,

\[\label{eq:15}v_{pe}=\frac{1}{\sqrt{L_{e}C_{e}}} \]

Характеристики непарного режиму роботи спареної ЛЕП можуть бути визначені за аналогічною процедурою з тією, яка використовується для парного режиму. Використовуючи\(\eqref{eq:4}\) рівняння\(\eqref{eq:1}\) — рівняння непарного режиму телеграфа стають

\[\label{eq:16}\frac{dV_{o}(x)}{dx}=-\jmath\omega (L_{s}-L_{m})I_{o}(x) \]

і

\[\label{eq:17}\frac{dI_{o}(x)}{dx}=-\jmath\omega (C_{s}-C_{m})V_{o}(x) \]

Визначення\(L_{o}\) і\(C_{o}\) для непарного режиму такий, що

\[\label{eq:18}L_{o}=L_{s}-L_{m}=L_{11}-L_{12}\quad\text{and}\quad C_{o}=C_{s}-C_{m}=C_{11}-C_{12} \]

то характерний опір непарного режиму дорівнює

\[\label{eq:19}Z_{0o}=\sqrt{\frac{L_{o}}{C_{o}}}=\sqrt{\frac{L_{s}-L_{m}}{C_{s}-C_{m}}} \]

і непарний режим фазової швидкості дорівнює

\[\label{eq:20}v_{po}=\frac{1}{\sqrt{L_{o}C_{o}}} \]

Тепер для перевірки осудності. Якщо окремі смужки широко розділені,\(C_{m}\) то\(L_{m}\) і стануть дуже маленькими\(Z_{0e}\) і\(Z_{0o}\) будуть практично рівні. У міру того, як смужки стануть ближче,\(L_{m}\) і\(C_{m}\) стануть більше\(Z_{0e}\) і\(Z_{0o}\) будуть розходитися. Це, як і очікувалося.

Виноски

[1] Тут\(I_{e}=(I_{1}+I_{2})/2\) і\(V_{e}=(V_{1}+V_{2})/2\).

[2] Тут\(I_{o}=(I_{1}-I_{2})/2\) і\(V_{o}=(V_{1}-V_{2})/2\).